物理学における群論

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/17(日) 21:30:52.58

「数学者は自分の好き勝手を言えるが、物理学者は少なくとも部分的には分別がなければ
ならない。」
数学厨は放置してマッタリ行きましょう。群論　Group theory=集合論＋要素の操作ですね。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/17(日) 22:36:11.95

普通物理学ではリー群とその表現なのだが。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/17(日) 23:03:06.45

りい軍は、軍足す多様性ですよ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/18(月) 09:27:41.18

>>1
群論と表現論だろアホ

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/18(月) 11:45:23.51

質問です、教えてください
群論には恒等変換とよばれる、自分自身に写像
される変換がありますが,なぜそれが必要なのか
教えてください。よろしくお願いします

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/18(月) 12:10:04.10

ソレがないと、軍隊止まれの命令ができないじゃん

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/18(月) 13:38:47.97

単位元はなぜ必要ですか？ｗ

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/18(月) 13:49:34.58

前進しかできないのは軍として欠陥があるから半軍ていうんだよ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/18(月) 14:40:55.36

親鸞とプリンストン大学数学科教授はどっちの方が頭が良いですか？

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/18(月) 16:08:07.23

リー群の表現がなんで要るのですか?

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/18(月) 23:05:57.22

回転変換ならθ=0が恒等変換ですね。
正準変換にもp=P、q=Qというのもありました。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/20(水) 01:57:53.25

>>10
行列表現にできないと使いにくいから？

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/20(水) 02:15:19.05

行列だけが表現ではない。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/20(水) 06:56:17.76

すとーかーうじゃうじゃ

（げすのしゅうちゃく：りゃく）

ゴキぶりたうん

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/21(木) 22:32:26.11

いつも物性系の群論の話が出てこない
ほんま日本人は素粒子論が好きやなあ

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2017/12/22(金) 21:01:59.35

>>15
じゃあお前が語れよ。
言うほど素論と物性で使う群論は差が無いと思ったが。
空間の並進対称性の空間格子の破綻とかだったっけ？。
化学系がキラリティ、アキラるとかで光学異性体とか議論してたっけ？。カイラル対称性の破れ軸性量子異常のカイラルと同じ綴りの。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/01/31(水) 03:49:40.00

物理学もおもしろいけどネットで儲かる方法とか
グーグルで検索⇒『羽山のサユレイザ』

91KGG

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/04/27(金) 11:49:07.63

群論の質問です

グループ「TOKIO」の山口メンバーは

演算A お酒
演算B キス

として A★B を実行したらグループ「TOKIO」に閉じますか？
(単位元は城島リーダーです)

