前のスレにも書いてて申し訳ないけど、
やっぱり3次元は特別な気がする。

①統計力学における相転移の模型（の最も標準的なモノたち）は3次元での場合だけ臨界指数が厳密に求まってない。
（例えばIsing模型では1、2次元空間では分配関数が解析的に解けて、4次元以上では平均場近似が正当化される）

②ゲージ理論は３＋１次元時空がくりこみ可能な最大次元。くりこみ不可能だとどうなってしまうのだろう。。

③ポアンカレ予想は２次元では古典的な事実、４次元以上の場合では早い段階で証明が見つかっており、
　３次元の場合がミレニアム問題になっていた（結局解決されたけど）。

④ひも（１次元多様体）は３次元空間内でしか絡まらない。
　確かに４次元だと面が絡まったりするが、例えば４次元の生物でもDNAは一次元的だろうし
　（設計図を平面的にする利点は多分４次元空間において特に無い。…と考えるの早計か？）
　あと電気のコードとかもひもだろうから、この例はトリビアルではないと思う。

⑤格子上のランダムウォークでは３次元以上で再帰確率が１より真に小さくなる。
　逆に２次元での酔歩は再帰的だから、いずれもとにいた場所に戻ってきてしまう。
　だから３次元は大丈夫だが、２次元にハマると抜け出せないのだ…（蛇足）

⑥正多角形・正多面体の拡張概念は５次元空間以上では自明なものしか無い。
　（正四面体（単体）・立方体（2^n）・正八面体（立方体の双対）の三つしか無い）

⑦あとその他のホーキングの本にも書いてあったような３次元の都合の良い性質。
　（恒星系・原子の構造安定性や、２次元的生命の不可能性（？））

こうしてみると、やっぱり３次元は０、１、２、３、４、５、６、７、…∞
と無限にある（次元は実数にまで拡張できるから実際は非可算無限にある！←少し大げさか？）候補の中で
かなり特殊な次元だと言わざるを得ないと思う。

（上で挙げた例は微妙とか言われそうだけど笑
　確かにKT転移とかは２次元でしか起きないしね。あーでもこれは２次元系では長距離の秩序/無秩序転移が起こらないからここに挙げる例としてはトリビアルか）