Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 67
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（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 66
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651884405/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
（参考）
https://twitter.com/math_jin
math_jin 出版序文リンク Andrew Putman 2021年3月6日
https://drive.google.com/file/d/1n1XMCNyQxswQGrxPIZnCCMx6wJka0ybh/view
望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り出版されました。また、“Explicit”版が公開され、査読は完了したようです。
IUTの4回の国際会議は無事終わり、Atsushi Shiho (Univ. Tokyo, Japan)先生が、参加したようです。
IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！（＾＾；）
つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>271
つづき
一意化定理
リーマンの写像定理は、リーマン面の脈絡で一般化することが可能である。U をリーマン面の単連結な開部分集合とすると、U はリーマン球面、複素平面 C、開円板 D のうちの一つとなる。この定理は、一意化定理として知られている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%84%8F%E5%8C%96%E5%AE%9A%E7%90%86
一意化定理
一意化定理(uniformization theorem)とは、すべての単連結リーマン面は、開円板、複素平面、リーマン球面の 3つのうちのひとつに共形同値であるという定理である。特に、単連結リーマン面は定曲率（英語版）(constant curvature)のリーマン計量を持つ。この定理は普遍被覆リーマン面を楕円型（正の曲率、正の曲がった曲率をもつ）、放物型（平坦）、双曲型(負曲率）として分類する。
一意化定理はリーマンの写像定理の平面の固有な単連結開部分集合から、任意の単連結はリーマン面への一般化である。
一意化定理は、任意の連結である第二可算の面の同様な結果、定数曲率のリーマン計量を与えることができることを意味している。
(引用終り)
以上 >>269 補足
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf
複素解析特論I タイヒミュラー空間と複素力学系への応用 川平 友規 普遍被覆面 「リーマン面の一意化定理」
これのP13が、9.2 写像の持ち上げで
命題 9.5 (写像の持ち上げ) （略）で
このような f~ を f の持ち上げ (lift) と呼ぶ．
と記されている
(引用開始)
＜証明のスケッチ＞ x~ ∈ S~ を変数として，f~(x~) ∈ R~ を上の可換図式を満たすように定義しよう．S~ 内
のパス γ~ として，p~ を始点とし x~ を終点となるようなものとする．（S~ は単連結であるから．このよ
うな γ~ はすべて互いにホモトピックである．）すると γ = π ○ γ~ は p を始点とし x = π(x~) を終点と
する S 内のパスである．さらにこのパスを f で写すと，q = f(p) を始点とし y = f(x) を終点とす
る R 内のパス γ′ = f ○ γ を得る．最後に，解析的関数の「解析接続」の要領で，γ′ を R~ のパス γ~′
に「持ち上げる」：πR は局所的に同相写像であることから，q の近傍を q~ の近傍へ同相に写す局所
的な逆写像が存在する．これを用いて，γ′ の断片を q~ を始点とするパスの断片へと写すことができ
る．この操作を γ に沿って繰り返すことで（パスのコンパクト性より有限回で必ず終わる），q~ を始
点するパス γ~′ で，πR ○ γ~′ = γ′ を満たすものが存在する．その終点は，γ の取り方によらず一意的
に決まるので，これを f~(x~) と定めればよい．写像 x~ → f~(x~) は連続かつ先の図式を可換にすること
は容易にわかる．
(引用終り)
つまり、「写像の持ち上げ」の証明には、”解析的関数の「解析接続」の要領で”とある
（これを繰り返す）
解析接続を使うなら、黒田本でも「補助定理」>>104で、その証明は、
https://imgur.com/c2keZuC P170 の冒頭にある通りで
テイラー展開を使っているから、本質は同じ
というか、いまの問題では ”f(z) = exp(2πicosh(g(z)))”と具体的な関数の形が与えられているから
もし”持ち上げ”とか、普遍被覆の大定理が使えたとしても
大定理の証明で、”「解析接続」の要領”を使うならば、黒田本の方が、直接的ですっきりしているって、ことです
つづく >>下記の普遍被覆の議論は、川平 友規 複素解析特論I タイヒミュラー空間へつながる
それがどうABCにつながるのかさっぱり >>269
>１）そもそもの問題は、
>「fを単位円Δ上定義された正則関数で
> 0,1の値を取らないとする
> このときΔ上の正則関数gで
> f(z) = exp(2πicosh(g(z)))
