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高校数学の質問スレPart397©2ch.net
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0391１３２人目の素数さん
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2016/12/20(火) 18:07:05.35ID:UWZGIxmO
問．コインを2回投げて，2回とも表が出る確率を求めよ．

という問題で，以下の「間違い答案」が「間違い」で「正しい答案」が「正しい」
ことを，どんな中学生・高校生にも納得がいくように説明したいんですが，どうしたらいいですか？
知恵をお貸しください．
天才（？）ダランベール様もこの間違いをおかしたらしいですから，この間違いをする人を
単に「アホ！」で済ませるわけにはいかないと思うんです．


間違い答案：
{表，表}，{表，裏}，{裏，裏}の3つが同様に確からしい（嘘）から答えは1/3（嘘）

正しい答案：
(表，表)，(表，裏)，(裏，表)，(裏，裏)の4つが同様に確からしいから答えは1/4
0392１３２人目の素数さん
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2016/12/20(火) 22:58:20.05ID:ZPNBjK4n
同様に確からしい、という概念をちゃんと教える
0393１３２人目の素数さん
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2016/12/20(火) 23:25:53.14ID:MrnHPDKB
何も書いてないコインを使うとする. このとき表と裏の区別はつかない.
表と裏は対称だ, もし裏のことを表と呼んだら表は裏になる.
つまり表と裏を交換したものは呼び方を変えただけなので全く等価な
はずだ. つまり
コインを1回投げて表が出る確率を裏が出る確率は等しい.

しかし2回投げて表裏が1回ずつ出るというのはどうか?
これは表裏を交換しても自分に返るだけである. 1回目だけ
を交換しようとしても1回目と2回目を区別していないので
うまくいかない. (というかよく考えれば両方表, または両方裏となる
ことと等価である. ) つまりこれが両方表の確率や両方裏の確率と
等しいということは言えないのだ.

1回目と2回目を分けて考えたらどうだろうか? とりあえず2回目の結果が
なんにせよ1回目が表であることと1回目が裏でことは等価である.
だから1回目に表, 2回目に表が出ることと1回目に裏, 2回目に表が出る
ことは等価である. 同様に1回目を置いといて2回目についてこれを
考えれば, 順も含めて{表,表},{表,裏},{裏,表},{裏,裏}となるのは
すべて等価なのである.
0395１３２人目の素数さん
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2016/12/20(火) 23:33:32.82ID:MrnHPDKB
コインを1000回投げて全部表の確率と500個表で500個裏の確率が等しい
というのはさすがに感覚的におかしいだろう? 実際投げてみれば1/4になる
というのでも納得してくれるかもしれんが.
0396１３２人目の素数さん
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2016/12/21(水) 00:02:59.49ID:wmh7iaFu
>>395
普通の中高生に教える方法として393と395比べて前者を取る理由は皆無な気がする
0410１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 00:16:30.45ID:WPtgjol9
>>396 :
普通の中高生に教える方法としては、>>394を勧める。
1)１０円玉と１００円玉を投げる。
2)１００円玉２枚を、片方にマジックでしるしを書いて投げる。
3)１００円玉２枚を、特にしるしをつけずに投げる。
1)〜3)の状況にどういう違いがあるのか説明させる。
これでも解らないようなら、
2')１００円玉２枚を、片方に発光塗料でしるしを書いて投げ、
ブラックライトをon/offしながら考えてもいい。
0412１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 00:20:36.16ID:VhN29ADX
>>410
393と395比べて話しただけで、394がよさそうなのは同意やで
0413１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 01:07:43.55ID:2MTAEJIX
円で、ピザの縁を底辺とし半径を高さとする三角形の面積の総和を円の面積とする説明が有ります。
球の体積でも、スイカの皮を底面として半径を高さとする錐体の総和とする説明があります。
しかし球の表面積については、剥いたミカンの皮を三角形と見なした面積の総和からはできません。

円のピザの縁や球のスイカの皮は直線と見なしてよい、しかし表面積のミカンの皮は三角形と見なせない、この明確な違いはどこか。
「なんでこれだけダメなの?」と聞かれたときの良い答えはどんなものだと思いますか、
0415１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 02:00:31.40ID:2MTAEJIX
>>414
ありがとう。
地球儀の経線にそって切り開き、赤道が底辺となる状態です。
半球の表面積を直径の円周を底辺として、1/4円周の長さを高さとした三角形の集まりと見なしたわけですね。
これは中高生にしてみれば、それまでなんとなく丸め込まれてきた近似的な説明と区別がありません。
「球面の三角形は膨らんでるからでかいんだよ、グラビアのビキニだな。内角の和から180度を引いて…」と説明したならば、
では今までの数々の近似的だったり積分ぽかったりする説明は何故ありなのかということに、
0416１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 10:41:26.68ID:0d7mGmbQ
凸凹については、ピザの分割数を増やすと
耳の部分が平らになっていくのが見てわかる。
それよりも、ピザ式説明のうまくないところは
平らになった耳部分の辺の長さが半円周と等しい
ことの理由が説明されないこと。
面積より長さの扱いのほうが難しい。
0417１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 12:09:31.01ID:6oUjfyiu
>>415
その方法で計算できるものは、底面が半径rの円、母線の長さが(1/2)πrの円錐の曲面部分の表面積です。
両者が異なることは、赤道の長さの半分の長さの紐を用意し、輪にして、地球儀にかぶせてみてください。
半球は北緯60度＝87%位の高さのところで引っかかりますが、上の円錐なら、半分の高さのところで引っかかります。