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/04/27(金) 18:50:24.06

>>18
城島リーダーは単位元なので誰とA★Bしても相手に変化はありません

山口メンバーがA★BしたのはリーダーでなくJKだったので山口メンバーの
一部が変化したと思われます

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/04/27(金) 22:09:48.51

>>18
JKとは A★B を実行したものの結合法則はいたさなかったので群ではないね

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/04/27(金) 22:09:59.55

今勉強してる最中

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/11(金) 23:53:31.59

群論の安い本が何もないのう

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/20(日) 16:31:51.57

古本買え

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/05/20(日) 19:10:50.21

古本がみんな高い

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2018/07/12(木) 19:09:04.89

僕の知り合いの知り合いができた在宅ワーク儲かる方法
時間がある方はみてもいいかもしれません
検索してみよう『立木のボボトイテテレ』

OL4

2018/09/28(金) 10:17:55.76

拙者はアンドロモンが好きだよ、拙者はアンドロモンが御好みだよ、拙者はアンドロモンが大好きだよ、拙者はアンドロモンを愛好するよ、拙者はアンドロモンを嗜好するよ、拙者はアンドロモンは友好するよ
寧ろ逆にアンドロモンを大切にするよ、他に別にアンドロモンを大事にするよ、例え仮に其れでもアンドロモンを重視するよ、特にアンドロモンを尊敬するよ、もしもアンドロモンを褒めるよ
十中八九アンドロモンを希望するよ、森羅万象アンドロモンを渇望するよ、無我夢中アンドロモンを要望するよ、五里霧中アンドロモンを切望するよ、天上天下アンドロモンを熱望するよ、是非ともアンドロモンを祈願するよ
100%アンドロモンに決定だよ、十割アンドロモンに限定だよ、確実にアンドロモンに指定だよ、絶対にアンドロモンに認定だよ、必ずアンドロモンに確定だよ
当然アンドロモンは斬新奇抜だよ、無論アンドロモンは新機軸だよ、勿論アンドロモンは独創的だよ、一応アンドロモンは個性的だよ、多分アンドロモンは画期的だよ
アンドロモンは強いよ、アンドロモンは強力だよ、アンドロモンは強大だよ、アンドロモンは強者だよ、アンドロモンは強豪だよ、アンドロモンは強剛だよ、アンドロモンは強靭だよ、アンドロモンは強烈だよ
アンドロモンの勝ち、アンドロモンの勝利、アンドロモンの大勝利、アンドロモンの完全勝利、アンドロモンの圧勝、アンドロモンの楽勝
アンドロモンの連勝、アンドロモンの優勝、アンドロモンの戦勝、アンドロモンの制勝
アンドロモンの奇勝、アンドロモンの必勝、アンドロモンの全勝、アンドロモンの完勝

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2019/12/15(日) 16:48:20.57

福田博造は地獄へ落ちたのか

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2020/03/15(日) 13:57:30.86

お前の叩きは前提条件からして間違っている。
この記事を見れば不仲なんて口が裂けても言えんぞ。

福原P「ヤオヨロズはたつき監督というクリエイターの理想を叶えるためのスタジオです」
https://irodorich.com/archives/14433

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/08/29(日) 08:18:01.84

1。代数系。
集合→二元演算。閉鎖律(演算に関して閉じている)。亜群
→結合律(ab)c=a(bc)。半群
→単位元e。モノイド
→逆元a^(-1)。群
→可換律ab=ba。可換群
→加法+(零元0と反元-a)。加法群
→乗法に関して半群、+と×の間に分配律。環。

Zにおいて
a+b+1。群。単位元-1。逆元-a-2。
ab+1。亜群。
a+b+ab。モノイド。単位元0。逆元-a/(a+1)∉Z
2ab。半群。
単位元1/2, 逆元1/4a∉Z。

2。{1, 2, 3, 4, 5} において
gcd。半群。a・a=aだが、固定されないので、単位元ではない。逆にa・1=1・a=1なので、1は逆元である。
Min。モノイド。単位元は5。
b。半群。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/08/29(日) 08:29:31.72

3。1, 1, 1, 0．
a・b≡1-ab。
結合律を満たさない。

4。a^b。(a^b)^c。a^(b^c)
a=2、b=1、c=2とすると、
4≠2となり、結合律を満たさない。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/08/29(日) 09:05:32.86

5。n=1、2、3では成り立つ。
n≦kの時、成り立つと仮定すると、n=k+1の時、最も左にある括弧内の式をAと置くと、A∈Gより、与式はn≦kの場合に帰着される。従ってAの内部の括弧、Aを含まない(外部の)括弧は全て省略可能となる。するとA自身に掛かった括弧も省略可能となる。

6。A=R(2π/3)より、a=-1/2、b=√3/2。{0, 2π/3, 4π/3}は、閉鎖律、結合律を満たし、単位元、逆元を持つので群を成す。

7。|k|R(θ)は原点中心のθ回転と|k|≠0の拡大(あるいは縮小)変換を表す。、この集合は閉鎖律、結合律を満たし、単位元(0回転、1倍拡大)、逆元(-θ回転、1/|k|倍拡大)を持つので群を成す。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/08/31(火) 02:20:05.83

8。ma+na=(m+n)a
(-m)a=m(-a)、0a=0
n(ma)=(nm)a
加法群。乗法群。単位元。逆元。零元。反元。指数法則。
m>0, n>0の時、両辺の個数を比べることて示される。
n=0の時、成り立つ。
m>0、n<0の時、n=-kとおく
(a^m)^n=(a^m)(-k)
=((a^m)^k)^(-1)
=(a^mk)^(-1)
=a^(m(-k))=a^mn。

9。存在と一意性。
eとEとすると、e=eE=E。
bとcとすると、ab=ac=e
両辺にa^(-1)を左から掛けると
b=c=a^(-1)。

10。逆元の一意性。
(ab)b^(-1)a^(-1)=
aea^(-1)=aa^(-1)=e

aa^(-1)=eより、
(a^(-1))^(-1)=a。

11。左簡約律。右簡約律。
ax=acの両辺に左からa^(-1)
をかけるとx=c。
xa=caの両辺に右からa^(-1)
をかけるとx=c。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/08/31(火) 02:53:21.05

