面白い数学の問題おしえて～な 41問目
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面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 40問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640443648/
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ >>899
何か条件が足りないかミスってる
例えば 2α<β<3α として、f(x) = α-x (0≦x≦α), x-α (α≦x≦2α), 3α-x (2α≦x≦β) とか f(β)=max(0<x<β)(f(x))
抜けてた…ごめん f(x) = cos x, α = (2m - 1)π, β = 2nπ とかは？ 長レス連発でスマソ
そろそろ切り上げるべきなんだろうけど幼女側の4人合わせたボタンの総ボタン押下回数25回で勝利できる方法見つけたので書いてみました
中々面白いパズルでした
名作だと思う
以下幼女4人と悪魔を合わせて参加者と呼ぶ
4人の幼女には0〜3の番号をあてがい幼女0〜幼女3と呼ぶ
ボタンの点灯でシグナルを送る事で各参加者は繋がる部屋に信号を送れる
各回線には0〜15の整数値aを割り当てコレを回線番号と呼ぶ
ここで回線aが幼女nが利用できるのは⌊a/4⌋≡n ( mod 4 )のときとし、その回線番号を幼女nの専用回線番号と呼ぶ
最初のチャネルから数えてt回目のチャイムと共に点灯する信号をt回目のシグナルと呼ぶ
幼女はあらかじめ設定されたデータ送信期間中に高々1個のシグナルを送信する事でデータを送信する
データの送信期間は一連のフェーズの前のフェーズの最終送信時刻tとそのフェーズで送る自然数の最大値mで決まり送信期間は時刻t+1〜時刻t+16mである、ただし最初のフェーズではt=0である
回線番号aの送信期間t+1〜t+16mのフェーズで自然数dを送信する場合送信者は時刻t+a+16d-15で点灯するシグナルを送信するとする、すなわち各フェーズで送られる信号数は高々1個である
またシグナルを送らない事で“シグナル無し”もあり得るとする プロトコルは以下のように定められる
カッコの中がそのフェーズで送られる自然数の最大値である
幼女0交信開始フェーズ(1)
幼女1交信開始フェーズ(2)
幼女2交信開始フェーズ(2)
交信記録転送フェーズ1(16⁴)
交信記録転送フェーズ2((16⁴)³)
交信記録転送フェーズ3(16⁴)
交信記録転送フェーズ4((16⁴)⁴)
よって各フェーズの送信期間は
16×0+1〜16×1、
16×1+1〜16×3、
16×3+1〜16×5、
16×5+1〜16×(5+16⁴)、...
のようになる 幼女0交信開始フェーズでは幼女0が各回線に1を送信する
幼女1交信開始フェーズでは幼女1が各回線に、幼女0と名乗る送信者からの送信を一本だけ受信している場合は1を、そうでない場合には2を送信する
幼女2交信開始フェーズでは幼女2が各回線に、幼女0と名乗る送信者からのからの送信を一本だけ受信している場合は1を、そうでない場合には2を送信する
この３つのフェーズが終わった段階で各幼女は各ボタンの相手方が幼女であると確信できる回線を少なくとも２つ持つことができる
この回線を信頼できる回線と呼ぶ
自分の送信する全ての回線がその受信者から信頼されていない幼女を疑惑の底にあると表するとする
３つのフェーズが終わった段階で各幼女は交信記録簿を作成する
交信記録簿とは16進数の16ᵏの位に左からk+1番目のボタンに着信している交信の相手方の回線番号をおいた16進数4桁の非負整数(0〜16⁴-1)とする、ただし相手方未送信の場合はその桁に4×3+0, その他不正な回線(相手が自分の専用回線を利用している場合もこれに含める)には4×3+1を置くとする
コレはすなわち相手は幼女3、あるいはそれを騙る相手であるとみなす事に該当し、幼女3は特権的に全ての回線に番号4×3+0を使え、回線4×3+1を使う事はないとみなすと考えるとわかりやすい
