卒論N1030 宇宙と時間、相対性理論について

**卒論N1030** · 2019/07/31(水) 22:47:12.00

有田鉄平　井上小五郎　歌川辰等　石田啓太郎　堤憲誉　氏政一郎　衛宮史郎
香川圭

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2020/02/26(水) 02:14:54.86

4次元時空に座標軸 (x^1, x^2, x^3) と時間軸tをとる。
^ は反変成分を表わし _ は共変成分を表わす。

相対性理論では、座標系の変換法則の観点から、固有時
　(c･⊿t)^2 - (⊿x^1)^2 - (⊿x^2)^2 - (⊿x^3)^2 = Σ[j,k=0～3] η_jk (⊿x^j) (⊿x^k),
が重要らしい。
x^0 = c･t,　(cは真空中の光速度)
η_jk は計量テンソル (g_jk もよく使う。)
特殊相対性理論では時空は平たんと仮定する。
　η_00 = 1,
　η_kk = -1　(k=1,2,3)
　η_jk = 0　　(j≠k)

さて、昔ある人が「上式を因数分解できないか」と考えた。
実際には
　- □Ψ = ∂∂Ψ/(c∂t)^2 - △Ψ = (mc/h)^2 Ψ,
のような式 (クライン・ゴルドン方程式) だったが、大筋は同じであろう。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2020/02/26(水) 02:16:31.75

とりあえず
　Σ[j,k=0～3] η_jk (⊿x^j)(⊿x_k) = {Σ[j=0～3] γ_j (⊿x^j)}^2
とおこう。　γ が何なのか、今は分からない。
右辺を展開すれば
　2η_jk = γ_j γ_k + γ_k γ_j,
j≠k のときは 0 だから、γ_j と γ_k は反可換になってしまう。
複素数までの範囲には、そんな数はない。
反可換なγが3つ以下ならば、2x2 複素行列で表わせる。(パウリのスピン行列)
　σ_1 = [[0,1] [1,0]]
　σ_2 = [[0,-i] [i,0]]
　σ_3 = [[1,0] [0,-1]]
とおけば
　(σ_k)^2 = I,　σ_j σ_k + σ_k σ_j = 2δ_jk I,
を満たす。ただし
　I = [[1,0] [0,1]] は単位行列。
　(エルミート表示をとったのは、パウリが物理学者だったから？
　{1, -iσ_1, -iσ_2, -iσ_3} はハミルトンの４元数の基底となる。)

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2020/02/26(水) 02:17:48.31

ところが、因数分解を完成するには、反可換なγが4つ必要だった。
これには 4x4の複素行列が必要になる。
　γ^0 = [[I,O] [O,-I]]
　γ^k = [[O,σ_k] [-σ_k,O]]　　(k=1,2,3)
　O = [[0,0] [0,0]]
やっと出た・・・・

「数学・物理100の方程式」数セミ増刊, 日本評論社 (1989/Apr)
　p.176-177　ディラック方程式 (岡村浩)

「方程式と自然」別冊・数理科学, サイエンス社 (1993/Oct)
　p.53-57　素粒子の方程式 (牟田泰三)

「数理科学」特集/物理法則と方程式, サイエンス社 (2005/June)
　p.29-34　ディラック方程式 (林青司)　

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2020/03/01(日) 06:37:41.21

・参考書
T. F. Jordan: "Quantum mechanics in simple matrix form", Dover Pub.,Inc. (1985)

J. H. コンウェイ／D. A. スミス共著「四元数と八元数」, 培風館 (2006/Dec)
　　山田修司訳　　197p.

堀源一郎：「ハミルトンと四元数」, 海鳴社 (2007/Nov)
　　348p．　3664円

森田克貞：「四元数・八元数とディラック理論」, 日本評論社 (2011/Aug)
　　358p．　5280円