12。群方程式。逆演算。
axb=cより、x=a^(-1)cb^(-1)
xax=bxより、x=ba^(-1)
a^3b^(-1)xc^(-2)b^2=a^4c^(-1)b^2
x=bac。
c(a^2b^2c^(-2))^(-1)xca=a
x=a^2b^2c^(-4)

群表。ラテン方陣。同型。位数nの巡回群。生成元。無限巡回群。有限位数。
1。単射であり、有限なので全単射。逆は成立しない。

2。単位元、恒等写像が存在しない。
結合律が成立しない。
閉鎖律、結合律、単位元、逆元。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/08/31(火) 12:24:58.45

3。単位元はb。
2143
1234
4321
3412
↓
2134
1243
3421
431

4。抽象群。
1
12
21
123
231
312
どれも一意に定まる。

5。同型。
位数4の巡回群。
1234
2341
3412
4123。
クラインの四元群。
1234
2143
3412
4321

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/01(水) 13:50:15.73

6。位数4の巡回群。
1 i-1-i
i-1-i 1
-1-i 1 i
-i 1 i -1
位数4の巡回群。
1397
3971
9713
7139
クラインの四元群
01050711
05011107
07110105
11070501

7。クラインの四元群。
1234
2143
3412
4321

8。クラインの四元群。
E、S(0)、S(π/2)、S(3π/4)
1234
2143
3412
43 21

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/06(月) 17:54:39.33

1 n×(n-1)×‥1=n!。
2 a=2143, b=2341
ab=3214, ba=1432

3 乗積表
123456
231645
312564
456123
564312
645231

4 6741523
5 位数はm、
a^m=e。巡回置換。
a×a^(-1)=e。逆順になる。
a=Π(1 i)

6 (ij)^(-1)=(ij)
(ij)=(1i)(1j)(1i)

7 12. 13. 14. 23. 24. 34.
1. 123. 132. 124. 142.
134. 143. 234.243. 12.34.
13.24. 14.23.

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/07(火) 05:36:52.10

8 共通な文字を含まない場合、すなわち独立な場合にはab=baとなる。

9 巡回置換a^m=eとする。
初めに着目した文字についての置換に現れなかった別の文字についても同様の操作を行う。aの作用を受ける全ての文字について行えばaはこれらの置換の積になる。
任意の巡回置換は互換の積として表せる。

10 巡回置換に限らず、任意の置換は互換の積として表せる。

11
285139647
=(1284)(35)(697)
=(12)(18)(14)(35)(69)(67)
562971438
=(157498326)
=(15)(17)(14)(19)(18)
(13)(12)(16)

12 偶置換と奇置換。偶奇性。
差積に1つの互換を作用させると符号が変わる。全部で偶数回の互換ならば+に、全部で奇数回の互換ならば-になる。

13
Sn置換の全体は位数n!の群。
An偶置換の全体は位数n!/2の群

14 偶置換をA、奇置換をB≠Øとする。f A→Bにおいてfは全単射である。a→ab。従ってB≠Øの時、偶置換=奇置換となる。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/10(金) 15:24:56.36

1ケイリーの定理。G=eab‥c
eg、ag、bg‥、cg。置換表。
2 x=3、y=4。
3 §13 問5 (1)
4 e、a=1234、a^2=13, 24
a^3=1432。
5 クラインの四元群。
e、a=13, 24、b=12. 34
c==14, 23。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/10(金) 16:50:12.20

6 正n角形の中心を固定する。回転Cnは対称変換。裏返しの変換b。Cnb。Dn=Cn∪Cnb。|Dn|=2n。

7 正三角形の対称変換群。D3=S3。同型。
正三角形の表側だけの対称変換群。C3=A3。同型。

8 正方形の対称変換群D4。
e, 1234, 13+24, 1432,
12+34, 24, 14+23, 13。

9 球面と同相な多面体。
オイラーの多面体定理。
p-q+r=2。
1つの頂点に集まる(1つの頂点を囲む)辺の総数をx、1つの面に集まる(1つの面を囲む)辺の総数をyとする。
辺はそれぞれ2倍に数えられる。
頂点と頂点を結ぶのは辺、面と面を結ぶのは辺である。x≧3、y≧3。