続く2個の交信記録転送のフェーズでは幼女1,2の交信開始信号に従って以下のように交信記録簿を転送する まず幼女1,2のうち2人ともが交信開始信号送信のフェーズでともに信号2を送っている場合を幼女0が孤立している状態と呼ぶ
幼女0が孤立しているのは幼女0が疑惑の底にあるための必要条件である
幼女0が孤立している場合においては交信開始信号送信終了の時点で幼女1,2は共に幼女0を名乗る着信を2件受けており幼女1,2の互いの相手のチャネルを正しく断定できるから幼女0が孤立しているか否かを正確に判断できる まず幼女0が孤立していない場合には幼女1,2のいずれか一方で幼女0への信頼できる回線を持たない方は自分の交信記録簿を交信記録転送フェーズ1で他方に送信する
その後交信記録転送フェーズ2に他方から最大2個の交信記録簿を送られた方は自分のそれとをpackして交信記録転送フェーズ2で幼女0に送信し、送られてきていなければ自分の交信記録簿に1111₍₁₆₎を必要なだけpackしてその値+1を幼女0へ送信する
この送信を受けて幼女0は自分が孤立状態にない事を確認できる
この時幼女0はこの時点で最大3個の回線から交信簿を送信されてきているから同じ要領で自分のものと合わせて16進数16桁の数にpackしてその値+1を幼女3への信頼できる回線がある場合には交信記録転送フェーズ4にそれに転送する 幼女0が孤立している場合には交信記録転送フェーズ2の終了時点で交信記録簿が送られてこない事で自分が孤立状態にあると正しく判定できる
この場合には幼女1,2交信開始フェーズで共に2を送信しており、そのいずれかに幼女0は信頼できる送信チャネルを持つからそれに自分の交信記録簿を送信する
交信記録転送フェーズ4に幼女1,2は幼女3に既出の方法で最大3個の更新記録簿をpackして幼女3へ送信する ここまでの段階で大別して以下の３つの場合がある
(A) 幼女0が孤立している場合
(B) 幼女0が孤立していないが幼女0から幼女3への信頼できる回線がない場合
(C) 幼女0が孤立していないが幼女0から幼女3への信頼できる回線がある場合
(B)の場合、幼女0は疑惑の底ではない
疑惑の底にあり得るのは幼女1,2か3であり、幼女0は幼女0,1,2の3人分の交信記録簿を精査して以下のように処理していく
まず幼女0,1,2が悪魔から全く交信を受けていない場合、その限りにおいて幼女3が疑惑の底でありそれは交信記録簿から判断できる
その場合には悪魔がまだ義務を果たせていない事は明らかである
残るは幼女1または2が疑惑の底にある時であるがこれはこのケースでは起こり得ない
何故ならもし仮に幼女1が疑惑の底にあるなら他の幼女0,2,3が信頼できる回線を持てない相手は全て幼女1でなければならないが、今仮定により幼女0のそれは幼女3である
以上によりケース(B)においては後述の(1),(3)の状態であると確定する
(A)の場合プロトコルにより全ての幼女の交信記録簿が信頼できる経路によって疑惑の底たり得ない幼女3に集められておりこの場合も後述の(1),(2),(3)のいずれかの状態である事が確認できるが、これはやや煩雑な議論を要するので後述するものとする
(C)の場合も(A)の場合と同様である 以上の交信の後幼女3は
(1)孤立している幼女がいない
(2)疑惑の底にない幼女から悪魔へつながる回線を少なくともひとつ確定できる
(3)悪魔はまだ義務を果たしていない
のいずれかの状態である事を把握できる
(1)の場合幼女3は全幼女に同時に相手が確実に幼女であると判断できる回線のボタン２つを同時に押下するように指示すれば良い
(1)の場合においてはこの指令を2分以内に信号３つで全幼女に伝達する事ができる
(2)の場合はその回線の保持者にその回線を伝えその幼女にはそのボタンのみを、その他の幼女には(1)と同様の作業をする様に同じく2分以内に信号３つで全幼女に伝達する事ができる
(3)の場合は以降信頼できる幼女間えやた、た、や、やた、たの交信以外を全て禁止すれば良い