> を満たすものがとれる」
> であった。
> つまりは 関数g(z)の存在が問われている。
その程度の日本語は読めるんだなw
> それに対して、上記の議論は、
> g(z)の存在を前提とした議論をしている
そこは日本語が読めてないな >>270
>２）たしかに、関数f(z)のリーマン面の普遍被覆は
> 考えられるが
そのコメントで
「ああ、コイツ、全然分かってねえな」
ってバレバレ
> 問題は、そこから 条件
>「0,1の値を取らない」を使って、
>f(z) = exp(2πicosh(g(z)))
>なる関数g(z)の存在を示せるのか？ってこと。
g(z)の値域でexp(2πicosh(z))の微分が0でないならOK
>だから、持ち上げの逆方向の議論であるべき
は？持ち上げの議論だろ？
コイツ、向きも分かんねえのかw >>270
>３）それに、リーマン面の普遍被覆の一意化定理では、
>”開円板、複素平面、リーマン球面の 3つのうちの
>ひとつに共形同値”だけど、ℂ＼{0}って？
ℂ＼{0}の普遍被覆はℂ(複素平面)だな
> そもそもは、問題のf(z)のリーマン面の議論が
>すっぽり抜けている。f(z)のリーマン面に対して、
>条件 「0,1の値を取らない」を与えて、
>どうなるかという話
f(z)のリーマン面とか関係ない
>>278に書いたことが全て
分からないなら多変数の微分からやり直せ
具体的にはヤコビアンが0でないことの意味
これ分からないなら多様体は全く理解できない
基本中の基本 >>270
>４）また
>”exp(cosh(z))の微分が死んでる”
>うんぬんをいうが、式が間違っている。
>exp(2πicosh(g(z)))でしょ？
exp(cosh(z))について述べてるからこれで正しい
>g(z)を抜かした議論しても無意味
論理を理解せずに文句つけても無駄
「この●●」と笑われるだけ
> （繰り返すが、そもそも、g(z)が存在するか？だ。
> exp(2πicosh(g(z)))を微分しても良いけど、
> よほど注意しておかないと、循環論法になる
微分が0でない=局所同相、って分かってないなら、
何イッテも的外れだからやめとけ
「この●●」と笑われるだけ
> 例えば、
>「exp(2πicosh(g(z)))を微分して
> 死んでるところ無いからOK」
> とかｗ）
今数学板の読者全員から笑われてんのアンタだけだよ >>278
> g(z)の値域でexp(2πicosh(z))の微分が0でないならOK
違うんじゃね？
exp(2πicosh(g(z)))の微分を考えるべきと思うぜ >>281
>exp(2πicosh(g(z)))の微分を考えるべき
その根拠は？ >>283
根拠を聞いても答えないよ
鎌かけてるだけだから
ペテン師の常とう手段 >>287
だろうな
局所同相なら局所的に逆写像が存在することも
分かってない
ま、正則行列知らんのじゃ、仕方ないがw >>283
>>exp(2πicosh(g(z)))の微分を考えるべき
> その根拠は？
1）根拠を問われるべきは、「g(z)の値域でexp(2πicosh(z))の微分が0でないならOK」>>281
の方だろ？
2）そもそも、問題は >>29 より
「fを単位円Δ上定義された正則関数で0,1の値を取らないとする
このときΔ上の正則関数gでf(z) = exp(2πicosh(g(z)))を満たすものがとれる」
だった
3）合成関数 f(g(x))の微分は、df/dx=df/dg・dg/dxf'(g(x))g'(x)(下記)
だよ
4）上記 f(z) = exp(2πicosh(g(z)))は、3重の合成関数ですよ（expとcoshとg(z)と）
「g(z)の値域でexp(2πicosh(z))の微分が0でないならOK」の根拠は？
(参考)
https://manabitimes.jp/math/1109
高校数学の美しい物語
微分公式一覧（基礎から発展まで）更新日時 2021/03/07
合成関数の微分：
{f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)
(引用終り)
以上 >>289 タイポ訂正
3）合成関数 f(g(x))の微分は、df/dx=df/dg・dg/dxf'(g(x))g'(x)(下記)
↓
3）合成関数 f(g(x))の微分は、df/dx=df/dg・dg/dx＝f'(g(x))g'(x)(下記)
な >>289
>1）根拠を問われるべきは、
>「g(z)の値域でexp(2πicosh(z))の微分が0でないならOK」
> の方だろ？
根拠ないんだな
>>288の意味、分かってないだろ？
ヤッパ、マジで正則行列もヤコビアンも逆関数定理も分かってないな
アンタ、大学行ったこと一日もないだろ？ >>289
>f(z) = exp(2πicosh(g(z)))は、3重の合成関数ですよ
>（expとcoshとg(z)と）
>「g(z)の値域でexp(2πicosh(z))の微分が0でないならOK」
>の根拠は？
頭悪いな
要するに
1.fの定義域が開円盤 つまり単連結
2.fは定義域全体で正則
(注 微分が至るところで0でないとは言ってない)
3.fは0,1を値としない
4.Φは0を値としない
5.Φの微分が0となる点でのΦの値が1
ならばf(z)=Φ(g(z))となるgが存在する
ってたったそれだけのことじゃん >>293
なんだ？
妄想全開だな
それに、記述が雑だね
数理論理君かなｗｗ >>294
な、アホやろ？
>>293で十分何言いたいかわかる
この程度の話すら分からん
セタの知能では無理なんだよ >>295
逆関数定理知らないって
人間失格のサルだよな >>269
再録
>>103
（引用開始）
