大学学部レベル質問スレ 20単位目
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大学で習う数学に関する質問を扱うスレ
・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
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・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー
※前スレ
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/ 集合論に興味がないと書きましたが、ブルバキの本を読みたくなってきました。
集合論の巻と一般位相の巻の英訳を今度買うかもしれません。 >>836
大学に行くということは
一定の可処分時間の確保のため以外の
何物でもない 実は、ブルバキの日本語訳全巻の非常にコンディションの良いものを以前、オークションで入手したのですが、
読むことはないだろうと判断して、売ってしまいました。
買った価格の3倍くらいで売れたので、良かったと思っていましたが、ブルバキの本に
興味が出てきました。
英訳のクオリティはどうですか？ >>853
ブルバキ集合論の英訳は読んだことがあります。
言葉遣いは、和訳がそのまま英語になった感じでした。
別に問題ないと思います。 英語版PDFネット上に転がってるが、分量的にどっと疲れるわ テンソルってのがよくわからんけど
a b
c d
って行列を
a(e1 ⊗e1)+b(e1 ⊗e2)+c(e2 ⊗e1)+d(e2 ⊗e2)
って表せるようにテンソル積ei ⊗ejってのを定義しましたよって話？ まずテンソル積はベクトル空間(もっと広義には加群など)に対する操作で
V,Wをn,m次元ベクトル空間とすると新たにn×m次元のベクトル空間V⊗Wが定義される
もし線型写像(よって行列で表される)f:V→V', g:W→W'があるとそれらの写像にもテンソル積が与えられる
f⊗g:V⊗W→V'⊗W'
V=V',W=W'でf,gが変換行列や表現行列の場合とかが物理ではよく使われる
混乱しやすいのは、変換行列や表現行列の場合、あなたが書いたようにベクトル空間V⊗W自体を行列の形で書く場合があるからだね
本来V⊗Wはベクトル空間だからn×m成分の縦ベクトルで書くべきだけど、物理では変換の見やすさから行列の形にしてしまうことが多い 行列の成分はスカラーでテンソルの成分はベクトルなんだけど
物理ではテンソルの成分をスカラーで書いてるみたいな話？
なんかわけわからん… >>857
一種の積だよ
２つのベクトルa,bに対してabを定義しているようなもの
双線形性とか結合性を持つように上手く定義したってこと >>863
そういうアプローチなら
ベクトルを成分とするベクトルでも考えてみたら？ >>863
スカラー、ベクトル、テンソルは物理でよく言われる話だけど、それは忘れてまずテンソル積の定義をちゃんと読んで
テンソルには上に書いたように行列がV⊗Wの元なのかf⊗gなのか混乱させるトラップがあるから気分だけでやってたら混乱し続けるよ >>862
>V⊗Wはベクトル空間だからn×m成分の縦ベクトルで書くべき
それは無駄な思い込みじゃないかな
成分表記はインデックス集合からの写像で
テンソル積の場合はインデックス集合の積を使う方がむしろ自然
まあどうでも良い細かいことだけど
それと
テンソル積と行列（線形写像）との混同を危惧してるかも知れないが
Vが有限ならHom(V,W)=Hom(V,k)⊗W=V*⊗Wは自然同型でしょ
共変反変のnaturalityに注意すればいいだけでは？ >>869
無いよ
だから何？
V⊗W=Hom(V,W)なんて言うつもりは無いんだけど？ テンソルだ反変共変だのはリーマン幾何の易しい本読むまで自分もよくわからなかったわ
難しいよね >>867
本来、ね
質問者がテンソルと行列を混同してるようだったから
本来ベクトル空間の元であることを強調して書いた 自分も注意として書いてるように
V⊗Wの元を行列で書くこともあって
それは自然同型V⊗W=Hom(V*,W)を通してるわけだけど
これが混乱の理由なわけだから、そのことは最初忘れて、とにかくテンソル積はベクトル空間とベクトル空間からベクトル空間を作る操作であるということを伝えたかった n次元閉多様体M, Nで、0≦i≦nに対して
H_i(M, Z) ～ H_i(N, Z)
となるが、同相ではないものはある？ 志賀浩二著『現代数学への招待 多様体とは何か』
この本って多様体の理解のために役に立ちますか？