10 Gの位数|G|=2q。対称変換群。
1面の辺(正y角形)・n面=ny=2q。

11 四辺形の対称変換群。
正方形→長方形→台形→一般の四辺形。
正方形→平行四辺形→台形→一般の四辺形。菱形。
D4、D2、C4、C2、e。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/11(土) 17:34:55.90

1 空でない部分集合H
閉鎖律ab∈H。結合律。
逆元の存在。単位元の存在。
必要性は明らか。

2 空でないからa∈Hとする。
単位元の存在。逆元の存在が順に分かる。b∈Hとすると閉鎖律も成り立つ。結合律は成り立つ。
必要性は明らか。

3 aで生成される巡回部分群〈a〉を考えると逆元が存在する。よって閉鎖律を仮定すれば成り立つ。
必要性は明らか。

4 前問と同様。
5 共通部分。a、b∈H∩K⊂G。部分群である。ab^(-1)∈H、K。

6 e、g2、g4とe、g3。g6=e。
g2・g3=g5∉H∪K。

7 hkを考える。

8 ハッセの図式。束論的図式。
完備束。モジュラー束。
C4。e, 1234, 13+24, 1432,
D2。e, 13+24, 12+34, 14+23
C6。e, 123456, 135+246,
14+25+36, 153+264, 165432
S3。e, 123, 132, 12, 13, 23

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/11(土) 18:04:12.71

9 C12。位数12の巡回群。
g1、g2、‥。g2、g4、‥。
g3、g6、‥。g4、g8、‥。
g6。e。包含関係。正方形2個連結。

10。可換群の部分群は可換群となる。

11 最小の正の整数を考える。巡回群の部分群は巡回群となる。少なくとも1つはgm、m>0を持つ。

12 非可換群≠{e}。a≠eを少なくとも1つは持つ。amは巡回群で、可換だから部分集合にはならない。

13 極大部分群。
CnはDn'の極大部分群。
An'はSn'の極大部分群。

14 無限巡回群。
∀m、gm≠eなので無限巡回群になる。無限巡回部分群。

15 A4=正四面体の対称変換群
2辺の中点を結んだ軸と、頂点と対面の重心を結んだ軸。同型。
123, 132, 124, 142, 134, 143
234, 243。
12+34, 13+24, 14+23。e。
12+34, 13+24, 14+23。
12+34, 13+24, 14+23。
123, 132, 124, 142, 134, 143
234, 243。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/11(土) 23:57:36.20

1 左合同。
2 反射律。対称律。推移律。
同値関係。左剰余類。

3 Ha=Hb。
4 |H|=m。
5 ラグランジュの定理。
Gの左分解。
|G|=n、|G : H|・|H|=lm。

6 左分解の表。
0123
4567
891011
012
345
678
91011

7 左分解と右分解。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/12(日) 00:22:20.98

8 ラグランジュの定理。
巡回部分群。
9 正しくない。反例は位数12の群A4には位数6の部分群は存在しない。
10 巡回部分君砥一致する。逆はラグランジュの定理から明らか。
11 素数位数の群。巡回部分群。前問により明らか。
12 数学的帰納法によって証明する。正規部分群。
13 自明。単位群。単純群。真部分群を持たない。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/12(日) 00:36:47.76

14 極大正規部分群。Hの指数。左分解。右分解。
15 どちらも指数が2になる。
16 真部分群Hに対してHa≠aHなるaが存在することを確かめる。
17 D2以外の真部分群に対して前問と同様にする。

18 Zの7Zに関する左分解の表。
カレンダーと同じ。
01020304050607
08091011121314
15161718192021
22232425262728
29303132333435

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/14(火) 03:35:52.50

1 共役関係。
同値律。反射律。対称律。推移律。類別。類。同値関係。同値類。

2 S3=e, 123, 132, 12, 23, 13
C6=e、g、g2、g3、g4、g5
A4=e、12+34, 13+24, 14+23,
234, 243,134, 143, 124, 142,
123, 132

3 y=x^(-1)ax。負の整数に関しても示す。o(a)はaの位数。
4 xy～yx。
5 置換の合成。
6
(12)(345 )=12345→21534
(123)より
31245→13524
12345→35124=(13)(245)

(23)(145)=12345→53214
(123)より
31245→52134
12345→21534
(12)(345)

