Def:
K = (K, d)をコンパクト距離空間とする。
Kの空でない部分集合Aに対して、Aの直径を

δ(A) := sup{ d(a, b) | a, b ∈ A }

と定義する。
Kはコンパクトで、dはK×Kの実数値連続関数であるから、max{ d(K × K) }が存在し、

δ(A) ≦ max{ d(K × K) }　(∀A⊂K)

となるので、δは有限の値となる。