面白い数学の問題おしえて～な 41問目
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面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 40問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640443648/
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ >>241
ありがとうございます！
最近いつ見ても同じ配信者の動画しか出てこないので
他の人の動画が見たいと思ってたところなんです >>239
ガロア理論でガロア軍わかるなら
Kも具体的にわかろう？ 平面上に有限個の点があり、白か黒の色が付いていて、
一つの直線上に全ての点が乗ることは無いものとする.
このとき、2点以上の同じ色の点だけを通る直線が存在することを示せ. △ABC内に点Fが与えられたときFを焦点とし三辺と接する楕円を描きたいときに
もう一つの焦点F'と３つの接点を作図する方法は？ >>246
普通にFから2接点に向かう直線書いて接線で反射させた直線作図するだけじゃないの？ 三角形内に任意にFを取ると内接楕円は一意に決まり、もうひとつの焦点F'と３つの接点のシンプルな作図法があるっていうことです その手のやつはこの形で問題にするのは無理やろ
作図なんか簡単にできてしまうんやから
実質「カッコいい方法あるんだけどわかる？」って言ってるのと一緒なので数学の問題になってない あ、わかった、なるほど
楕円の方は与えられてないのね わかった
Fを3辺に関して対称に移した点をDEFとすればF'は三角形DEFの外心ですな コインが６枚あります。
そのうち１枚が偽物です。
本物はすべて重さが同じで本物と偽物は重さが違います。偽物が本物より軽いか重いかは分かりません。重さは整数とは限りません。
重さをはかることのできるはかりを３回使って
（※天秤ばかりではない。重さが表示される計量ばかり。）
偽物のコインを見つけて、さらに本物、偽物の重さを答えてください。
この答え教えて欲しい！ >>252
コインに1〜6と名前つけておく
最初に1と2を合わせて
つぎに3と4を合わせてはかる
それらの値をx,yとする
もしx=yなら5か6が偽物なので
最後に6をはかる
その値がx/2なら5が偽物、x/2でないなら6が偽物
もしx≠yなら1〜4のどれかが偽物なので
最後に2と4と6をはかる
その値をzとする
z=3x/2なら3が偽物、z=3y/2なら1が偽物
z=x/2+yなら4が偽物、z=x+y/2なら2が偽物 >>255
ありゃ問題ちゃんと読めてなかった
うーん、
x=123、y=1246、z=2345とはかって
あとは連立しながら論証頑張る感じかな >>252
6枚abcdefを区別できるためには
1回目計る1計らない0
2回目計る1計らない0
3回目計る1計らない0
の8通り
111
110
101
011
100
010
001
000
に6枚を別々振り分けないと区別できないし
000は一回も計られないから重さ分からないので除外して
たとえば
a110
b101
c011
d100
e010
f001
にしたらどうかな
ああでも
aがニセモノかfがニセモノか区別できないか
bとe
cとd
も区別できないな
これ無理ね
重いか軽いかが分かっていれば
a110とf001やbe,cdも区別できるけど 2進みたいに対称性高いと解が絞れないけど
256に書いたxyzみたいに、独立性は担保しつつ微妙に枚数変えとけば連立解が(1つだけ異なる値という条件内で)一意に定まるんじゃないかと予想 コインをABCDEFとする
ABとCDを乗せる
釣り合ったらEFに偽物がありABCDは本物なのでAとE、AとFなどとすれば偽物とその軽重がわかる
釣り合わなかったときABのほうが重かった場合を考えれば十分
ABに重い偽物があるか、CDに軽い偽物があるのかどちらかでEFは本物に確定
ACとDEを乗せる
釣り合ったらBが重い偽物
ACが重かったらAが重い偽物かDが軽い偽物なのでAとEを乗せれば判明する
ACが軽かったらCが軽い偽物 >>253
６枚のコインにABCDEFと振り分ける
手順は以下の通り
1. ABCDの重さをはかる
2. CDEの重さを計る
3. 上の結果によってFもしくはACの重さをはかる
以下解説
(A) ABCDとCDEの重さの比が4:3になっている場合
偽物はFなので3回目にFの重さをはかればよい
(B) ABCDとCDEが4:3になってない場合
３回目にACの重さをはかる
偽物はABCDEのいずれか
ＡＢＣＤＥＦ
〇〇〇〇××
××〇〇〇×
〇×〇×××
①偽物がEなら、ABCDがACの2倍になってる
②偽物がBなら、CDEとACが3:2になってる
③偽物がAなら、ABCD、ACの差とCDEが2:3になってる