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/14(火) 16:16:02.43

7 nの分割。分割数。コーシーの公式。単一の巡回置換の場合。共通の文字を含まない幾つかの巡回置換の積の場合。

8 S4。
1が1個。12が6個。12+34が3個。123が8個。1234が6個。24個。

9 S5。
1が1個。12が10個。12+34が15個。123が20個。123+45が20個。1234が30個。12345が24個。120個。

10 反射律。対称律。推移律が成り立つ事が確かめられるので同値関係である。

11 必要性は明らか。逆にa^(-1)Ha⊂H。

12 正規部分群。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/14(火) 16:31:46.37

±1、+i
±1、±j。
±1、±k。
|Q : A|=2より、Aは極大部分集合である。ハミルトン群。
xを不変にする集合を中心。
正規部分群である。
可換群である⇔n>3ならば中心が単位元である。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/14(火) 16:55:50.55

1 複体。閉鎖律。結合律。単位元の存在。逆元の存在。群をなす。

2 Gの二元演算と両立する。
Gの共役関係はGの二元演算と両立しない。

3 準同型写像。単位元と逆元。

4 Imf。Kerf。部分群。正規部分群。

5 全射とImf。単射とKerf。
6 準同型写像定義明確。
同値関係。合同関係。

7 Kerfに関して合同。
8自然な準同型写像。標準的準同型写像。
正規部分群。剰余群G/K。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/14(火) 17:14:07.97

9 準同型定理。
f=p→φ。乗法的。全射。単射。準同型写像。よって同型写像になる。

10 f(x)=eに準同型定理を適用する。 f(x)=xに準同型定理を適用する。

11 準同型写像。正規部分群。自然な準同型写像。

12 C6。位数6の巡回群。準同型。像。Kerf=K'。

13 四元数群。中心に感すら剰余群。クラインの四元群と同型。
±1→e、±i→a、±j→b、±K→cに準同型定理を適用する。

14 実数の加法群。整数の加法群による剰余群。一次元輪環群と同型である。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/15(水) 01:33:11.44

10 全部で6個。
(λ-t)^3
(t-λ)
200
020
002
(t-λ)^2
210
020
002
(t-λ)^3
210
021
002
(λ-t)^2(μ-t)
(λ-t)(μ-t)
200
020
003
(λ-t)^2(μ-t)
210
020
003
(λ-t)(μ-t)(ν-t)
200
030
004

全部で3個。
(λ-t)^2
(t-λ)
20
02
(t-λ)^2
21
02
(λ-t)(μ-t)
20
03

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/15(水) 02:08:06.48

12
固有方程式はDet(A-tI)=0
(t-4)^2=0、t=4。
Rank(A-4I)=1。
固有値4に対する固有空間の次数は2-Rank(A-4I)=2-1=1。ジョルダン細胞の個数は1。AP=PJ。
J=4104. P=31-30
ジョルダン標準形。
変換行列。

11
固有値λに対する固有空間Vの次元はdimV=7-Rank(A-λI)=7-4=3。
ジョルダン細胞の個数はこれに一致するので3個である。最小多項式はf(t)=(t-λ)^3になるので標数は3である。
j次のジョルダン細胞の個数をljとすると
lj=Rank(A-λI)^(j+1)-2Rank(A-λI)^j+Rank(A-λI)^(j-1)より
l1=Rank(A-tI)^(2-2Rank(A-λI)^1+Rank(A-λI)^0=2-8+7=1
l2=Rank(A-λI)^3-2Rank(A-λI)^2+Rank(A-λI)^2=0-4+4=0
l3=Rank(A-λI)^4-2Rank(A-λI)^3+Rank(A-λI)^2=0-0+2=2(A-λI)^0=I。

λ
+
λ10
0λ1
00λ
+
λ10
0λ1
00λ

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/15(水) 02:24:14.61

13
Det(A-λI)=0より、(t+1)^3=0、t=-1。
Rank(A+I)=1、Rank(A+I)^2=0
固有値-1に対する固有空間の次数は3-1=2。これはジョルダン細胞の個数である。標数は2で、これは最大のジョルダン細胞の次数である。
よってジョルダン標準形は
-110
0-10
00-1
ジョルダン鎖。ジョルダン基。
101
211
320
解を持つように、かつ線形独立なベクトルを選ぶ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/19(日) 00:27:18.02