そもそもなぜf(z)が0でなければf(z)がexpを通過できるのか、すなわちf(z) = exp(g(z))となるg(z)が取れるのかのところにリーマン面の話が入ってる
与えられた状況は
Δ̅ ℂ̅＼̅{̅0̅}̅
↓ ↓
Δ → ℂ＼{0}
ただし→がf(z)、↓は普遍被覆、X̅はXの普遍被覆(ℂ̅＼̅{̅0̅}̅がくるしいがじゃあなし)
で被覆空間の一般論でf:Δ→ ℂ＼{0}がf̅:Δ̅ → ℂ̅＼̅{̅0̅}̅に持ち上がる、そしてΔが単連結だからΔ̅→Δは同型だからfが右側の↓を通過する事になる
これが”f(z)が0にならないのでf(z)がexp(z)を通過する原理”、この原理をきちんとこの段階で理解できていれば、その次のg(z):Δ→ℂをcosh(z)を通過させるところも同じ
cosh(z):ℂ→ℂの中で局所同型でないところ、cosh'(z)=0でないところにim(g(z))が言ってない事を確認する
そしてここまでの話が分かればそもそもexp(z)、cosh(z)と2段階に分ける事にも意味がなく最初からexp(cosh(z))の微分が死んでるところをかわせてるかチェックすればいいだけともわかる
(引用終り)
はてさて、「通過」とは？
なになに？ 独自用語か？
いや、うろ覚えかな？
はたまた、妄想かもね？ｗ
難しい数学を、勉強しすぎたら
こういうことになるの？ｗ
いや、きっと
ちゃんと理解してないだろうねｗ >>287
だからお前には無理だって
ともかく働け能無し >>297
>はてさて、「通過」とは？
>なになに？ 独自用語か？
初めて聞いたが、論理で完璧に定義されてたので
何の曖昧さもなく理解出来たが？
そもそも逆関数定理も知らず、単連結なら
任意のループが連続的に1点に収縮できることも
知らん中卒には理解できんわな >>299
そんなの素人が、独自の数学用語なんか、発明しない方良い
つーか、学部レベルでは、禁句だな
基本の数学用語をキチンと学んで使うこと
東大で、頭良すぎて数学科院試が通らない人がいるらしいｗ
勝手に、院試で自分独自の用語を発明して答案書くやつ
採点基準に合わないと、不利な扱いされてもしかたない
院試で見たいのは、学部レベルの数学をキチンと習得できているかどうかだ
独自用語を使うと、それだけで「こいつ勉強不足」と思われるだけだよ >>300
いいから働けよ
お前の生活費のために税金納めてるコッチが馬鹿らしくなるよ
乞食 >基本の数学用語をキチンと学んで使うこと
と、基本の数学用語をまったく学ぼうとしない中卒が申しております >>300
理解できないのは用語のせいではないな
行列式が分からん
→ヤコビアンが分からん
→逆関数定理が分からん
→何で「微分が0でない」が出てくるのか分からん
それじゃ院試以前に学部、
しかもパンキョーの数学で
単位取れない
ま、工学部とかいう専門学校の連中は
どうだか知らんけどなwww >>301
ふふふ。>>297（つまりは>>103だけど）
は
間違ってましたと、皆に謝りなよ
まあ、それはプライドが許さないかなｗｗ
さて、黒田の補助定理P169の画像アップするよ（下記）
これと、あんたの>>297（つまりは>>103）を比べてみなよｗｗｗ
（参考）
https://imgur.com/bxvrkQg
補助定理「f(z)=e^h(z)の存在他」と証明の最初の1行 P169 複素関数概説 黒田正 共立出版 初版18刷 2013
補助定理(>>104&>>183)
引用
「補助定理」関数f(z)はz平面の開円板D：|z|<R で正則であって
そこでf(z)≠0であるとすれば、Dで
f(z)＝e^h(z)＝(g(z))^k (kは正の整数)
をみたすDでは正則な関数h(z),g(z)が存在する。ここで、h(0),g(0)は、値f(0)のみで定まる
証明
（本文ご参照）
（>>183）
・P170の直前が、>>104 の「補助定理」で、
証明が1行のみあり
”関数f'(z)(f(z)))^-1は領域Dで正則であるから”となっている
これの続きが P170～172
https://imgur.com/c2keZuC P170 上記証明の続きから定理7.10 （ショットキ(Schottky)）へ
https://i.imgur.com/SjDgTAy.jpeg P171 定理7.10 （ショットキ(Schottky)）証明後半 複素関数概説 黒田正 共立出版 初版18刷 2013
https://imgur.com/q4fwcYf P172 ショットキ定理(Schottky)の系と ピカールの定理(Picard) 複素関数概説 黒田正 共立出版 初版18刷 2013
以上 >>305
1ミリも間違っとらんわ能無し
間違ってないのがわかってないのがお前だけだとわかってないクズ
今までの数学っぽい話してると信じてるお前のクソ議論は全部そう
なーんにもわかってないお前の妄想世界
お前こそまずみんなに働いてないのにご飯食べさせてくれてありがとうやろ寄生虫 >>305
>ふふふ。
> >>297（= >>103）は間違ってました
>と、皆に謝りなよ
ところで、297=103のどこがどう間違ってるのかな？
まさか
「黒田本と違うから間違ってる」
とか言わないよね？ 相手を挑発して説明させようとしてる小学生みたいな思考から卒業できてないんだよ
完全に精神的成長が高校くらいで止まってる
もちろん自分以外の全員が理解できてて自分一人取り残されてるのも自分ではわかってる
それでも「すいません、俺だけまだわかってません、誰か説明してもらえませんか」と言える当たり前のことが言えない
社会性ゼロ、数学的能力もゼロ
まぁその他なんもできんやろ
乞食 >>305 補足
1）黒田 Ｐ169 補助定理で使っているのは、f(z)≠0のみ
それで、「Dで f(z)＝e^h(z)＝(g(z))^k (kは正の整数)