悪魔が義務を果たすには疑惑の底にないいずれかの幼女への回線のシグナルを送信しなければならない
この時点で(2)の状態に移行して幼女の勝利が確定する
特に幼女が勝利するまでのボタンの押下する回数は高々12+3+3+7=25回である ・交信記録簿の精査方法について
今各幼女と悪魔から信頼できる経路を伝って疑惑の底にない幼女3に伝達された場合を考える
いずれかの幼女が疑惑の底にあるか否かは交信記録簿から判断できるがいずれの幼女も疑惑の底にないのであれば前述(1)の方法で幼女は勝利できる
疑惑の底に幼女0がいる場合を考えるが他の場合も同様である
疑惑の底にある幼女0と悪魔の２つの送信記録を見る
この場合２つの交信記録簿において以下の状態が発見できれば悪魔への回線が特定できる
(要件1) 幼女i ( i = 1,2,3 ) が受信している幼女0の専用回線番号での回線番号がともに4×0+pのとき交信記録簿のボタンpの交信相手は幼女iでなければならない
(要件2) 幼女i ( i = 1,2,3 ) が受信している幼女0の専用回線番号での回線番号に4×0+pが現れるときいずれかの交信記録簿のボタンpの交信相手は幼女iでなければならない
(要件1)を満たさない交信記録簿があればその記録簿の作成者が悪魔である
実際もしボタンpの交信相手が幼女iでないならこの記録簿の作成者の回線番号4×0+pは他の幼女につながっていないといけなくなるがそれは幼女iの受信記録に矛盾してしまうからである
(要件2)を満たさない回線があればその回線の送信者が悪魔である
実際もしその回線を4×0+pとして２つの記録簿の作成者のどちらが悪魔でどちらが幼女0であろうとも幼女である方の回線番号は4×0+pではない、もしそうならそれは幼女0のボタンpの交信相手は幼女iでなければならないが仮定によりいずれの交信記録簿にもそのような記載がない 我々が示したいのは悪魔が回線開設時に幼女1,2,3に対して同一の回線番号を使用した場合必ず上の要件に違反する事象が発生する事である
今幼女0が幼女1,2,3と開いている回線の回線番号を4×0+1,4×0+2,4×0+3とする
悪魔は同一回線番号4×0+3を幼女1,2に割り当てる事はできない、でなければ幼女1,2についての要件2に抵触しないにはボタン3の交信相手にはその2人を両方割り当てなければならず両方を満たす事はできないのでどちらかについての要件1に必ず抵触する
同様の理由で同一回線番号4×0+0も不可能である
悪魔は同一回線番号4×1+1をこのうち2人に割り当てる事はできない
でなければ幼女2についての要件2に抵触しないにはボタン1の交信相手には幼女2を割り当てなければならず、一方で幼女1についての要件1に抵触しないにはボタン1の交信相手には幼女1を割り当てなければならず両方を満たす事はできないのでどちらかについての要件1または2に必ず抵触する
以上により交信記録簿を精査することにより悪魔が同一回線を３つ以上開設した場合には必ずこの検査で露見し、のみならず悪魔への回線を少なくともひとつ特定されてしまう□ ダメや、一か所間違ってる
もう1ビットいるかな
26分か 1-₂C₁/4+₄C₂/4²-₆C₃/4³+₈C₄/4⁴-₁₀C₅/4⁵+…
を求めよ >>916
1+₂C₁x/4+₄C₂x²/4²+₆C₃x³/4³+₈C₄x⁴/4⁴+₁₀C₅x⁵/4⁵+…
= Σ (1/2×3/2×...)(2/2×4/2×...)/(n!)²xⁿ
= ₂F₁(1/2,1,1,x)
= 1/√(1-x) pxᵐの形のはすぐ見つかるけどそれしかないのかな
q(pxᵐ)ⁿ = x
iff qpⁿ = 1 , mn = 1
n = m-1, q = pnなら
m²-m-1 = 0, (m-1)pᵐ = 1
m²-m-1 = 0, p = 1/ᵐ√(m-1) >>918
元ネタはMichael Penn の動画？ スタートが左から順に1,2,..,(n-1),nと番号付いていて、ゴールが左から順にn,(n-1),…,2,1と番号付いたあみだくじがある。
このあみだくじの横線は最低何本か？ >>923
１とｎを横線で結び
２とｎ−１を横線で結び
・・・・