④偽物がDなら、ABCD、CDEの差とACが1:2になってる
⑤偽物がCなら、ABCD、CDEの差とCDE、ACの差が同じになってる
①～⑤のいずれのパターンに当てはまるかを考えれば偽物がどれか、本物と偽物のコインの重さが特定できる
これが解答です ３回はかると、同じ重さの組み合わせが一つできる。その４枚は本物で重さが分かる。
後は偽物を含む２枚の重さから、本物の重さを引けばよい なるほど
ちゃんと検討してないけど
2回までの状況で3回目の組み合わせを変えるわけか
脱帽 これn個に必要な回数m回が定まるけど
どんななるのかな
こういうのにこそプログラムで回答してほしいね 予めX,Y,Z⊆{A〜F}を決めてXYZの重さをはかる
という方法では絶対に出来ないと証明できたりするんかな >>266
それが
>>257
その方法ではできない それは一例であって、どんなXYZを選んでも上手くいかないことが示せるのか、ってこと >>269
どんなのを選んでも駄目よ
a〜fは同じパターンでは区別が出来ないため
111〜001の異なるどれかしか駄目だから
XYZは大きく製薬される
しかも軽重決まっていないため補数も駄目なので最初から決め打ちでは求められない 前>>223
>>252
>> 254に賛成。
2枚ずつ3回測って、
2回同じ重さが出たほうの重さ/2=本物の重さ
1回違う重さが出たほうの重さ-本物の重さ=偽物の重さ
∴示された。 前>>271
これだと偽物のコインがどっちか特定できないか。 前>>272修正。
>>252
2枚ずつ3回測って、
2回同じ重さが出たほうの重さ/2=本物の重さ
1回違う重さが出たほうの重さ-本物の重さ=偽物の重さ
本物の重さと偽物の重さは示された。
重さが違う2個のうちどっちが偽物かは、
2回同じ重さの2枚＞1回違う重さの2枚 のとき、
1回違う重さの2枚のうち軽いほうが偽物。
2回同じ重さの2枚＜1回違う重さの2枚 のとき、
1回違う重さの2枚のうち重いほうが偽物。 >>270と書いたが
アンバランスにしたらどうかな
a111
b110
c101
d011
e100
f010
か
a111
b101
c011
d100
e010
f001
前者だとx=abce,y=abdf,z=acd
cfとdeが補数だけど何とかなりそう？
後者だとx=abd,y=ace,z=abcf
beとcdが補数だけど何とかなりそう？ >>274
>a111
>b110
>c101
>d011
>e100
>f010
ホンモノの重さをTニセモノの重さをFとすると
x,y,zは
aがニセモノの時3TF,3TF,2TF
bがニセモノの時3TF,3TF,3T
いずれもx=y>zでy-zがTかFか区別できないね
>a111
>b101
>c011
>d100
>e010
>f001
aがニセモノの時2TF,2TF,3TF
fがニセモノの時3T,3T,3TF
やっぱりx=y<zでz-yがTかFか区別できない
てことでアンバランスにしても
決め打ちでは判定できない >>261
>ABCDがACの2倍になってる
>CDEとACが3:2になってる
>ABCD、ACの差とCDEが2:3になってる
>ABCD、CDEの差とACが1:2になってる
>ABCD、CDEの差とCDE、ACの差が同じになってる
これらが排反なのはなぜかな？ >>261
それぞれがニセモノの時それ以外はホンモノだから挙げられた条件が成立するけれど
逆も言えなければと思った
>>ABCDがACの2倍になってる
ABCDにニセモノがある場合
3TFが2TもしくはTFの2倍になるとするとT=Fだからあり得ない
>>CDEとACが3:2になってる
ACDEにニセモノがある場合
3TがTFとあるいは2TFが2TもしくはTFと3:2になるとするとT=Fだからあり得ない
>>ABCD、ACの差とCDEが2:3になってる
TFが3Tとあるいは2Tが2TFとあるいはTFが2TFとあるいは2Tが2TFと2:3になるとするとT=Fだからあり得ない
>>ABCD、CDEの差とACが1:2になってる
FがTFもしくは2TとあるいはTがTFとあるいは2T-Fが2Tと1:2になるとするとT=Fだからあり得ないがF-2Tが2Tと1:2になるのはF=3Tの場合ありえるのでここで言う差とは絶対値ではなくABCD-CDEのことね
>>ABCD、CDEの差とCDE、ACの差が同じになってる
Fと2T-FもしくはTあるいはTとFあるいは2T-FとFが等しいとするとT=Fだからあり得ない
>これらが排反なのはなぜかな？
ということで確かに排反だった
脱帽 要するに
3( A + B + C + D ) - 3( A + C ) - 2( C + D + E )
= 3B - 2C + D - 2E
はAが偽物なら0、Aが本物なら0でない(∵A以外の全ての係数が0でない)
からコレ単独でAの真贋が判別できる
他も同様 f: R -> R に対して
f(f(x)) = x^2 - x + 1 ……☆ が成り立つ時
f(0) を求めよ.
