>>540
だーかーらー

∫F・ｄｓ（1→2）＝ 1/2mv2 ^2−1/2mv1^2

が根本式だってーの
Fに重力と電気力と外力を入れて分けてみろ。

∫F(重)・ｄｓ＋∫F(電)・ｄｓ＋∫F(外)・ｄｓ＝ 1/2mv2 ^2−1/2mv1^2
となり、ポテンシャルの定義により(この段階では計算不要)

Φ1-Φ2 + V1-V2 + ∫F(外)・ｄｓ＝ 1/2mv2 ^2−1/2mv1^2
右辺へ移項して整理すれば

∫F(外)・ｄｓ＝ [Φ2+V2+1/2mv2 ^2]−[Φ1+V1+1/2mv1^2]
となる。外力がなければ左辺はゼロであり、普通にエネルギー保存則と言われるヤツになるだろ。
ΦやVは積分計算によってmghや1/rの形になったりするわけだ。

そして解析学的に∫F(重)・ｄｓと∫F(電)・ｄｓの積分が「経路によらない」ことを示さなければならない。
そうでないとΦ1-Φ2なんて両端の差だけで示せるわけがないからだ。

∫F(外)・ｄｓにはそんな制約はない。F(外)にポテンシャルがあろうがなかろうが自由だからな。
例えば電磁誘導による電場なんかは回転場なのでV1-V2なんてない。ポテンシャルは定義できない。
一周回って「力の経路積分」がゼロにならないからな。

教科書をよく読めば書いてあることだぞ。
くっくっく