をみたすDでは正則な関数h(z),g(z)が存在する」
までは言える
この部分は、>>297のf(z) = exp(g(z))までの話
2）さて、そもそもの問題は>>29より
「fを単位円Δ上定義された正則関数で0,1の値を取らないとする
このときΔ上の正則関数gでf(z) = exp(2πicosh(z))を満たすものがとれる」
だったよね
ここに相当するのが、黒田 Ｐ170 >>257より
「「定理7.10」（ショットキ(Schottky)）
関数f(z)はz平面の開円板D：|z|<R で正則でそこで
f(z)≠0,1 であれば、任意の正の整数r(<R)に対し|z|<=rなら
K(f(0),R/r)^-1<=|f(z)|<=K(f(0),R/r)
となるf(0)とRr^-1のみに依存して定まる定数K(f(0),Rr^-1）が存在する」
つまりは、黒田「定理7.10」（ショットキ(Schottky)）では、f(z)≠1が追加され
f(z)=e^-(1/2)πi(e^2φ(z)+e^-2φ(z))=e^-(1/2)πicosh(2φ(z))
を導いている（細かい点は、黒田 Ｐ170をご参照）
で、この後、上記の通り、|f(z)|が環状領域を成すことを示している（黒田P171ご参照）
環状領域を成すから、これは単連結ではない
（なお、P171では、環状領域と明記されていないが、この後P172では環状領域と明記され、
定理7.12 ピカールの定理の”環状領域”の記述に繋がるのです）
つづく >>309
つづき
3）>>297（>>103）の問題点は、f(z)≠0からexpまでしか語っていないよね
この後 黒田 f(z)≠1が追加されて、
f(z)=e^-(1/2)πi(e^2φ(z)+e^-2φ(z))=e^-(1/2)πicosh(2φ(z))を導く話は、どれだい？ｗｗ
それ、リーマン面の普遍被覆の一般論でさ、”f(z)≠1”をどうやって使うの？
>>297（>>103）には、何も記述ないよね
それと、”f(z)≠1”から、”環状領域”になって、単連結で無くなるところの処理は、どうなっている？ｗ
追伸
先手を打って書いておくが、下記 川平 友規 に、一般論として 普遍被覆π：Ｓ~→Ｓ(環状領域)は例示されている
問題は、上記の条件”f(z)≠0,1 ”のみを使って、単連結でないＳ(環状領域)を処理してくださいってこと
（つまり>>297の「持ち上がる」、「単連結だから」は、ここは そのままではまずいよね
繰り返すが、”f(z)≠0,1 ”のみを使って、ここを普遍被覆でキチンと処理してくださいねってこと）
（なお、黒田本では、ここは冪級数展開などで処理しています。普遍被覆じゃ、f(z)≠0はともかく、f(z)≠1はどうするの？ 2点抜きは単連結か？ｗｗｗ）
(参考)
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf
複素解析特論I（つづき）
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平 友規
平成 24 年 9 月 21 日
Ｐ５（PDFの5枚目）
（ここの図が、ちょうど普遍被覆π：Ｓ~→Ｓ(環状領域)を示している）
(引用終り)
以上 イッセー尾形のフェルマーの最終定理の番組は何を言っているかわかりやすくて良かった。
ファルティングスの大定理に触れないのは不満だったが。 >>309
>(|f(z)|が) 環状領域を成すから、
>これは単連結ではない
いつどこでだれが
「fの値域が単連結だ」
なんてウソ言った？
「fの定義域が単連結だ」
とは皆言ってるが
開円盤Δは単連結だろ？
どこに穴が開いてる？ >>310
>”f(z)≠1”から、”環状領域”になって、
>単連結で無くなるところの処理は、
>どうなっている？ｗ
そもそも
「f(z)≠0」で環状領域なんだがwww
expはＣから「環状領域」Ｃ-{0}への正則関数
もしかして今ここで指摘されるまで気づかなかった？ >>310
>先手を打って書いておくが、
何の先手？後手踏んでるぞw
>一般論として
>普遍被覆π：Ｓ~→Ｓ(環状領域)
>は例示されている
>問題は、条件”f(z)≠0,1 ”のみを使って、
>単連結でないＳ(環状領域)を処理してください
>ってこと
「…を処理」が具体的に何をどうして欲しいのか
全然わからんが、「エスパー」すると
「exp(2πi cosh(z))がΔからＣ-{0,1}への普遍被覆だと示せ」
とか言ってる？ >>317
exp(2πi cosh(z))が
●値0を取らない
●値1以外の任意の場所で、微分が0でない
のだから値が1以外の場所で
局所的に正則な逆関数が存在する つまり
g(z)=arccosh(log(f(z))/2πi)
がΔからCのある領域への正則関数になる >>318
どうもです
逆関数を考えるってことね
それは、一理あるね
要するに、具体的な関数形が分かっているから、それを出発点に”逆関数”を考えようという
>>309より f(z)≠0で
それで、「Dで f(z)＝e^h(z)＝(g(z))^k (kは正の整数)
をみたすDでは正則な関数h(z),g(z)が存在する」
は、その線でいけそうだね
但し、複素関数での指数関数とその逆の対数関数とは微妙な話があって
そこらは、黒田本 >>203より再録
指数関数と対数関数 P46-48 複素関数概説 黒田正 共立出版 初版18刷 2013
の画像 下記の通り
https://imgur.com/mTFP6zV P46
https://imgur.com/rwqcNB8 P47
https://i.imgur.com/xKQcqn9.jpeg P48
に記載の通り
まあ、要するに、普遍被覆だの、>>297の「持ち上がる」だの