ただし、☆を満たすfは存在するものと仮定してよい。 >>281
g(x) = f(f(x))とするときg(f(1)) = f(g(1)) =f(1) で、gの不動点は1だけだからf(1) = 1.
g(f(0)) = f(g(0)) = f(1) = 1 よりf(0) は0または1だが、f(0) = 0とするとg(0)も0になって不適。
よってf(0) = 1. >>261
解答を朝飯前にプログラミング(R言語ver4.20)
fn=\(ABCD,CDE,AC){
A <- ABCD-AC == (2/3)*CDE # BD == (2/3)CDE
B <- AC == (2/3)*CDE # AC == (2/3)CDE
C <- ABCD-CDE == CDE-AC # AB-E == DE -A
D <- ABCD-CDE ==(1/2)*AC # AB-E == (1/2)AC
E <- ABCD == 2*AC # ABCD == 2*AC
F <- ABCD == (4/3)*CDE # ABCD == (4/3)*CDE
if(A){
g=CDE/3
f=AC-g
}
if(B){
g=CDE/3
f=ABCD-3*g
}
if(C){
g=ABCD-CDE
f=AC-g
}
if(D){
g=AC/2
f=ABCD-3*g
}
if(E){
g=ABCD/4
f=CDE-2*g
}
if(F){
A=B=C=D=E=FALSE
g=ABCD/4
f=AC
}
ans=rep(g,6)
ans[(1:6)[c(A,B,C,D,E,F)]]=f
names(ans)=LETTERS[1:6]
ans
} 検算
本物:1ｇ 偽物0.9gのとき
ABCD CDE AC/F
4.0 3.0 0.9
A B C D E F
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9
ABCD CDE AC/F
4.0 2.9 2.0
A B C D E F
1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0
ABCD CDE AC/F
3.9 2.9 2.0
A B C D E F
1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0
ABCD CDE AC/F
3.9 2.9 1.9
A B C D E F
1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0
ABCD CDE AC/F
3.9 3.0 2.0
A B C D E F
1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0
ABCD CDE AC/F
3.9 3.0 1.9
A B C D E F
0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 >>284
それ手順を求めてるんじゃなくて
手順をプログラムしただけじゃ？
解答するプログラム書けないでしょ
n個で最低何回計る戦略があるかを
プログラムで求めて欲しい 多分プログラムはできると思うんだよね
m回の戦略として考えられるのは有限だから
コンピュータなら全部リストアップできる（はず）
それがn個の中の1個のニセモノを判別できるかどうかも全部チェックできる（はず）
必ずm=nまでに最低回数が存在するから
コンピュータに解かせて欲しい つべより
p,q,r primes
p/q - 4/(r+1) = 1 >>285
ここはお前が来ていいレベルのところじゃない
わきまえろ >>286
検証するためのプログラムだよ。
それが何か？ >>288
p > q, p(r+1) = q(r+5)
GCD(r+5, r+1) = GCD(r+1, 4)
r = 2 のとき、3p = 7q なので p, q, r = 7, 3, 2
r = 3 のとき、p = 2q で解無し
以後 r ≧ 5 とする
◆GCD(r+1, 4) = 1 のとき
r+1, r+5 は互いに素、かつ、どちらかは6の倍数なので不適
◆GCD(r+1, 4) = 4 のとき
自然数nを用いて pn = q(n+1) と書けるが
連続する素数は2, 3のみなので、p, q = 3, 2
よって、3(r+1)=2(r+5) から r = 7 なので
p, q, r = 3, 2, 7
◆GCD(r+1, 4) = 2 のとき
r = 1 mod 4, r = ±1 mod 6 なので
自然数 n と m ∈ {0, 1} を用いて
r = 12n + 4m + 1 と書ける
よって、p(6n + 2m + 1) = q(6n + 2m + 3)
m = 0 のとき p(6n + 1) = 3q(2n + 1)
よって p, q = 3, 2 となるが n = 1/2 で不適
m = 1 のとき 3p(2n + 1) = q(6n + 5)
よって q = 3
