面白い問題おしえて～な 二十二問目©2ch.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
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>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
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>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者 増田哲也の供述
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>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
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>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
> 三角形A(a,0,0)B(a,b,0)C(a,0,c)をz軸の周りに回転させてできる立体の体積を求めよ。
ただしa,b,cは全て正の実数とし、立体はその内部を含むものとする。 >>23
z軸のまわりの極座標r=√(xx+yy) をとる。
z軸から距離rの点の高さ(z方向)は、
h(r) = |c|{1－(1/|b|)√(rr-aa)} (|a|≦r≦√(aa+bb))
= 0, (その他)
V = 2π∫[|a|,√(aa+bb)] h(r)r dr
= πbb|c|/3,
かな f(x)を[0,1]上連続関数とする
このとき、極限
lim(n→∞)n∫_0^1 f(x)x^n dx
をf(x)を用いて表せ 長方形O(0,0,0)A(a,0,0)B(a,b,c)C(0,b,c)をz軸の周りに回転させてできる立体の体積を求めよ。
ただしa,b,cは全て正の実数とし、立体はその内部を含むものとする。 >>25
具体例から予想して力技で…
もっとスマートにできるのかもしれんが
任意に ε>0 をとる。
連続性から、ある 0<t<1 が存在して
t<x<1 のとき |f(x)-f(1)|<ε
が成り立つ。
また、|f(x)| の最大値を M とおく。
（|f(x)| は閉区間上の連続関数なので M は存在する。）
このとき、
|n∫_0^1 f(1)x^n dx - n∫_0^1 f(x)x^n dx|
≦ n∫_0^1 |f(1)-f(x)|x^n dx
= n∫_0^t |f(1)-f(x)|x^n dx + n∫_t^1 |f(1)-f(x)|x^n dx
≦ n∫_0^t 2Mx^n dx + n∫_t^1 εx^n dx
≦ (2Mnt^(n+1))/(n+1) + εn(1-t^(n+1))/(n+1)
0<t<1 であることから、n が十分大きいとき、最右辺第１項は ε より小さく、第２項は 2ε より小さくなる。
よって
lim(n→∞)|n∫_0^1 f(1)x^n dx - n∫_0^1 f(x)x^n dx| = 0
ここで、
lim(n→∞)n∫_0^1 f(1)x^n dx = lim(n→∞)nf(1)/(n+1) = f(1)
であるから、
lim(n→∞)n∫_0^1 f(1)x^n dx = lim(n→∞)((n∫_0^1 f(x)x^n dx - n∫_0^1 f(1)x^n dx) + n∫_0^1 f(1)x^n dx) = f(1)
f(x) が微分可能なら部分積分でもっと楽にできるんだけど >>35
z_max(r)= (c/b)r, (0<r<b)
= c, (b<r<√(aa+bb))
= 0, (√(aa+bb)<r)
z_min(r)= 0, (0<r<a)
= (c/b)√(rr-aa) (a<r<√(aa+bb))
= 0, (√(aa+bb)<r)
V =∫[0,√(aa+bb)] {z_max(r) - z_min(r)} 2πrdr
= ∫[0,b] (c/b)r 2πrdr + ∫[b, √(aa+bb)] c 2πrdr - ∫[a,√(aa+bb)] (c/b)√(rr-aa) 2πrdr
= (2π/3)bbc + πaac - (2π/3)bbc
= πaac. 任意の多面体は何回か平面でカットすればどの面も3の倍数の辺をもつようにできることを示せ。
例：立方体ABCD-EFGHは頂点A,C,F,Hをそれぞれ含む4つの小さな三角錐をカットすれば
三角形4つと六角形6つからなる多面体ができる。 >>38
これだけだと可能なのは自明だった。（適当な4面体を掘り出せばいい）
カットする部分の体積をいくらでも小さくできるという条件も追加。 そして組みなおしたら２倍の体積の相似な多面体になる、と。 ・ 多面体はボレル可測である。
・ 多面体を平面でカットしたときに生じる全ての破片は、再び多面体である。
・ よって、多面体を平面で何回カットしても、ボレル可測集合が増えていくだけであり、
ルベーグ非可測な集合は出てこない。当然ながら、体積が2倍になるような状況は起きない。 x^2<p<(x+1)^2となる素数pが存在することを証明する。
nを以下を満たす整数とすると
x^2<n<x(x+1)
x>2のとき、nはxで割り切れない。
2<=q<xとなる素数qによって、n=mqと表されるとすると
x^2<mq<x^2+x…①
0<mq-x^2<x
0<-x^2 (mod m)<x (mod m)
m<xであるから、x=am+bとすると
-x^2 (mod m)=-(am+b)^2 (mod m)
=-b^2 (mod m)