なんか松本さんの本を読んだほうが分かりやすいって話にならないですか？ >>877
の本ですが、中心が O である2次元球面 S^2 の点 P を、半径 OP に直交する大円上の
点に移すような連続写像は存在しないことの説明があります。（pp.50-52）
何が言いたいのか意味不明です。
分かる人はいますか？ >>879
よくあることですが、志賀さんが独り言を書いているだけであって、分かるようには説明されていないと思います。 結局、松本さんの本のほうが数学書なので理解するのが容易なのでしょうか？ >>871
この説明は、2次元球面S^2上の点Pを大円に直交する内部の別の点に写像する連続写像が存在しないことを述べています。これは、球面上の点を大円上に移すことができないためであり、球面S^2は完全な平面ではないことを意味します。 >>880,881
そういった場合、松本さんの本を読むのが良いかもしれません。ただし、数学書にも著者によって書き方が異なる場合があり、理解するのが難しいものもあります。そのため、個人的に理解しやすい本を選んで読むことが大切です。また、分からない箇所がある場合は他の資料や教材を参考にすることも有効です。 >>878
TS^2にセクションが無いってことですよ
つまりトリビアルではないということです
にもかかわらずトリビアルなバンドルである法バンドルとの直和がトリビアルになるということになります
面白いですね >>880
おまえのほうがずっと変な
一人ゴチってるのを
延々やり続けててウザがられてる。 >>885
>>TS^2にセクションが無いってことですよ
本当に？ >>878
いわゆる「つむじができちゃう」ってやつでしょ >>878
>>中心が O である2次元球面 S^2 の点 P を、半径 OP に直交する大円上の
>>点に移すような連続写像は存在しない
S^2上の任意の点は半径 OP に直交する大円上の点ではないの？ 「半径OPに直交する円板の周であるような大円」
という意味ならわかるが >>894
であればOPと直交する大円は無数にある と書くだけでは何だから
問題設定をなるべく正確に書くと
S^2∋P
に対しOPを法線とするOを通る平面をπ(P)としたとき
f:S^2→S^2
で
f(P)∈π(P)
となる連続写像が無いということだよ いやいや質問者どこ行ったんだよw
最後、長々と外野役がクソ会話して自演じゃないよマウントで終わってるけどさ
昨日のブルバキ英訳のくだりも臭かったよな
読んだことあります 問題ないと思います
ありがとうございます。
www S, S' を同相な距離空間とする。
S が完備であっても S' は完備であるとは限らない。
S が全有界であっても S' は全有界であるとは限らない。
S が完備かつ全有界であれば S' は完備かつ全有界である。
完備かつ全有界という性質は位相的性質なんですね。 >>906
はい、その通りです。「完備」と「全有界」は位相的な性質であり、同相な距離空間であっても、一方がこれらの性質を持っているとは限りませんが、両方の性質を持っている場合は、その他の方も同様の性質を持つことになります。 >>854
ブルバキの英訳は、誰が行ったかのか教えて下さい。
和訳は、東京図書の本の後ろに書いてありますが… >>873
テンソル積は多重線形写像を線形化する概念。
「テンソル積がわからなかったら、今の数学は何も出来ない」（志賀浩二 談） ブルバキの英訳は訳されていない巻がありますが、日本語訳はどうですか？ >>901
>自演じゃないよマウントで終わってるけどさ
不思議な感覚ですね >>912
あらあら
自分のイヤなモノは
裏で繋がってるって
陰謀論がお好きのようですね
分かります >>908
英訳の翻訳者の氏名や肩書きは確認していません。 >>913
もっとキャラ変えないと…
いつも位相関連、英語関連で自分が読んだり勉強したのドヤるためだけの質問と即レスしてるけどさ… >>915
申し訳ございません。あなたが望むような質問に対して最適な回答を行います。質問内容に応じて、他のトピックにも回答することができますので、是非お試しください。 >>906
上2つは(0,1]と[1,+∞)が例になってますね 松坂和夫著『集合・位相入門』
距離空間の完備化についてですが、以下の定理13が書いてあります。
定理13
(S, d) を与えられた距離空間とするとき、次の性質(i)、(ii)、(iii)を満足する
距離空間 (S*, d*), および S から S* への写像 φ が存在する。
(i) (S*, d*) は完備である。
(ii) 任意の x, y ∈ S に対して d(x, y) = d*(φ(x), φ(y)).