また p > 3, 2(p - 3)n = 5 - p ≧ 0 なので
p, n = 5, 0
よって p, q, r = 5, 3, 5■ >>290
しおもな
a+b+c-b-cでaが求まりました
か 100個の箱が横一列に並んでいます。
40個の玉を無作為に箱に入れます。
箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録していくと、長さ100の1と0からなる数列ができます。
この数列の連が60個である確率をp(60)、連が61個である確率をp(61)とします。
40個の玉を全て取り出して、今度は400万個の玉を100個の箱へ無作為に入れます。
先ほどと同様に、箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録して、長さ100の1と0からなる数列を作ります。
この数列の連が60個である確率をq(60)、連が61個である確率をq(61)とします。
p(60)/p(61) と q(60)/q(61) はどちらが大きいのでしょうか？ 信頼区間は高校数学の範囲外らしいからこっちに再掲
問題
労働時間は1日8時間、尿瓶おまる洗浄係の時給は最低賃金とする
どこに勤務しているか不明なのでどの都道府県に勤務しているかは人口に比例する重みをつけた確率分布を仮定する
下記のデータを用いて、
尿瓶おまる洗浄係が8万円を稼ぐためには何日働く必要がある期待値とその95%信頼区間を求めよ。
都道府県 人口 最低賃金
北海道 5381733 889
青森県 1308265 822
岩手県 1279594 821
宮城県 2333899 853
秋田県 1023119 822
山形県 1123891 822
福島県 1914039 828
茨城県 2916976 879
栃木県 1974255 882
群馬県 1973115 865
埼玉県 7266534 956
千葉県 6222666 953
東京都 13515271 1041
神奈川県 9126214 1040
新潟県 2304264 859
山梨県 834930 877
長野県 2098804 861
静岡県 3700305 858
愛知県 7483128 866
岐阜県 2031903 877
三重県 1815865 880
富山県 1066328 913
石川県 1154008 955
福井県 786740 902
滋賀県 1412916 896
京都府 2610353 937
大阪府 8839469 992
兵庫県 5534800 928
奈良県 1364316 866
和歌山県 963579 859
鳥取県 573441 821
島根県 694352 824
岡山県 1921525 862
広島県 2843990 899
山口県 1404729 857
愛媛県 1385262 821
香川県 976263 848
徳島県 755733 824
高知県 728276 820
福岡県 5101556 870
佐賀県 832832 821
長崎県 1377187 821
熊本県 1786170 821
大分県 1166338 822
宮崎県 1104069 821
鹿児島県 1648177 821
沖縄県 1433566 820 >>294
同じ数字が並ぶブロック
0101なら連の個数は4
00000111100111も連の個数は4 意味わからなさすぎて笑えてきたんだが
マジでどういうことやこれ オレまだわからん
無作為に入れるってのは一個ごとに同様に1/100で選ぶん？
同じ箱に40個、400万項もありなん？
まぁそれがなしなら400万個入れられんからアリなんやろうけど >>301
そこ曖昧よな
あとので重なっていいとわかったけど 既に玉が入っている箱を避けながら入れるのって、"無作為に入れる"というのでしょうか？
ふつうはそれは無作為に入れるとはいわないのではないかと思うのですが… >>303
個人の感覚に依ると思うけど、自分は最初箱と玉が同じくらいの大きさの状況を想像してた >>303
無作為の定義に依ろうよ
100個の中から無作為に40個選ぶ
という言い方も良くある え？
(1) 100個の箱から無作為に40個の箱を選ぶ
と
(2) 40個の玉を無作為に100個の箱へ入れる
って同じ意味になりますか？ 玉1個1個に対して1から100までの整数が等確率で割り当てられ、
玉を 左から数えてその割り当てられた整数番目の箱 に入れる、
みたいに書けばよかったでしょうか？ >>306
だって箱に1個しか入らないかと思ってもおかしくないよ
箱にいくつ入るかって書かれてなかったから悩んだ すみません、そこで行き詰まってた方って400万個の玉をどうやって100個の箱に1個ずつ入れようと考えてらしたのでしょうか？ 1個ずつって書き方の問題か
1箱に1個ずつだと思い込むやつが出てきてもおかしくはない >>310
だから400万個の方で
箱にはいくつも入るって分かったって書いてるとおり
