卒業して某省で公務員してるけど
余程要領良くないと両方駄目になりかねないからどっちか一本に絞った方が良いよ

筆記ザルで面接で絞る市役所系は知らんが
筆記対策大変な分、学歴や経歴に寛容なコッパンや国税なんかの国家系や特別区なんかはオススメ