高校数学の質問スレ Part415
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part414
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630821726/ >>479
＞宙返りみたいなその証明抜きで、頭ごなしにこれが指数関数の定義じゃ、
そんなに>>358が不満なら、>358に e を差し込む形で書けばよい。
まず、e の定義は e：＝lim[n→∞] (1＋1/n)^n を採用する。
>>446により、e＝Σ[k＝0〜∞] 1/k！が成り立つことに注意する。
「 e の実数乗 」という関数を、指数法則を満たしつつ連続関数となるように定義したい。
もしそれが実現できて e^x が得られたならば、F(x)＝e^x と置くとき、F は連続関数であり、
かつ F(0)＝1, F(1)＝e, F(x＋y)＝F(x)F(y) が成り立つ。ここから逆向きに考えると、
・ f：R → R は連続で f(0)＝1, f(1)＝e, f(x＋y)＝f(x)f(y)
を満たす f が「先に」作れたなら、その f に対して
e^x：＝ f(x) と定義することで、e^x の定義が終わることになる。
そして、望みの f は f(x)：＝Σ[k＝0〜∞] x^k / k！と置くことで得られる。
この f は連続関数であり、しかも f(1)＝Σ[k＝0〜∞] 1/k！＝ e すなわち f(1)＝e である。
さらに、>>447により、この f は f(x＋y)＝f(x)f(y) を満たす。そして、f(0)＝1 は自明。
以上により、まず e^x の定義が終わった。 >>483
そういう突拍子もない反論がくると思ったわ。
高校生の視点でアクロバット的だと思うかどうかだよ。あほらしい。 一般の a^x については、まず f(x) の逆関数を g(x) と置く。
すなわち、関数 e^x の逆関数を g(x) と置く。
これは通常、g(x) ではなく log(x) と表記される。
実際に、高校では e^x の逆関数を log(x) と定義しているので、
今回の g(x) を log(x) と書いても、高校の流儀に沿っているので問題ない。
そして、一般の a＞0 に対して a^x：＝f(xg(a)) と定義する。
これだと分かりにくいので、f(x)＝e^x, g(x)＝log(x) という表記を使って書き直すと、
要するに a^x：＝ e^{xlog(a)} と定義する、ということ。 微分可能性については、まず f(x)＝Σ[k＝0〜∞] x^k/k！ を
項別微分することで f'(x)＝f(x) となる。つまり (e^x)'＝e^x である。
次に、f'(x)＝f(x)＞0 (x∈R) により、f の逆関数である g も各点で微分可能となる。
そして、f(g(x))＝x の両辺を x で微分すれば、g'(x)f'(g(x))＝1 すなわち g'(x)f(g(x))＝1
すなわち g'(x)x＝1 すなわち g'(x)＝1/x すなわち (log(x))'＝1/x である。
すると、a^x＝e^{xlog(a)} の微分可能性は一瞬で終わる
(xに関する微分可能性も、aに関する微分可能性も、一瞬で終わる)。
……このように書けば、>>358の書き方よりは文脈が分かりやすいだろう。
実際にこのやり方で理解する高校生がいるとも思わんが。 >>485
同じことだよ。
累乗→指数法則→べき乗という自然な拡張の流れを理解してから、
実はこういう定義もあるということならいいんだけどさぁ。 >>489
＞ 累乗→指数法則→べき乗という自然な拡張の流れを理解してから、
それこそ>>485と同じことでは？有理数列による近似で a^x を定義するときも、
まず a^{有理数} については、近似より前の段階で先に定義しなければならない。
じゃあどうやって a^{有理数} を定義するのかというと、
a^{有理数} が有理数上で指数法則を満たすように定義するわけだ。
たとえば a^{1/2} だったら、もしこれが指数法則を満たすように
定義することができたならば、
a^{1/2＋1/2}＝a^{1/2} * a^{1/2}
が成り立つわけで、つまり a＝a^{1/2} * a^{1/2} が成り立つことになる。