そこまで、大げさにしなくても、もっと簡単に処理できるってことかな
そして、黒田「定理7.10」（ショットキ(Schottky)）>>309の真骨頂は、
さらに進んで、|f(z)|が環状領域を成すことを示して（黒田P171ご参照）
不等式を導いて、定理7.12 ピカールの定理へ繋げていることですね
普遍被覆で終わったら、不等式を導けないんじゃね？ バカまだわかってないわ
永遠にわからんな
この寄生虫
日本の恥 >>322
よくそれだけ、数学的に、無内容なことを
いつまでも、喚き散らせるね
数理論理君のある種の才能だねｗ >>324
お前まだ人と数学の話できる知能が自分にあると思ってんの？
お前には数学の議論できる知能などないよ？
バカですか？
まぁかつてお前と数学議論しようとした事が俺の黒歴史だよ
お陰で世の中には底抜けのバカぎいるとわかったけどな >>320
>逆関数を考えるってことね
>それは、一理あるね
つーか、それ以外ねぇじゃん
他にあるなら教えてほしいわ >>326
しゃあないな
大学1年の線形代数すら分かってない
大学2年の多変数の解析学も当然分からん
そんな奴に複素解析の初歩すら分かるわけない
だから線形代数からやり直せと言ってるんだが
アホのくせにプライドだけはいっちょ前だから
いうこときかんのだわ 人生棒に振る典型
アホにゃプライドなんか有害無益 >>327
同意です
"逆関数を考えるってこと"は、極めて自然です
そもそも、問題は>>29より
"fを単位円Δ上定義された正則関数で0,1の値を取らないとする
このときΔ上の正則関数gでf(z) = exp(2πicosh(g(z)))を満たすものがとれる
リーマン面の話題が出てたからちょっと復習の意味も込めて教科書読み直してみつけた話
Schottkyの定理の証明の最初の入り口
リーマン面の話知ってれば何を確認すればいいか0.5秒で書けて5分で解ける話"
だった
で、その解説は>>103より
"そもそもなぜf(z)が0でなければf(z)がexpを通過できるのか、すなわちf(z) = exp(g(z))となるg(z)が取れるのかのところにリーマン面の話が入ってる
与えられた状況は
Δ̅ ℂ̅＼̅{̅0̅}̅
↓ ↓
Δ → ℂ＼{0}
つづく >>329
つづき
ただし→がf(z)、↓は普遍被覆、X̅はXの普遍被覆(ℂ̅＼̅{̅0̅}̅がくるしいがじゃあなし)
で被覆空間の一般論でf:Δ→ ℂ＼{0}がf̅:Δ̅ → ℂ̅＼̅{̅0̅}̅に持ち上がる、そしてΔが単連結だからΔ̅→Δは同型だからfが右側の↓を通過する事になる
これが”f(z)が0にならないのでf(z)がexp(z)を通過する原理”、この原理をきちんとこの段階で理解できていれば、その次のg(z):Δ→ℂをcosh(z)を通過させるところも同じ
cosh(z):ℂ→ℂの中で局所同型でないところ、cosh'(z)=0でないところにim(g(z))が言ってない事を確認する
そしてここまでの話が分かればそもそもexp(z)、cosh(z)と2段階に分ける事にも意味がなく最初からexp(cosh(z))の微分が死んでるところをかわせてるかチェックすればいいだけともわかる
しかしこういうテクニックが使えるのは3回生以降で被覆変換の話勉強して以降の話、黒田先生の教科書は学部生一般誰でも読めるようにしてるのでこういうテクニック使わず初頭的に示してる
しかし初頭的にやっていると言ってももちろん被覆空間論を被覆空間論の単語使わずにexpとcoshと√も使ってたかな？に特化した証明、もちろん鋭い奴は“被覆空間論”が隠れてる事が見抜ける"
(引用終り)
上記で、”微分が0で無い”を使うならば、前半のexp(z)でこそ、d(exp(z))/dz≠0を使えば良い
exp(z)で普遍被覆とか、大袈裟すぎ
で、後半coshの議論では、微分≠0（逆関数からみ）で終わって、普遍被覆には全く触れず
与えられた条件の「1の値を取らない」（f(z)≠1）を無視して、議論が終わっている
だったら、前期の出題補足の”リーマン面の話知ってれば何を確認すればいいか0.5秒で書けて5分で解ける話”
と上記解説は、合わないよね
以上 >>330
だったら、前期の出題補足の”リーマン面の話知ってれば何を確認すればいいか0.5秒で書けて5分で解ける話”
↓
だったら、前記の出題補足の”リーマン面の話知ってれば何を確認すればいいか0.5秒で書けて5分で解ける話” >>329
>同意です
微分が0でない=局所的に逆関数が存在する
という逆関数定理を知らなかったと認めた、と >>330
>”微分が0で無い”を使うならば、
>前半のexp(z)でこそ、
>d(exp(z))/dz≠0を使えば良い
もちろんそこでも必要ですよ
しかし必要なのはそこだけじゃないってこと
>後半coshの議論では、
>微分≠0（逆関数からみ）で終わって、
>与えられた条件の「1の値を取らない」（f(z)≠1）
>を無視して、議論が終わっている
バッチリ見てるよ
exp(2πicosh(z))の微分が0のところで値が1
対偶を取れば
exp(2πicosh(z))の値が1でないなら微分は0でない
つまりf(z)が1を値としないなら
exp(2πicosh(z))の局所的逆写像で戻せるし
g(z)が関数となることはf(z)の定義域が
単連結であることを用いて示せる
普遍被覆は大袈裟でも何でもない >>333
>exp(2πicosh(z))の微分が0のところで値が1
証明がない
つーか、微分が0で「値が1」 が、
f(z)＝1の意味なら、計算間違ってない？
黒田本ちゃんと読みなよ
そんなふうに、なってないよ >>334
>>exp(2πicosh(z))の微分が0のところで値が1
>証明がない
おいおい、こんなの高校生でも計算できるだろ