40個の方読んだときは1個ずつかと思ってたよ 未定義のオリジナル語録が問題文に出てくる時点でお察し案件 ええ…未定義って…
もしかしてこのスレ意外とバカが多いんですかね？ 連ってなんだよ(笑)
お前以外誰も理解してなかっただろ >>317みたいにちゃんと定義あればいいけど
>>293みたいに頭悪い書き方されるとわからないよね >>318
もう馬鹿は黙ってて
これで問題の内容は分かったんだから、いつまでも自分は能無しですって報告し続けなくてもいいでしょ 連で検索しても>>317は出てこない。
>>317の上の連の定義は>>296とは違う。
>>317の下は問題の中でわざわざ定義してるので
説明なしに使えないと出題者は思ってるってこと。 100個の箱が横一列に並んでいます。
40個の玉を無作為に箱に入れます。
箱には何個玉を入れてもよいものとします。
箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録していくと、長さ100の1と0からなる数列ができます。
この数列の連が60個である確率をp(60)、連が61個である確率をp(61)とします。
連の定義は以下を参考にしてください。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1440548249
https://okwave.jp/amp/qa/q1736182.html
たとえば
0101なら連の個数は4、
00000111100111も連の個数は4
となります。
さて、いったん40個の玉は全て取り出して、
今度は400万個の玉を100個の箱へ無作為に入れます。
先ほどと同様に、箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録して、長さ100の1と0からなる数列を作ります。
この数列の連が60個である確率をq(60)、連が61個である確率をq(61)とします。
p(60)/p(61) と q(60)/q(61) はどちらが大きいでしょうか？ >>317の上の連の定義だと0101の連は0101の一個。 >>323
もういいって
お前が一番頭悪いしウザい >>326
ID変えてないがw
お前本当に頭悪いな >>330
はい、気付けば簡単という問題で、個人的には面白いと思いました 数列{1/(n^2 sin(n))}_{n=1,2,...}は収束するか？ >>332
方針たっても計算しんどすぎる
こんな感じで式は立つ
qの方は(〜)¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰が事実上消えるので無視できるけどpの方は39⁴⁰とかはそこまで小さくないので結局求めないといけない
a,b≧100, a+b≦100に対してn個の球が特定のa個は空でb個の箱は空でない確率をXₙ(a,b)とする
b>nならXₙ(a,b)=0である
b≦nのとき
Xₙ(a,b)
= ((100-a)/100)ⁿ×(1-C[b,1]((100-a-1)/(100-a))ⁿ+C[b,2]((100-a-2)/(100-a))ⁿ-...)
である
εₙ(a,b) = C[b,1]((100-a-1)/(100-a))ⁿ-C[b,2]((100-a-2)/(100-a))ⁿ+...
とおけば
Xₙ(a,b) = ((100-a)/100)ⁿ(1-εₙ(a,b))
であるが
((100-a)/100)ⁿ(1-99(99/100)ⁿ)
≦ Xₙ ≦ ((100-a)/100)ⁿ
である
n個の箱を選んでk個の連続空箱ができるがk+1個の連続空箱はない確率をp¹ₙ(k)、k個の連続非空箱ができるがk+1個の連続非空箱はない確率をp²ₙ(k)とおく
p¹ₙ(k) = (100-k-1 )Xₙ(k,2) + 2Xₙ(k,1)
p²ₙ(k) = (100-k-1)Xₙ(2,k) + 2Xₙ(1,k) オリジナルの造語を作ってそれをさも人口に膾炙してるかのごとく話す病気ってなかったっけ ５億年ボタンってアニメが始まりました
５億年ボタンを押すと５憶年待つと１００万円もらえて５億年の記憶も消えるというものです
それで、まあよく、0歳が1歳になるまでの1年と、1歳が2歳になるまでの1年は同じだけど
2歳が3歳になるときの1年は、2歳までの経験の半分でしかない、と言います。
10歳から11歳の1年は10年すごした時間の1/10でしかない。
n歳の体感の1年は
1+1/2+1/3+.........+1/n
これで計算すると20歳というのは0歳児が感じる1年の僅か3.6倍
これをn=5億年を計算したいのですが、どうすればいいのでしょう？ >>337
愚直に計算するしかありません
5億年→20.607334322288843
ちなみに
log5億+γ = 20.607334321288 >>338
おお、約20倍ですか
予想よりずっと短い
5億年は体感であっという間という理由がわかりました ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