ここから逆向きに考えると、a^{1/2}：＝ √a と定義すればよいことになる。
この流れは>>485の書き方そのもの。 ずっと忘れてたけど、発端となった高校生と思われる質問者の
ID:p2vCjXca が、>>357 で
＞ オイラーの公式で三角関数を利用して定義できそうですが、どうでしょうか。
と書いてるんだよな。>>358はこれに応答する形で書いたのも理由の1つだったことを
忘れていたよ。
オイラーの公式は e^{ix}＝cos(x)＋isin(x) であるが、
この等式は e^{複素数} が先に定義されてなければナンセンス。
そして、どうせ e^{複素数} を定義するなら、z∈C に対して
exp(z)：＝Σ[k＝0〜∞] z^k / k！
sin(z)：＝Σ[k＝0〜∞] (−1)^k z^{2k＋1} / (2k＋1)！
cos(z)：＝Σ[k＝0〜∞] (−1)^k z^{2k} / (2k)！
と、exp までセットでマクローリン展開によって定義してしまう流儀が普通にある。
つまり、質問者の ID:p2vCjXca のアイデアのもとで指数関数を定義するなら、
「 z∈C に対して上記のようにマクローリン展開で定義してから、指数関数に戻ってくる」
という道筋が1つの答えになる。これを z∈C ではなく x∈R に制限すると>>385になる。
なので、>>385 は、少なくとも質問者の>>357のアイデアに返答するる上では、
それほど荒唐無稽でもなかったはず。 一応、"高校生風" に>>357のアイデアを形にしてみる。
オイラーの公式 e^{it}＝cos(t)＋isin(t) (t∈R) から出発する。
目標は、この等式から e^{実数} を導出することである。
そのために、x∈R として、t＝−ix を(形式的に)代入する。よって
e^x ＝ cos(−ix)＋isin(−ix)
となる。右辺から i を取り除きたい。sin(y), cos(y) のマクローリン展開を考えると、
sin(y) ＝ Σ[k＝0〜∞] (−1)^k y^{2k＋1} / (2k＋1)！
cos(y) ＝ Σ[k＝0〜∞] (−1)^k y^{2k} / (2k)！
であったから、これらの式で y＝−ix を(形式的に)代入すると、
sin(−ix) ＝ (−i)Σ[k＝0〜∞] x^{2k＋1} / (2k＋1)！
cos(−ix) ＝ Σ[k＝0〜∞] x^{2k} / (2k)！
となる。よって、形式的には
e^x ＝ cos(−ix)＋isin(−ix) ＝ Σ[k＝0〜∞] x^k / k！
となる。ここから逆に考えると、f(x)＝Σ[k＝0〜∞] x^k / k！と定義した f に対して、
e^x：＝ f(x) と定義すればいいのでは？
……というのが、>>357 のアイデアに対する1つの答えである。そして、これはつまり>>358である。 任意の関数から得られる数列の、階差を拾った式というのはどのような形になりますか?
これに決まった法則なり、階差数列の公式みたいなものはありますか?
例
=a^2の階差は2(a-1)+1 階差を取り続ける度に、aから1を引き続けることになる、間違いないですか? >>490,491
堂々巡りしてるなw
累乗から始まって、指数法則が成り立つように有理数指数のべき乗、さらには無理数
指数のべき乗を定義し、実数変数の指数関数を定義すれば、そこからマクローリン展開
を導出できるわけだが、逆に、マクローリン展開を指数関数の定義とすれば、そこから
指数法則が導き出せなきゃおかしいわけで。どのみち指数法則でa^(1/2)が√aに等しい
ことが言えるってだけ。指数法則ありきで始めるか、マクローリン展開ありきでそれが
指数法則を満たすことから説明を始めるかの違いだが、そりゃ後者のほうが全然遠回り。
関数を複素数体上に拡張する上ではおおいに役立つけど（オイラーの等式もそこから
でてくる）、実数体上に限定した話をしてる限り、なんのためにわざわざそんなこと
やってんだかよくわからん、ってなるだろ。
微分可能なことが自明になることがそんなに有用とも思えんしな。しらんけどｗ >>498
＞指数法則ありきで始めるか、マクローリン展開ありきでそれが
＞指数法則を満たすことから説明を始めるかの違いだが、そりゃ後者のほうが全然遠回り。
