まずどういう幾何学が成り立つのか考えよう。
つまり、どんな計量が入るのか。

我々としてはその空間でも物理法則が成り立ってほしいから、
お好みの物理法則と相対性原理が成り立つとしよう。

ニュートンの運動方程式は自然に4次元に広げられる。
しかし、マクスウェル方程式はどうしよう。全部3次元っぽいぞ。
これはラグランジュ形式で考えるといいかも知れない。
すなわち、3次元空間+1次元時間での作用積分
(-e/c)∫A_i dx^i
を、アインシュタインの規則を4次元空間+1次元時間の場合に拡張して終わり。
ローレンツ力とマクスウェル方程式の第一の組を出す作業は読者諸氏への宿題としよう。