x (mod m)=b
0<-b^2 (mod m)<b (mod m)
b=m-1のとき
-b^2 (mod m)=-(m^2-2m+1) (mod m)=-1 (mod m)=m-1
となり①は成立しないから、x^2<p<x^2+2xを満たすpが高々1個存在する。
x>2で、x(x+1)<(x+1)^2であり、x=1.2のときは、(x,p)=(1,2),(1,3),(2,4),(2,7)
が存在することから、題意は示された。 nを以下を満たす整数とすると
x^2<n<x(x+1)
x=1,2のとき、(x,p)=(1,2),(1,3),(2,5),(2,7)となり素数pが存在する。
x>2のとき、nはxで割り切れない。
2<=q<xとなる素数qによって、n=mqと表されるとすると
x^2<mq<x^2+x…①
x=am+b、0<=b<mとすると
a^2*m^2+2abm+b^2<mq<a^2*m^2+2abm+b^2+am+b
a^2*m+2ab+b^2/m<q<a^2*m+2ab+b(b+1)/m
この式が成立するためには
b^2/m<r<b(b+1)/m…②
を満たす整数rが存在しなければならない
b=0, m>0のとき、0<r<1/m
b=1, m>1のとき、1/m<r<2/m
b=2, m>2のとき、4/m<r<6/m
b=m-1, m>1のとき、(m-1)^2/m<r<m-1
となり、0<=b<mのbに対して、②を満たす整数rは存在しないから
①は成立しない。
x>2のとき、x(x+1)<(x+1)^2であるから、題意は示された。 b^2/m<q<b(b+1)/m+a、だから、これもNG x^2<p<(x+1)^2となる素数pが存在することを証明する。
x=1,2のとき、(x,p)=(1,2),(1,3),(2,5),(2,7)となり素数pが存在する。
nを以下を満たす整数とすると
x^2<n<x(x+1)
x>2のとき、nはxで割り切れない。
2<=q<xとなる素数qによって、n=mqと表されるとすると
x^2<mq<x^2+x…①
x=am+b、0<=b<mとすると
a^2*m^2+2abm+b^2<mq<a^2*m^2+2abm+b^2+am+b
a^2*m+2ab+b^2/m<q<a^2*m+2ab+b(b+1)/m+a
この式が成立するためには
b^2/m<r<b(b+1)/m+a…②
を満たす整数rが存在することが必要である
b=0, m>0のとき、0<r<a 1からa-1までのa-1個
b=1, m>1のとき、1/m<r<2/m+a 1からaまでのa個
b=2, m>2のとき、4/m<r<6/m+a 2からa+1までのa個
b=m-1, m>1のとき、(m-1)^2/m<r<m-1+a m-1からm+a-2までのa個
よって、x^2<mq<x^2+xを満たすmは最大でa個まで存在することができる。
x^2+1<=p<=x^2+x-1のには整数がx個存在し、x>aであるから
少なくとも、x個のうちx-a個素数が存在する。
x>2のとき、x(x+1)<(x+1)^2であるから、題意は示された。 いや読んでもさっぱり分からんのよね。証明になってないでしょ ルジャンドル予想
x^2<p<(x+1)^2となる素数pが存在する
の証明を正しい日本語になるように推敲してみた
x=1,2のとき、(x,p)=(1,2),(1,3),(2,5),(2,7)となり素数pが存在する。
nを以下を満たす整数とすると
x^2<n<x(x+1)
x>2のとき、nはxで割り切れない。
2<=q<xとなる素数q、整数mによって、n=mqと表されるとすると
x^2<mq<x^2+x…①
a,bを0<=a, 0<=b<mを満たす整数として、x=am+bと表されるとすると
a^2*m^2+2abm+b^2<mq<a^2*m^2+2abm+b^2+am+b
a^2*m+2ab+b^2/m<q<a^2*m+2ab+b(b+1)/m+a
この式が成立するためには、整数rを
r=q-(a^2*m+2ab)…②
として
b^2/m<r<b(b+1)/m+a…③
を満たす整数rが存在することが必要である
b=0, m>0のとき、0<r<a rは1からa-1までのa-1個の値を取り得る
b=1, m>1のとき、1/m<r<2/m+a rは1からaまでのa個の値を取り得る
b=2, m>2のとき、4/m<r<6/m+a rは2からa+1までのa個の値を取り得る
b=m-1, m>1のとき、(m-1)^2/m<r<m-1+a rはm-1からm+a-2までのa個の値を取り得る
よって、①を満たすqは、②から最大でa個まで存在できる。
x^2+1<=p<=x^2+x-1の範囲には整数がx個存在し、x>aであるから
x個の整数のうち、素数が少なくともx-a個存在する。
x>2のとき、x(x+1)<(x+1)^2であるから題意は示された。 ×x^2+1<=p<=x^2+x-1の範囲
○x^2+1<=p<=x^2+2x-1の範囲 >>59
素数と整数の積は合成数でそれ以外は素数だからOK qがmqと表されるとしているので、pはmとqの組み合わせ以下の個数となる >>63 訂正
n=mqとしているので、合成数となるnの個数はmとqの組み合わせ以下の個数となる すべてのｍで考えているならｍの倍数の個数の合計を出してるところが必要だけどそれがないので一つのｍについてしか考えてないから駄目。 >>65
mがどんな値であろうとも、最大でa個までしか③を満たすrが存在しないということだけれども >>67
xはどの値かでbの値は0からm-1までが考えられ、bの値、mの値に関わらず
rの取りうる個数がa以下であると書いているが ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