d exp(2πicosh(z))/dz=
d exp(w)/dw×2πi d cosh(z)/dz=
exp(2πicosh(z))×2πi sinh(z)
で
sinh(z)=0 となるのは
cosh(z)=1となるzで
そのとき
exp(2πicosh(z))=exp(2πi×1)=1
>「値が1」 が、f(z)＝1の意味なら、
>計算間違ってない？
f(z)=exp(2πicosh(g(z)))なら上記の計算通り
ていうか、本の計算、自分で再計算して
確かめないの？何のために数学書読んでるの？ >>335
なるほど
だが
f(z) = exp(2πicosh(g(z)))
だったよね（>>329より）
h(z)=2πicosh(g(z))
とおくと、f(z)＝f(h(g(z))) と書ける（合成関数）
合成関数の微分公式で
df/dz=df/dh * dh/dg * dg/dz
となる
いま、dg/dz＝0ならば、df/dz=0となる
黒田本の前提条件ではdf/dz≠0禁止ではないから、df/dz＝0も dg/dz=0も可だ（この扱いは黒田本にもある）
そして、dg/dz＝0のときは、
その前のdf/dh * dh/dgの値によらず、df/dz＝0である
即ち、微分df/dz＝0と、
そのときのzの値で「f(z)＝1」は、直接リンクしない
（つまり、微分が0なら「f(z)＝1」成立は、言えない） >>336 タイポ訂正
黒田本の前提条件ではdf/dz≠0禁止ではないから、df/dz＝0も dg/dz=0も可だ（この扱いは黒田本にもある）
↓
黒田本の前提条件ではdf/dz≠0の条件はないから、df/dz＝0も dg/dz=0も可だ（この扱いは黒田本にもある） 頭わるwwwwwww
頭悪すぎて笑えてくるわwwwwwwwwww >>336
>f(z) = exp(2πicosh(g(z))) だったよね
然り
>h(z)=2πicosh(g(z)) とおくと、
>f(z)＝f(h(g(z))) と書ける（合成関数）
否 正しくは以下の通り
f(z)＝exp(h(g(z)))
したがって、合成関数の微分公式で以下のようになる
df/dz=d exp/dh * dh/dg * dg/dz
>いま、dg/dz＝0ならば、df/dz=0となる
>黒田本の前提条件ではdf/dz≠0禁止ではないから、
>df/dz＝0も dg/dz=0も可だ
>（この扱いは黒田本にもある）
然り
>そして、
>dg/dz＝0のときは、
>その前のdf/dh * dh/dgの値によらず、
>df/dz＝0である
然り
しかし上記の指摘はことごとく無意味
df/dz＝0も dg/dz=0も関係ない
d exp(h(g))/dgが0でないなら
exp(h(g))の逆関数inv_h(log)が局所的に存在するから
g(z)をinv_h(log(f(z)))で構成できる、と言っている
でfが1を値としないなら、
exp(h)の値が1となる点も
考える必要がなく、
そこでしか微分が0にならないなら
fの値域では微分は0でないから
逆関数が局所的に存在する
君がそのカラクリを全然分かってないだけ
大学行ってないなら、しゃあないけどな
だったらデカいツラしない方がいい
嘲笑されるだけだから >>339
まず
関数 w(z)=exp(z) は、値0を取らない
w’(z)=exp(z)だから、微分も値0を取らない
だから
局所的に、exp(z)の逆関数が存在する（対数関数）
但し、大局的には多価になる
ただ、それだけでしょ？（指数関数exp(z)の特性そのもの）
で、そもそも問題は
”ある領域Δで f(z) が正則で、f(z)≠0．1で
f(z) = exp(2πicosh(g(z)))
なる関係が成立して、g(z)もまた 領域Δで正則になる”
（>>29より。なお >>29では 領域Δは単位円）
このとき、（>>333より）「exp(2πicosh(z))の微分が0のところで値が1」
「値が1」とは、f(z) =1なるべし か
そんなこと言える？
いま、f(z) ≠1という条件を外して考えたとき
上記は
「exp(2πicosh(z))の微分が0のところで、f(z) =1」成立と書ける
そもそも、黒田本では、f(z) はかなり自由に取れたはず
そして、f(z) ≠1という条件を外したら、自由度はさらに上がるよ
「exp(2πicosh(z))の微分が0」と、「f(z) =1」とは、無関係では？ >>340
>「exp(2πicosh(z))の微分が0のところで値が1」
>「値が1」とは、f(z) =1なるべし か
だって
f(z) = exp(2πicosh(g(z)))
としたいんでしょ？
だったら
exp(2πicosh(w))の微分が0のところで
exp(2πicosh(w))が1になるなら
そのようなwがg(z)の値になったら
f(z) = exp(2πicosh(g(z)))=1 でしょ？
でf(z) ≠1というならg(z)は上記のwを値としないよね？
なんでこんな簡単なことが理解できないの？
🐵なの？🐴なの？🦌なの？ >>338
阪大工学部卒の工学博士とかいうのは全くの嘘だろう
いくら工学部の連中が数学できないと言っても
限度ってもんがある
逆関数定理知らんとか正則行列知らんとか
理系名乗ったらあかんレベル 猫とか雑学家とかとっても痛々しい受験ゴミが多すぎるんだよ。
受験勉強必死にやったのに阪大しか紛れ込めなかったコンプの塊って。 >>340
＜補足＞
（引用開始）
”このとき、（>>333より）「exp(2πicosh(z))の微分が0のところで値が1」
「値が1」とは、f(z) =1なるべし か
そんなこと言える？
いま、f(z) ≠1という条件を外して考えたとき
上記は
