>>985 の指摘を補足する反例です。

例えば113の次の素数は127です。
この2数をp_n、p_n+1とおいて、
(log p_n+1 - log p_n)/log p_n と 1/p_n を数値計算してみてください。
(3)の不等式は成り立ちますか?

>>985 の指摘は正当です。