だからｎ／２でいいのでは 例えばn=4で1-2,2-3,3-4と繋いで1→4, 2→1, 3→2, 4→3
さらに1→3, 2→2, 3→1にするために3本いるからn=4だと6本じゃないの？ つまりi<jから辿っていってiとjがひっくり返る横線がひとつ必要でだからこのようなペア一個に対して横線一個が必要だから必要な横線数は最低でもn(n-1)/2
>>927の方法でn(n-1)/2本で可能だからこれが答えやな >>928
>ペア一個に対して横線一個が必要
それ直感過ぎ
iが左から右へjが右から左へ動く横棒が存在する証明が必要 それとその横線は他のk<lのための横線とは異なることの証明も必要 直感的には成立すると分かっても
これくらいは証明できよう？ だってi→σ(i)、j→σ(j)を結ぶpathで同じ横線通らなかったら位置入れ替わるわけないやん？ >>930ひとつの横線通る人高々2人しかいませんがな 中間値の定理のたぐいを使うかも
あるいはジョルダンの定理 >>932
これの証明が必要だと思うんだよな
>>933
これも帰納法か何かで証明するかも まぁ証明するなら上の方で出てた中間値の定理なりなんなりでi→σ(i), j→σ(j)は共有点を持たねばならない
もし共有点が縦線上の横線上でないところならそこから辿ってi=jで矛盾
よって共有点は横線分の閉包上
横線の両端点以外で共有点持ってる事が目標だけどA-Bが横線でAが共有点、縦線が上からX-A-YとしてどちらかがX--A-B、どちらかがB-A-X、いずれかにしても横線の両端点除く部分を共有する {1,2,…,n}の２元部分集合{i,j} (1≦i<j≦n)が置換σ∈S_nに関してねじれペアであるとは、
σ(i)>σ(j) が成り立っていることを言うものとする。
また、ここではあみだくじを置換と同一視する。
初期状態として何も横線が引かれていないあみだくじAに対し、既に引かれているどの横線よりも下に横線を追加するという操作を繰り返す。
この時、あみだくじAに関するねじれペアは、各操作ごとに高々１つしか増加しない。
一方、ゴールが左から順にn,n-1,…,1となっているあみだくじBに関するねじれペアは n(n-1)/2 個存在する。
したがって、Aにいくつか横線を引いてBにするには、少なくとも n(n-1)/2 本の横線を引く必要がある。 任意の関数は偶関数と奇関数の和に一意に分解できることを示せ (f(x)+f(-x))/2+(f(x)-f(-x))/2 f(x)=偶(x)+奇(x)とおくと
(f(x)+f(-x))/2=偶(x)
(f(x)-f(-x))/2=奇(x)
と計算されるから 実関数 f(x)=x を有限個の周期関数の和として表すことは可能か。 >>943
f(x) = tan(x) (x≠nπ/2), 0 (x=nπ/2)
って有界だったのか 問題の意図がわかりにくかったら申し訳ない、定義域は実数全体 >>949
そのキーワード出たからもう正解でいいかな
念のため略解
Q上ベクトル空間としてのRの基底Bを任意にとる。（Bの存在は選択公理から導かれる）
b_1∈Bを任意に固定し、２つのQ-線形写像 g,h:R→R を
g(b) = 0 (b=b_1の時), b (b≠b_1の時)
h(b) = b (b=b_1の時), 0 (b≠b_1の時)
となるように定めれば、gはb_1を、hはb_1以外の任意のBの元をそれぞれ周期に持ち、なおかつ g(x)+h(x) ≡ x が成り立つ。 と思ったら >>951 にもっと深い結果があったのでこちらも別方向に掘り下げる追加問題
ここでは関数と言えば定義域が実数全体である実関数を指すものとする。
周期関数の積は周期関数の和で表せるか。 >>954
>>周期関数の積は周期関数の和で表せるか。
「和」は無限和も許して考えますか？ >>955
いや、有限和だけ
無限和許したらきっと各点収束でいくらでも都合良いの作れそうだし sinxとsin√2xの積だと
有限個の周期関数の和としては書けそうもないと思う。 >>959
> ｅｘｐ（ｘ）は周期関数の積で
why? >>961
ああそういうことか
