>>546
>>こっちを認めて、あっちを認めないというのは、いわゆるダブルスタンダードですよ
>なんでダブスタなんですか？
>一方は公理で認められた無限集合、他方は集合たり得ない変なもの、全然別モノですけど？

分かってないね
無限公理で認めたのは、可算無限集合たる自然数Nの集合ですよ
（正確には、全ての自然数の要素を含む集合Aであって、A⊂Nですが（下記））
で、この自然数Nの元は、ノイマン後者関数で閉じていて、0,1,2,・・・とエンドレス無限になっています
集合の元が可算無限個あるから、Nは可算無限集合になります

この可算無限を用いて、他のいろんな可算無限集合を作ることができる
例えば、Ordinal number （encyclopediaofmath.org）>>464の
0,1/2,2/3,3/4,…,(n-1)/n…,1とか
　1/2,1/3,1/4,…,　　1/n…,0とかね

つーか、そもそも それが無限公理の狙いの一つですよね
Nから、いろんな可算無限集合を作ることができるのです

その一つが、可算無限多重シングルトンです。添え字付きカッコ{}を使いますが
全然別モノではないですよ

なお、上記の有理数列で、ω相当の1とか0とか付けておきましたよｗ
encyclopediaofmathのように、有理数体Qに埋め込めば、N∪{ω}に対応する列は普通に出来ますよ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
略
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
定義中の集合 A は以下の性質を満たすことを確認できる。

>>556
>はい、ZF内では集合の元は集合に限られますからあなたのaωは存在できませんね。
>で、拘らないのは良いですが、どの公理系の話をしてるんです？

それ（存在できません）は、未証明ですね。ZFで良いですよ。どうぞ証明をｗ