「exp(2πicosh(z))の微分が0のところで、f(z) =1」成立と書ける”
（引用終り）
もし これ 言えたら、面白いと思うよ
黒田本を超えた主張だからねｗ
新定理誕生かい？ｗ
５ｃｈ数学板で？ｗ
まあ、まず それは無いわな！ｗ
だから、よく「眉に "つば"」して 見ないとねｗ
（どっかに、ギャップあるんじゃない？）
迂闊に、これ（新定理誕生）に乗る人、いるかい？ｗ >>342
当たり前やんww
こんなやつ学部卒業しててもなんちゃって学士そのものやんww
授業料ドブに捨てただけの話
親泣いてるんちゃうか
お気の毒に >>猫とか雑学家とかとっても痛々しい受験ゴミ
猫は立派な論文を残したから
そのような意味では
痛々しいとは言えまい >>346
父親のコネでアカポスゲットしたことを全力で自白してたじゃん
ここで。 >>344 追加
これ
>>318より （元の問題は>>29）
"exp(2πi cosh(z))が
●値0を取らない
●値1以外の任意の場所で、微分が0でない
のだから値が1以外の場所で
局所的に正則な逆関数が存在する つまり
g(z)=arccosh(log(f(z))/2πi)
がΔからCのある領域への正則関数になる"
で、尽くされている気がする
1）要するに、”f(z)=exp(2πi cosh(g(z)))”の逆関数が存在するか？ が問題 ってこと
2）まず、訂正
>>336 で、df/dz=df/dh * dh/dg * dg/dz は、要らないね
f(z) = exp(2πicosh(g(z))) h(z)=2πicosh(g(z)) f(z)＝f(h(g(z))) で
df/dg=df/dh * dh/dg ≠0 ならば、逆関数 g(z)=arccosh(log(f(z))/2πi) の存在が言える
（下記の逆函数定理ご参照）
3）前半のdf/dh＝exp(2πi cosh(g(z))) で、これが値0にならないことは、指数関数の性質からすぐ分かる
（問題の与件 f(z)≠0とも合致している）
4）後半 dh/dg について、g(z)＝gと書くと、h(g)=2πicosh(g)=πi(e^g+e^-g)と書ける
dh/dg=πi(e^g-e^-g) となる。dh/dg=πi(e^g-e^-g)＝0を考える
(e^g)^2=1のとき、dh/dg=πi(e^g-e^-g)＝0
つまり、e^g＝±1のとき、dh/dg=0
5）さて、これをf(z)=exp(2πi cosh(g(z)))≠1と対比すると
exp(2πi cosh(g(z)))＝1となるのは、cosh(g(z))＝0、±n (nは正の自然数)のときのみで
いまは、f(z)≠1だから、e^g≠±1を満たす
6）よって、f(z)≠1の条件から、dh/dg≠0即ち df/dg≠0が言えて、”f(z)=exp(2πi cosh(g(z)))”の逆関数が局所的に存在することが言える
これで、終わっているんじゃない？
普遍被覆とか、持ち上がるとか、関係ないんじゃね。 (>>330) リーマン面は要ると思うが
つづく >>348
つづき
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
逆函数定理
目次
1 定理の主張
2 例
3 証明方法についての注意
4 一般化
4.1 多様体
4.2 バナッハ空間
4.3 バナッハ多様体
4.4 階数一定定理
4.5 正則関数
定理の主張
一変数関数に対しての逆関数定理は次のようになる。
逆関数定理 (一変数の場合) - C1 級関数 f の点 a における微分係数が0でないとき、f は a の近傍で可逆となり、この逆関数 f-1 もまた C1 級となる。このとき f-1 は次の式を満たす。
略
多変数関数に対しての逆関数定理は次のようになる。
略
正則関数
Cn の開集合 U から Cn への正則関数 F のヤコビ行列（この文脈では行列は複素微分の行列である）が点 p で可逆であれば、F は p の近くで可逆な関数である。これは上の定理から直ちに従う。この逆関数は再び正則関数であることも示すことができる[5]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0
双曲線関数
cosh(x)=(e^x+e^-x)/2
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0
逆双曲線関数
(引用終り)
以上 >>348
>f(z)≠1の条件から、dh/dg≠0
>即ち df/dg≠0が言えて、
>”f(z)=exp(2πi cosh(g(z)))”
>の逆関数が局所的に存在することが言える
>で、終わっているんじゃない？
誤ってる
逆関数が存在するのは
f(g)=exp(2πi cosh(g))
であって
f(z)=exp(2πi cosh(g(z)))
ではない
>普遍被覆とか、持ち上がるとか、関係ないんじゃね。
まず、wikiの被覆空間の「持ち上げ」のところを
読んで、理解できなかったら、どこがどう分からんか
書いて尋ねてくれ >>351
もし持ち上げが理解出来ていれば
fの定義域Zが単連結、すなわち
Zの基本群が単位元のみからなることから
持ち上げの存在条件が単純化されることが分かる よくやるなぁ
いつもの如く一個も議論進んでない
読んでからも何も読んでるんやろ
読んでわからないんだよ
理解できる知能がそもそも足りてないんだから無駄だよ
そもそも理解できるようになりたいとも思ってない
なんとなく議論やってるオレカッコいいと思いたいだけ
相手するだけ時間の無駄
そもそもコイツの存在自体日本の恥 >>353
>いつもの如く一個も議論進んでない
こっちから進めることはしない >>353
>読んでからも何も読んでるんやろ
>読んでわからないんだよ