指数法則とは a^{x＋y}＝a^x a^y のこと。
F(x)＝a^x と置けば、F(x＋y)＝F(x)F(y) という等式のこと。これが指数法則。
そして、f(x)＝Σ[k＝0〜∞] x^k / k！と定義した f(x) に関する指数法則とは
f(x＋y)＝f(x)f(y) のことを指し、これは>>447で書いたように、
項別にまとめ直すだけで証明が終わる。多項式の計算と変わらない。
これを「全然遠回り」と表現するのは首をかしげる。 ・ e^{有理数} を素朴に定義したい。たとえば、e^{1/2} を素朴に定義したい。
要求される性質は、それが指数法則を満たすこと。もしこれが実現できたならば、
そのときの e^{1/2} は e^{1/2＋1/2}＝e^{1/2} * e^{1/2} を満たす。
つまり、e＝e^{1/2} * e^{1/2} を満たす。ここから逆向きに考えると、
「 e ＝ f * f 」を満たす正の実数 f が作れればよく、
その f に対して e^{1/2}：＝ f と定義すればよい。
そして、望みの f は f＝√e と置けばよい。
・ e^x (x∈R) を定義したい。要求される性質は、それが指数法則を満たし、かつ連続であること。
もしこれが実現できたならば、そのときの e^x に対して F(x)＝e^x と置けば、F は連続で、
かつ F(0)＝1, F(1)＝e, F(x＋y)＝F(x)F(y) が成り立つ。ここから逆向きに考えると、
「 f：R → R は連続で f(0)＝1, f(1)＝e, f(x＋y)＝f(x)f(y)」を満たす f が作れればよく、
その f に対して e^x：＝ f(x) と定義すればよい。
そして、望みの f は f(x)＝Σ[k＝0〜∞] x^k / k！と置けばよい。
両者を見比べてみると、考え方の方向性は完全に同じだし、推論の構造も同じ。
もちろん、前者の方が初等的ではあるが。
もともとの質問者である>>357に至っては、
オイラーの公式から指数関数が定義できないかとアイデアを出していたし、
意外とこういうのは高校生の方が柔軟というか型破りというか、変則的な方向から
考えてたりするもので、>>358はそのアイデアに対する1つの答えという側面がある。
どうも、「君が杓子定規的で頭が固すぎる」だけのような気がする。 >>500
>これを「全然遠回り」と表現するのは首をかしげる。
その発言には、９０度くらい首をかしげざるをえんね。
あの証明を軽々とクリアできる高校生がどれだけいると思う。
「０．５回ａを掛け合わせるわけないっしょ」なんて言ってる
やつが理解できるとは到底思えんよｗ
>>501
>オイラーの公式から指数関数が定義できないかとアイデアを出していたし、
単に、オイラーの公式に三角関数が入ってるからってだけの理由だろ。
好意的に深読みしすぎだよｗそれが証拠に、そのあとダンマリだろ。 >>503
＞「０．５回ａを掛け合わせるわけないっしょ」なんて言ってる
＞やつが理解できるとは到底思えんよｗ
都合が悪いと質問者を無能扱いか。君はひどいやつだな。
というより、そこまで質問者を無能扱いしてしまうと、
その質問者は、君の大好きな
「有理数列の近似によって a^x を定義する」
という流儀ですら理解できないことになってしまうぞｗ なぜなら、有理数列で近似するより前に、まず a^{有理数} を定義するところで躓くからだ。
なんたって、彼は「０．５回ａを掛け合わせるわけないっしょ」と言ってるんだからね。
君「いやいや、指数法則を満たすように a^{有理数} を定義するんだよ。
そうすると、a^0.5 ：＝ √a と定義するしかないんだよ」
と質問者を説得してみたところで無駄である。
質問者「いやいや、０．５回ａを掛け合わせるわけないっしょ」
と言われて撃沈である。質問者は、この泥沼の思考ループから抜け出せない。
……君は、質問者をそこまで無能だと考えていることになる。 あるいは、
「質問者はその泥沼から抜け出せるくらいには賢いが、しかし>>447が理解できるほどではない」
と君は主張するかもしれない。
しかし、それは君にとって都合の良い人物像を勝手にでっち上げてるだけ。 ちなみに、>>447は実質的に多項式の計算しかやってなくて、