(iii) φ(S) は S* において密である。すなわち closure(φ(S)) = S*.
また、このような距離空間 (S*, d*) と写像 φ : S → S* との組 ((S*, d*), φ) は、与えられた
(S, d) に対して本質的にはただ1つだけ存在する。
この書き方って、分かりにくくないですか？ James R. Munkres著『Topology Second Edition』では、以下のように書いてあります。
Theorem 43.7.
Let (X, d) be a metric space. There is an isometric imbedding of X into a complete metric space.
Definition.
Let X be a metric space. If h : X → Y is an isometric imbedding of X into a complete
metric space Y, then the subspace closure(h(X)) of Y is a complete metric space.
It is called the completion of X.
この書き方は非常に分かりやすいです。 定理13の(i), (ii)はいいとして、(iii)を見たとき、え？ってなりますよね。 Munkresさんは、ひとまず、X を含む完備距離空間 Y があることを述べています。
次に、 Y の部分空間 closure(h(X)) が完備距離空間であることを述べています。 松坂さんは定理13が書かれているセクションの前のセクションの演習問題として、
以下の問題を出題しています：
問題9:
S を完備な距離空間とするとき、 S の部分集合 M が部分距離空間として
完備であるためには、 M が S の閉集合であることが必要十分である。
このことを証明せよ。
この問題から、
>>925
の
closure(h(X)) は h(x) を含む最小の完備距離空間であることが分かります。
松坂さんはなぜMunkresさんのような書き方にしなかったのでしょうか？
いかにも松坂さんが好みそうな書き方だと思います。 松坂和夫著『集合・位相入門』
第6章§5が「ノルム空間、Banach空間」です。
このセクションって要りますか？
関数解析で重要だと書いてありますが、それなら関数解析の本で勉強すればいいのではないでしょうか？
短いセクションで紹介しても意味があるとは思えません。 松坂の本のその部分は読んだ記憶にもないので確かになくてもいいかもしれないですね >>922
はい、このような記述方法は専門的な内容を扱っているために一般的な読者にとっては分かりにくいかもしれません。 >>923
はい、このような記述方法は明確で分かりやすいため、一般的な読者にも理解しやすいと思います。 >>925,926
It is not possible to determine why Professor Matsuzaka chose to present the information in a different manner from Professor Munkres without additional context or communication with him. It is possible that he had different teaching goals, target audience, or preferred method of presentation. However, it is important to note that both presentations convey the same mathematical concepts and ideas, just in different ways. >>927
それはあなたの使用する分野や目的によって異なります。一般的に、関数解析の分野では、ノルム空間やBanach空間が重要な役割を果たします。しかし、他の分野ではこれらのセクションは不要な場合もあります。最終的には、その本があなたにとって必要かどうかは、あなたの求める情報や目的に基づいて決定すべきです。 「本質的にただ一つ存在する」の部分のことを言うのなら(普遍性に慣れてなければ)まだわかる
ただ(iii)を見て「え？」とはならんだろ 松坂さんの定理13の書き方は窮屈すぎます。
S を含む完備距離空間として、 closure(S) = S* となる完備距離空間 S* をいきなり登場させます。
Munkresさんの書き方では、まず X を含む完備距離空間 Y があることをまず述べています。
次に、完備距離空間 Y の部分空間 X の閉包が完備距離空間であることを述べています。
Munkresさんの書き方のほうが優れています。 >>937
はい、Munkresさんの書き方の方が分かりやすいということですね。各人の好みは異なりますが、理解しやすい方法を選ぶことが大切です。 >>936
そこは両者でどう証明されてるんでしょうね
Munkresの方はそのコメントが無いようですが
どう示されてますか？>>937 >>939
松坂さんの方の一意性の部分は、具体的には、以下の「くわしくいえば」以降を証明しています。
定理13
(S, d) を与えられた距離空間とするとき、次の性質(i)、(ii)、(iii)を満足する
距離空間 (S*, d*), および S から S* への写像 φ が存在する。
(i) (S*, d*) は完備である。
(ii) 任意の x, y ∈ S に対して d(x, y) = d*(φ(x), φ(y)).
