>役所のHPでは「雨天時は(再利用できなくなるので)回収しません」

あなたが住んでるところの役所のHPにそう書いてあるのならば
回収しないんじゃないの？

ちなみに俺が住んでるところの自治体は、紙類は雨天でも回収するよ。
役所に問い合わせたら、濡れても資源化できるからという話だった。
こちらで雨天ＮＧなのは布類。