ある有名な幾何学者が書いた本に、力学的な説明が出てくるのですが、合っていますか？

まず、その幾何学者は以下のような内容を書いています：

物体が描く軌跡を c(t) とする。

t = a から t = t0 までに物体が進む距離 s(t0) は、

s(t0) = ∫| dc(t)/dt| dt from t = a to t = t0

である。

ds(t)/dt= |dc(t)/dt|

が成り立つ。

時計をかえて、 s で時間を計ることにする。

dc(t)/dt = dc(s)/ds * ds(t)/dt = dc(s)/ds * |dc(t)/dt|

両辺のノルムをとると、

|dc(s)/ds| = 1

0 = d/ds |dc/ds|^2 = d/ds <dc/ds, dc/ds> = 2 * <d^2c/ds^2, dc/ds>

つまり加速度が進行方向と直角に働きますから、その車はその方向に曲がる
かわり、速度は変わらないのです。