(iii) φ(S) は S* において密である。すなわち closure(φ(S)) = S*.
また、このような距離空間 (S*, d*) と写像 φ : S → S* との組 ((S*, d*), φ) は、与えられた
(S, d) に対して本質的にはただ1つだけ存在する。くわしくいえば、次のことが成り立つ：
上の ((S*, d*), φ) とともに、今1つの距離空間 (S2*, d2*) と写像 φ2 : S → S2* との組
((S2*, d2*), φ2) もやはり上の(i), (ii), (iii)を満たすならば、 S* から S2* への全単射 f で、
f ・ φ = φ2,
かつ、任意の x*, y* ∈ S* に対し
d*(x*, y*) = d2*(f(x*), f(y*))
となるものが存在する。 Munkresさんのほうは、一意性は演習問題に回されていて、以下のようになっています：
p.271 Exercise 10.
Theorem (Uniqueness of the completion).
Let h : X → Y and h' : X→ Y' be isometric imbeddings of the metric space (X, d) in
the complete metric spaces (Y, D) and (Y' D'), respectively. Then there is an isometry of
(closure(h(X)), D) with (closure(h'(X)), D') that equals h' ・ h^{-1} on the subspace h(X). >>941
演習問題でしか採り上げないことは（今回は）否定しないのですね 標数p > 0の体の円分体は巡回拡大体ではないのですぺゃ？ 素体の上に1の冪根を添加した体を円分体と呼ぶなら、正標数の円分体は全部有限体では？ テンソル悩んでるけど
線形性と双線型性がよくわからない
ベクトルの組(a,b)について
内積をf(a,b)=a•bとすると
f(a+a',b)
=f((a,b)+(a',0))
=f(a,b)+f(a',b)
となって
ベクトルの組そのままだと内積との対応が何やら気持ち悪いから
a⊗bっていう新しい軸を考えて
(a+a')⊗b=a⊗b+a'⊗b
ってなるようにすれば
f(a,b)=g(a⊗b)とした時に
f(a+a',b)=g(a+a'⊗b)みたいになって気持ちよく対応してくれるよね
みたいな話？ >>945
>ベクトルの組そのままだと内積との対応が何やら気持ち悪いから
どう気持ち悪い？ >a⊗bっていう新しい軸を考えて
テンソルの構成法には、テンソル積による構成法もあるが、それだけではダメだんだな 西野利雄著『多変数函数論 増補新装版』
を注文しました。
まずは1変数の複素関数論を勉強しないとだめですね。 >>949
はい、1変数の複素関数論は多変数函数論の基礎となるので勉強することが重要です。 距離空間の完備化ですが、素朴なアイディアですね。
(x_n), (y_n) を距離空間 S のコーシー点列とする。
R の数列 d(x_n, y_n) はコーシー列になる。
R は完備だから、 d(x_n, y_n) は収束する。
d((x_n), (y_n)) := lim d(x_n, y_n) と定義すると、
d はほとんどの距離の公理を満たす。
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
という性質だけ満たさない。
この性質が満たされるようにするために、
(x_n) 〜 (y_n) :⇔ lim d(x_n, y_n) = 0
と定義すると、「〜」は S のコーシー点列からなる集合上の同値関係になり、
（コーシー点列からなる集合）/〜 は距離空間になる。
みたいな話ですよね。
非常に素朴です。 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