半球を経線に沿って細かく切り開いた時現れる二等辺三角形状の図形が
円錐を母線に沿って細かく切り開いて現れる二等辺三角形状の図形と異なる点は、
前者三角形は三辺とも外に膨らんでいますが、後者は、底辺部分だけが膨らんでいます。
底辺に当たる部分の長さ（幅）をDとすると、緯度θに当たる部分の幅は、
前者は　Dcosθ　で後者は、　D(1-r)　となります(r=θ/(π/2))。
0418１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 20:19:43.41ID:2MTAEJIX
>>417
ありがとう。
これならば三角形と対応しないことが見えます。
以前どこかで「底辺の角が両方直角だから三角形にならない」という説明を見たことがありますが、アレはまずいですよね。
0419１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 21:05:09.27ID:2MTAEJIX
>>416
ありがとう。
たしかに、直線と“みなせる”のではなく“等しい”のだという説明が無いと誤解を生みますね。
その点でピザよりもバウムクーヘンのほうが説明に向いてるかな
0430１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 23:29:40.89ID:6oUjfyiu
>>418
細長い二等辺三角形状の図形の等辺に当たる部分が直線では無く、膨らんでいて
三角形では無いため、三角形の面積の公式が使えないのが本質的な理由です。
高さθでの幅は、一方は、Dcosθ　で他方は、　D(1-(2θ/π))　です。
この形状の違いは、底辺部分をいくら細かくしても、解消されません。別の図形のままです。
別の図形なので、その図形に対応した面積の算出法を用いなければなりません。

球の半径をrとして、緯度では、θとθ+Δθに、そして、二つの等辺で挟まれた台形状の図形の面積は、
上底がDcos(θ+Δθ)≒Dcosθ、下底がDcosθ、高さがrΔθなので　r*D*cosθ*Δθ
これを、Δθを細かくして、θ=0からπ/2まで変化させながら加え合わせると、rD　が得られます。
（円錐の場合、三角形なので、小学校で習う公式が使え、D×(πr/2)/2=πrD/4　が得られます。）
このあと、Dの幅を小さくすれば、本当は円弧だった底辺を直線と思うことができ、赤道一週分積み合わせ、
さらに南半球分を考えて二倍すれば、4πr^2　が得られるという流れになります。

>> 以前どこかで「底辺の角が両方直角だから三角形にならない」という説明を見たことがありますが
「三角形にならない」という部分は正しい。
実際、面積を求めるための手段が、三角形のそれと異なるのは、上で示した通り。
ただ、「両方直角だから」として、三角形では無い理由とするのはどうだろうか？
二辺は膨らんでいるからとか、曲線だからとかの方が、無難だし、直接的だと思う。
0431１３２人目の素数さん
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2016/12/22(木) 23:31:58.73ID:CAkhX8B2
異なる6台のミニチュアカーを3人に配る。
1台も配られない人がいてもよいとき
配り方は何通りあるか。
3人とも少なくとも1台は配るとき、
配り方は何通りあるか。
0433１３２人目の素数さん
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2016/12/23(金) 03:17:09.02ID:06iuOQ6r
>>419
そうなんだ。
ピザ式の状況と紛らわしい例として有名なものに、
三角形を中点連結で相似比1/2の三角形2個に変換する
というものがある。

もとの三角形の二辺がなすへの字形が
2個の小三角形の二辺づつがなすＭの字形に
変換されるが、この操作でへの字形とＭの字形の
折れ線長は変わらない。
小三角形に対して再帰的にこの操作をくり返すと、
折れ線は最初の二辺の長さを保ったまま
点集合としては最初の三角形の第三辺に収束する。
すこし不思議な感じがする。

冷静に考えると、変換を繰り返す回数→∞の極限と
折れ線の長さを総和する級数の項数→∞の極限が
lim交換できないというだけの話なのだが、この話と、
円の面積のピザ式説明で長方形の長辺が半円周になる
話とは、どこがどう違うのか。
小学生には、タネあかしどころか
問題点のありかを説明することさえ難しい。

困難の源は、線分の長さしか扱えない初等幾何で
円周長を扱おうとしたことにあるのだが、
そのバウムクーヘン式というのは、この困難を
回避できる説明なのだろうか？
0434１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/23(金) 10:12:39.04ID:wTv/UKEJ
質問ですが、固有値がすべて正の行列と、成分がすべて正である対角行列の和の行列は、固有値がすべて正になりますか？
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/23(金) 10:27:00.10ID:BAMdfooG
またお前か
0447１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/23(金) 12:07:55.99ID:VdOGxmtm
x^2-14.7^2=-2*9.8*-19.6

簡単なやり方教えてください
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/23(金) 12:13:04.56ID:6oPLtrvz
諦めるのが一番簡単
0461１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/24(土) 10:59:10.81ID:qQpw0VgY
なにがしたいのか荒らしがすごいね、
>>433
バウムクーヘン“式”ってほど考えてないけど、同心円のイメージの例としてバウムクーヘンを出しました。ただし穴はなく中心までみっちりのお得なもので、

バウムクーヘンの断面の円を扇形にカット。
この扇形の面積は、中心から1枚目、2枚目…r枚目と全て足したものと言える。
一枚一枚の長さは中心からの距離に正しく比例している。
このバウムクーヘンを、r枚目、(r-1)枚目…1枚目と平たく置いて重ねたとする。
底辺は弧を置いたものなので弧の長さのまま、
高さは、n枚目と(n+1)枚目は垂直という関係を保っているので半径のまま、
弧の長さと半径は比例なので斜辺は直線、
正しく弧を底辺に半径を高さとした三角形になる。

これは細い扇形から円そのものまで変わりがない。
12時0分の半径1本で切り開いて重ねて置いていけば、底辺が円周、高さが半径の三角形になる。

ピザよりは良いと思うけどいかがでしょ
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