固有値は2, -3
(P^(-1)AP)^n=(D+N)^n
P^(-1)A^nP=D^n+nDN^(n-1)

固有値は3。
(P^(-1)AP)^n=(3I+N)^n
exp(3I)=I+3I+9/2I+=e^3I
expN=I+N+1/2N^2=M
expA=exp(3I+N)=exp(3I)expN
=e^3I×M=e^3M。

x(n)=A^n(x0)
連立差分方程式。
連立微分方程式も同様。

同時対角化
AB=BA。可換。同じ変換行列Pで同時に対角化出来る。和A+B、積ABもPによって同時に対角化出来る。
A、Bは正則、Ap=apとする。Bp=crとすると、
ABp=Acr。
BAp=Bap=acr。c≠0より
r=pとなる。AとBは固有ベクトルが一致する。固有値は必ずしも一致しない。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/19(日) 18:01:50.07

1 HがGの極大正規部分群てはないとする。G▷K▷HなるGの正規部分群Kが存在する。従ってG/H▷K/H▷H/HとなりG/Hは単純群ではない。逆も明らか。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/29(水) 08:04:49.40

2 |G/H|=|G : H|=l 素数。
G/Hは単純群。HはGの極大正規部分群。

3 A4▷D2▷AであるがA4▷Aではない。

4 S4▷A4▷D▷A▷e
組成列ではない
C▷R▷Q▷Z▷2Z▷0 加法群
組成列ではない

5 Gの正規部分群の中でGと異なる位数最大なものG1が存在する。▷e。最大正規部分群は唯一とは限らない。
正規鎖Z▷2Z▷4Z▷8Z。組成列を持たない。

6 C12は3個の組成列を持つ。
7 Q4は3個の組成列を持つ。

8 ジョルダンヘルダーの定理
シュライアーの細分定理
第2同型定理。G/H1=K1/D1、
G/K1=H1/DなのでDは極大正規部分群。

9 C6▷A▷e、C6▷B▷e
C6/A=B/e、A/e=C6/B
C12▷B▷e、C12▷C▷D▷e
C12/A=C/D、A/B=D/e
B/e=C12/C

10 巡回部分群。極大正規部分群。唯一の組成列を持つ。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/29(水) 08:20:17.47

11 可解列。細分。部分群。可換。第3同型定理。この操作を繰り返す。

12 剰余群列。素数位数。部分群。正規部分群。第2同型定理。組成列。逆は明らか。可解群。

13 共通部分を作る。

14 S4▷A4▷D2▷e
元の正規鎖は可解列。

15 A5は位数最小の非可解群である。アーペルの定理。単純群。非可換。非可解列。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/29(水) 08:38:26.94

1 G=ΠHiレマク分解。可換。分解の一意性。

2 可換律と結合律が成り立つ。一意的な分解。直積。

3 分解。2通りに表されると仮定する。

4 直積因子が2個の場合。第2同型定理。

5 異なる極大正規部分群。G=H×K。

6 直既約分解
C4 直既約。D2 A×B。S6直既約。

7 外部直積。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/29(水) 09:10:01.49

8 |G1×G2|=|G1|×|G2|
同型写像。

9 D2=C2×C2。C6=C2×C3。
明らか。

10 D2k=C2×Ck。
正規部分群。

11 C8、C4×C2、C2×C2×C2は互いに同型ではない。
C8は位数8の元を持つので他と同型ではない。同様に位数4の元を持つものと持たないものは同型ではない。全部で5個の型がある。

12 C9、C3×C3。
可換群。巡回部分群。極大正規部分群。

13 1次元輪環群。C*/R+=T。
C*=R+×T。
準同型写像の核はR+。準同型定理。C*は可換群。

**ご冗談でしょう？名無しさん** · 2021/09/29(水) 14:41:18.91

1 環Rは分配律を満たす。反元-a。零元0。加法群。

2 零環{0}。a=0と仮定する。

3 単位的環。正則性。

4 m>0の時、並べて示す。
5 零因子を持たない⇔簡約律が成り立つ。

6 整域。Fを体とする。可換な単位的環。逆元。

7 ウェダーバーンの定理。有限体。無限体。剰余体、

8 有理整数環Z。ガウス席数環Z(i)。可換な単位的環。整域である。正則元は±1。±1、±i。