次に雨滴が蒸発していく場合な。

これ、蒸発の物理的前提が不明すぎるだろ。
蒸発したdmはどんな速度で空中に放出されるんだよ。
で、そもそも蒸発に作用反作用が成り立つのかよ。
おかしいだろボケが。

で、答え見たらこういう前提かよ。
・蒸発したdmは空中に静止浮遊する。すなわちvからゼロに減速する。
・元のmは反作用で落下が加速する。しかし実際にはこの逆で、dmの粘性による減速作用のほうが上だろ。

で、あえてこの答えに合わせてやると上の式は
f＋dm(0ーv)/dt=mdv/dt
ってことになるな。dm(符号はマイナス)の蒸発離脱によって
ロケットの噴射と似た格好になり(何に対する離脱速度かが異なるが)、
それはfを助ける作用になりmの落下が加速する。
上式は同じf=dp/dtとなり、µをマイナスとするだけでよい。

って、実際はこんなことにならんから
この問題はダメダメだぞ。

くっくっく