シュワルツの超関数の理論では、コンパクト台を持つ関数に限定しているようですね
1はコンパクト台を持ちませんから、<δ,1>=1という式は成り立ちませんから、∫δdx=1は嘘な訳ですね

佐藤超関数の場合は良さそうですね
物理のデルタ関数は佐藤超関数によって定義されるんでしょうか？