a4さんは，理学部乃修士課程とかにいたの？
ハミルトニアンが時間に依存しないなら，
|ψ,t> = e^{-iHt}|ψ>
が量子力学における状態|ψ,t>の時間発展を表すから，
U(t)=e^{-iHt}は確かにユニタリ演算子であるけど，
そもそも状態の時間発展はノルムを保存するから必ずユニタリになりとか
じゃないの？特異点とかだと，通常の数学が適用できないかも知れないから
分からないけど…