確かに >>953 で構成したg,hを使って e^x = e^(g(x)) × e^(h(x)) と表せるんだな
シンプルな解答でとても良い
想定解は
G(x) = 1 (xが整数の時), 0 (それ以外)
H(x) = 1 (x/πが整数の時), 0 (それ以外)
の積が周期関数の和で表せないことから示すものだった expや1点関数が周期関数の和で書けないのは何で？ expは >>951 参照
一点関数は次のように考えれば良い。
ある関数 f:R→R がn個の周期関数の和で表せる時、適切に正の数 a を選べば f_1(x) := f(x)-f(x+a) はn-1個の周期関数の和で表せる。
同じようにある正の数 b を適切に定めて f_2(x) := f_1(x)-f_1(x+a) とおけば f_2 はn-2個の周期関数の和で表せて…と繰り返せば、
最終的に f_n(x)≡0 が f(x+c) (c∈R) のR-線形和で表せることがわかる。
しかし f を一点関数とすると、f(x+c) (c∈R)をどのように有限個選んでもそれらはR-線形独立であるから、
f は有限個の周期関数の和では表せない。 >>964 訂正
誤：同じようにある正の数 b を適切に定めて f_2(x) := f_1(x)-f_1(x+a) とおけば
正：同じようにある正の数 b を適切に定めて f_2(x) := f_1(x)-f_1(x+b) とおけば
誤：最終的に f_n(x)≡0 が f(x+c) (c∈R) のR-線形和で表せることがわかる。
正：最終的に f_n(x)≡0 が f(x+c) (c∈R) の非自明なR-線形和で表せることがわかる。 >>964-965
なるほど！この消去による判定法かなり有効だね >>966
うん、有効。というか結びつきが強い考え方だと思う。
次の問題を考えてみたら実感できるかも
関数 f:R→R について、次は同値であることを示せ
・f は２つの周期関数の和として表せる
・あるQ-線形独立な実数a,bが存在して、任意の実数xについて f(x) - f(x+a) - f(x+b) + f(x+a+b) = 0 が成り立つ ヒントになるかわからないけど、まずは aZ+bZ = {an+bm: n,m∈Z} 上で２つの周期関数をどう構成すれば良いか考えるのがやりやすいと思う 構成的に出来るの？
f(x)=xのときは非構成的だったから何か超越的な論法がいる気がしたんだけど f≡g+h となる周期関数g,hを定義域全体で構成的に作るのはおそらく無理だと思う
だからまずはそれぞれの関数の制限 g|_(aZ+bZ), h|_(aZ+bZ) がどんな姿になるかを考えるのがやりやすいかも、ということ >>972
多分できるとは思うけど『あるQ-線形独立な実数a,b』にあたる部分がn≧3でどうなるかは注意が必要だと思う
少なくともn=3で『あるQ-線形独立な実数a,b,c』としてしまうと同値ではなくなってしまう
（それぞれ1,π,1+πを周期に持つ３つの関数の和をfとするとおそらく下が必ずしも真にならない）
自分もそこは考えてる所だから、もし何か見つかったら問題として出す等はご自由に >>973
>1,π,1+π
これQ上線形独立じゃないよ あそういうことか
線形独立でないのに3つの和としか言いようがないわけか ユークリッド平面において、距離が1である平行な二直線に挟まれた領域の閉包をリボンと呼ぶことにする。
一辺の長さがnである正方形を覆い尽くすためには、リボンが最低n本必要であることを示せ。 非負整数上の関数ｆを次のように定義する
f(0) = 0
f(n) = m + f(2m-n-1) , m = 2^[log_2(n)]
例
f(1) = 1 + f(2*1-1-1) = 1 + f(0) = 1
f(2) = 2 + f(2*2-2-1) = 2 + f(1) = 3
f(3) = 2 + f(2*2-3-1) = 2 + f(0) = 2
f(4) = 4 + f(2*4-4-1) = 4 + f(3) = 6
f(5) = 4 + f(2*4-5-1) = 4 + f(2) = 7
...