別に分からんでもええけど
それならそれで何がどう分からんか
書いてもらわんことには説明のしようがないよな >>353
>理解できる知能がそもそも足りてないんだから無駄だよ
知能というより理解しようという意欲がないわな >>351
じゃ、聞くけど
、黒田の補助定理P169 (>>104&>>183)
(>>305)
引用
「補助定理」関数f(z)はz平面の開円板D：|z|<R で正則であって
そこでf(z)≠0であるとすれば、Dで
f(z)＝e^h(z)＝(g(z))^k (kは正の整数)
をみたすDでは正則な関数h(z),g(z)が存在する。ここで、h(0),g(0)は、値f(0)のみで定まる
証明 略
（本文ご参照）
この黒田の補助定理で、被覆空間の「持ち上げ」要る？
指数関数 e^z が、値0を取らず、従って 微分しても0の値を取らない
本質は、これで終わってるんじゃないかな？
事実、黒田本の証明では、”被覆空間の「持ち上げ」”は、使ってないよ
（参考）
https://imgur.com/bxvrkQg
補助定理「f(z)=e^h(z)の存在他」と証明の最初の1行 P169 複素関数概説 黒田正 共立出版 初版18刷 2013
https://imgur.com/c2keZuC P170 上記証明の続きから定理7.10 （ショットキ(Schottky)）へ >>353
>そもそも理解できるようになりたいとも思ってない
別に理解する意欲が無くても構わんけど
なんで数学板に居るんかなとは思うな >>353
>なんとなく
>議論やってるオレカッコいい
>と思いたいだけ
実際は
「分からん！分からん！！分からん！！！」
と駄々捏ねてるだけでみっともないけどな >>353
>相手するだけ時間の無駄
ま、そうだね >>353
>そもそもコイツの存在自体日本の恥
…と、までは思わんけど
「いったい、何のために生まれてきたのかな？」
とは思う >>359
子供の頃は数学得意だったんやろ
その頃の栄光の記憶に縋っていきたいんやろ
とりあえず数学やってる人間と“議論”してる気分になりたいだけなんやろ
そういう自分の惨めさに気付く事もできない哀れなオッサンなんやろ >>358
>「補助定理」
>関数f(z)はz平面の開円板D：|z|<R で正則であって
>そこでf(z)≠0であるとすれば、Dで
>f(z)＝e^h(z)＝(g(z))^k (kは正の整数)
>をみたすDでは正則な関数h(z),g(z)が存在する。
>ここで、h(0),g(0)は、値f(0)のみで定まる
>この黒田の補助定理で、被覆空間の「持ち上げ」要る？
そもそも上記の補助定理のhやgが
「持ち上げ」なんだが気づかなかったか？
>指数関数 e^z が、値0を取らず、
>従って 微分しても0の値を取らない
>本質は、これで終わってるんじゃないかな
一般化を一切拒否する具体●●なんだな >>363
>子供の頃は数学得意だったんやろ
小学生なら数学じゃなく算数だろう
その程度なら文系でもたくさんいる
そしてそういう連中がこういう
「２次方程式、要らなくね？」 >>363
>数学得意だった頃の栄光の記憶に
>縋っていきたいんやろ
高校までの数学なんてサルでもわかるやんw
関数って言ったって、多項式関数か
指数対数関数か、三角関数くらいやんw
大体、行列式と行列のランクの関係すら
理解できん奴にどんな栄光があんのよw >>363
>とりあえず数学やってる人間と
>“議論”してる気分になりたいだけなんやろ
そういうことは、
学部1〜2年の微積分と線形代数
を理解してからやってほしいわ
線形代数が分からん奴に
群、環、体や多様体が分かるわけない
ベクトル解析や複素解析すら無理だって >>363
>自分の惨めさに気付く事もできない
>哀れなオッサンなんやろ
数学が分からんでも惨めとも哀れとも思わんが
分からんことに気づかんなら痛々しいし
分からんことに気づいてるのに、
分かる努力もせずに分かったフリしてるなら
そんなことしても全然面白くないし
ただただ虚しいだけじゃね？
もっと楽しいこと見つけたら？
と、言いたくなる 世の中の中卒、高卒、文系大卒の一般人は
自分が数学分からんことを自覚してるが
同時に自分が生きていく上で数学が必要ないことも
自分が数学に興味がなく面白みも感じてないことも
自覚している
理系でも生物学とかだと
数学使わずに生きていけるらしい >>369
数学の研究以外で小難しい数学使うのは
理論物理の連中くらいだし、
最先端技術の中には、そういう数学を
使うものもあるかもしれんけど極々一部である
そして、なんのあてもないのに漠然と
「教養だよ、教養」
とか言って、やたらと圏とかなんとかいうのは
どこぞの独立無研究者みたいな口先三寸の
売文家なのでまともに云うこと聞いてたら
際限なく金を毟られるだけである >>364
何を言っているのかな？
意味不明なことをｗ
>>358で終わっているんでしょ？
「持ち上げ」とか、ぐだぐだいうけど、追加することないの？
無い？
じゃ、終わりだねｗ
逆関数の議論は、コーシー、リーマン、ガウス、ワイエルシュトラス など、19世紀の数学で足りる
（ピカールの大定理は、1886年）
一方、普遍被覆や持ち上げは、20世紀の理論だ
黒田本レベルならば、
普遍被覆や持ち上げ（それ使うって個人の妄想っぽいよなｗ） 使う必要無しで済むよね
なお、>>273 川平 友規 複素解析特論I タイヒミュラー空間と複素力学系への応用 P13に、
9.2 写像の持ち上げ があるよ。見てみたら？
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf （>>273 より） ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