f(100) = 64 + f(2*64-100-1) = 64 + f(27) = 64 + 16 + f(2*16-27-1) = 80 + f(4) = 86
問
(1) f(192616) を求めよ。この値を aとする。
(2) f(b) = 500426 となる b を求めよ。
(3) f(a*10^6 + b) を求めよ。 非負整数上の関数ｆを次のように定義する
f(0) = 0
f(n) = m + f(2m-n-1) , m = 2^[log_2(n)]
例
f(1) = 1 + f(2*1-1-1) = 1 + f(0) = 1
f(2) = 2 + f(2*2-2-1) = 2 + f(1) = 3
f(3) = 2 + f(2*2-3-1) = 2 + f(0) = 2
f(4) = 4 + f(2*4-4-1) = 4 + f(3) = 6
f(5) = 4 + f(2*4-5-1) = 4 + f(2) = 7
...
f(100) = 64 + f(2*64-100-1) = 64 + f(27) = 64 + 16 + f(2*16-27-1) = 80 + f(4) = 86
問
(1) f(192616) を求めよ。この値を aとする。
(2) f(b) = 500426 となる b を求めよ。
(3) f(a*10^6 + b) を求めよ。 >>976
サイズｎの正方形を、n^2 個のサイズ１の正方形に分割し、直径1の円を描く。当然、n^2個の円が描かれる。
円の面積の半分以上がリボンによって覆われた時、「円が隠された」と表すこととすると、
一本のリボンでは、せいぜいｎ個の円しか隠せない。 >>979
リボンを正方形に対して斜めに置いたら最大2n-1個の円を隠すことができるのでは？ >>979 には、明らかな間違いがありました。
「円が隠された」の判断基準を「半分以上」としてしまったけど、丁度半分の場合を除き、「半分より多く」に訂正します。
そして、本質的なものですが、「一本のリボンでは、せいぜいｎ個の円しか隠せない」は
「一本のリボンでは、せいぜいｎ+1 個の円しか隠せない」の間違いです。
これでも、n-1 本のリボンでは、どう多く見積もっても、n^2-1 個の円しか隠せないので、証明が成立します。
>>980
正方形 (0,0),(n-1,0),(n-1,n-1),(0,n-1) の内部及び境界上の格子点(合計n^2個)を
幅1のリボンでいくつ覆えるか という問題になります。
斜めにした場合でも、n+1 個が最大だと思われます。
リボン、{y=0,y=1}は、境界上に2n個の格子点を含みます。このリボンを、原点を中心に、時計方向に
ちょっとだけ回転させると、x軸上の格子点は、全てリボン上にありますが、y=1上にあった格子点は、
(0,1)を除き全て脱落します。代わりに、第二象限上でリボンに乗るが現れますが、カウントされません。
原点ではなく、他の場所を中心にちょっとだけ回転させた場合、
中心の右側ではy=1上の点が脱落、左側ではy=0上の点が脱落します。
n個が最大だと思っていましたが、n+1個が可能だと言うことが判りました。しかし、2n-1個はないと思います。 (0,0),(1,0),(1,1),(2,1),...,(n-2,n-2),(n-1,n-2),(n-1,n-1)で(2n-1)個 >>981
正の数εを十分小さく定めればリボン {x-ε≦y≦x+√2-ε} は格子点 (i,i), (i,i+1) を全て含むでしょう コレ何回か出てきてるよな
なんかの雑誌か新聞かで発表されたんだっけ？
どうやるんだっけ？
なんか王宮の床のペンキ塗りとかなんとかって原題だったよな >>982 >>983
確かにその通りですね。>>979 >>981は取り下げます。 ああ既出なのか、じゃあ解答
正方形 S:=[-n/2,n/2]^2 上の実関数fを f(X)=((n/2)^2-||X||^2)^(-1/2) (||X||<n/2 の時), 0 (それ以外) と定めると、
リボンrについて ∫_(X∈S∩r) f(X)dX ≦ π が成立つ。
一方 ∫_(X∈S) f(X)dX = nπ であるから、有限のリボンの和集合がSを覆うには最低n本必要。 今度こそは、たぶん大丈夫。
直径 x の円を幅 1 のリボンで覆い尽くすためには、ceiling(x) 本のリボンが必要。(※)
サイズ n の正方形は、直径 n の円を含んでいるので、n 本が必要。
(※)は「球台の(曲面部分の)表面積は厚さにのみ依存する」ことを利用して示せますね。 でも既出の解答はそんなんじゃなかったような
確か結構有名な問題で解説してるページとかもあったはずなんだけどな
見つかんない チェインルールの問題です。
z=xy、u=x+2y、v=x-yの時のdz/du、dz/dvをu、vの式で表せ。 面白い問題おしえて～な 34問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
282１３２人目の素数さん2021/01/07(木) 10:58:26.94ID:qXH8YKe5?>>283>>285
計算機使わなくても良さそうな類題ができたので投稿
ユークリッド平面 R^2 上の領域
B = { (x,y)∈R^2 | 0≦y≦1 }
を平面内で回転、平行移動して得られる領域のことをベルトと呼ぶことにする。
正の整数 n に対して、直径 n の円を (n-1) 本のベルトで被覆することは可能か。 類題というかそれが不可能である事を利用してるのが>>987やん >>989
示して下さいとありましたが、>>987の内容に基づき立式したものが>>986 と言えるくらい同じ内容のようです。
どのように繋がるかをちょっと補足すると、単位球面上の点p(u,v,w)近辺の微少面積 s を、xy平面上に射影すると、
s*cosθに変化します。θは、二つのベクトルp=(u,v,w)とt=(0,0,1)間の角度で、cosθ=p・t/(|p|*|t|)=√(1-u^2-w^2)です。
球面上で s であった面積が、xy平面上に射影すると s*√(1-u^2-w^2)に変化します。
逆に、xy平面上の点q(u,w)近辺から、染料を真上に飛ばして、単位球面内を均一に染めたい場合は、
1/√(1-u^2-w^2) に比例するように各所に染料を用意しておかなければならないことになります。
従ってこれを重み関数として設定することは、球台の表面積は厚さにのみ依存しているということを利用して
解いたことに繋がります。
球台の表面積の求め方は探せばいくつかの方法が見つかると思うので省略します。 なんか、たくさんミスってる。
三箇所
誤：√(1-u^2-w^2)
正：√(1-u^2-v^2)
誤：xy平面上の点q(u,w)
正：xy平面上の点q(u,v) イヤ、示さないといけないと思ったのはそこじゃない
R=n/2、Sをℝ³の半径Rの球面、Dをℝ²の半径Rの円盤、中心は原点としてq:D→Sを自然な射影の逆写像、ωをDの面積形式、ηをSの面積形式とすればq*(η)=1/√(1-r²)ωはまぁ容易でしょ？
コレは普通の大学の般教レベルがわかっていれば自明
しかしあなたがレスで当たり前みたいに言ってる
「表面積は厚みだけで決まる」
なんて事当たり前みたいに書いてる教科書見たことないけど 球の体積や表面積の求め方が書かれているサイトや動画はたくさんある。
そのようなものを見て、知識として得ていた。
内容が気になったら、すぐに調べられるよう、>>987ではキーになり得る「球台」という言葉を使っている。
これを調べれば、その事実も、証明方法も見つけられるはずだから。 >>997
そんな奇妙なサイトの知識ベースではなく、きちんとした数学の教科書に根ざした知識て話するようにしないと真面目に勉強した人と話できなくなるよ 何言ってんだか
「積分値は表面積の計算に還元されそれは幅のみで決まる」
「幅のみで決まることを証明してください」
「それは積分すればわかる！積分法はいろんなサイトに載ってる」
完全な循環論法、そもそも空間図形の表面積を積分に還元する方法なんぞ大学の般教レベルやろ
アホか レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