君も「直観的には問題ない(>>465)」と言っている。
つまり、>447を理解するときに使用する脳内での思考回路は、
「多項式の計算」に関する思考回路だけで十分なのであり、
「0.5回aを掛け合わせるわけないっしょ」
という泥沼の思考回路はそれとは別のものであり、
その2つの思考回路が脳内で両立した状態になっているはず。
つまり、「0.5回aを掛け合わせるわけないっしょ」などと言っている高校生でも、
>447は普通に理解できるのではないかと俺は期待する。君にとっては都合が悪い話だろうけど。 >>508
ペアノ算術を含む任意の無矛盾な公理系に対し、あるモデルM,Nおよび論理式φが存在して、M|=φかつN|≠φとできることを示せ、という問題がわかりません 補足すると、多項式の計算では x^n (nは非負整数) しか出てこないことに注意。
x^2 とか y^5 とかね。そこに x^0.5 とか y^1.8 みたいな項は出現しない。
だから、「0.5回aを掛け合わせるわけないっしょ」などと言っている高校生でも、
>>447それ自体は普通に理解できるのではないかと俺は期待する。 >>510
三段論法を用いる任意の数学の証明は、三段論法を用いない別証明を持つことを示せ、という問題がわかりません まあいいや。頭の固い人には何を言っても無駄である。
スレ違いなのは こちらも分かってるし、
他の人からも煙たがられてるし、この話は終わりにしようと思う。
何か追加でレスをつけてきても構わんが、俺から返答することはないのであしからず。 >>904
>都合が悪いと質問者を無能扱いか。君はひどいやつだな。
なんにも都合悪くないよ。あんたのその妄想癖はどこから来るんだ？神経症じゃね？
無能だとも言ってないしな。ちゃんと導けば正しく理解できるかもしれんが、あんた
のやり方じゃ無理だってだけの話。
そもそも、高校生相手に、無理数を含めた実数の概念をアプリオリに想定して、なお
かつ無限級数を持ち出してべき乗を定義することにどれだけの意味があんの？
有理数体の中ではa^0.5が表せず、それが新たなカテゴリーの数であることを認識させ
るほうがよっぽど教育的なんじゃね？代数的無理数と有理数で閉じた体系から、さらに
実数体に拡張するということで、数の理解が進むんじゃね？ようしらんけど。
やっぱ、どっかおかしいよ、あんた。数学はできるのかもしれんが（まあ、こんなとこ
で時間潰してるからには、まともな研究者じゃなかろう）、思考回路がちとおかしい。 いけね、未来にレスしちゃった。
>>514は>>504あてね。 >>514
>有理数体の中ではa^0.5が表せず
わかるだろうけど、有理数で表せない累乗根があるってことね。だから、それを
文字列a^(1/2)で定義する。 この殺伐さがなんとも言えんねー。
一服の清涼剤だわｗ 数学の命題の問題です
命題「x+y≦4ならばx≦2またはy≦2である」の裏は、「x+y>4ならばx>2かつy>2である」で正解ですか？
裏にする時は、「または」を「かつ」に変えるのですか？
否定と裏の違いが分からなくなって来ました。解説よろしくお願い致します。 正解です
文をバラして考えると簡単ですよ
「x+y≦4」→「x≦2またはy≦2である」
の裏は
(「x+y≦4」でない ) → (「x≦2またはy≦2である」でない)
機械的に公式に当てはめるとこうですよね
それで、でないを上から消去すれば
「x+y>4」→「x>2かつy>2である」
となります 「裏にする」とは条件も否定することだから、「または」が「かつ」になるということですかね。。。？ P → Q
の裏は
Pでない → Qでない
ですよね
今回の場合
P: 「x+y≦4」
Q: 「x≦2またはy≦2」
です
Qの否定はなんですか？
↑あなたが不安になってるのはこの部分です
または、の否定は、かつ、です
Qの否定は「x＞2かつy＞2」です
それがわかれば、あとは
Pでない→Qでない
の公式に当てはめるだけです >>533
xy平面のグラフで考えるのもオススメ
abのときもあるけどこれもab平面で考えるといいよ
この辺りは数2の図形と方程式とかでもやる発想だし受験のときにも役立つ 汝の意志の格率が常に同時に普遍的法則に妥当しうるように行為せよ 質問です
対偶証明法は背理法の一種ですかそれとも背理法が対偶証明法の一種ですか 込み入った話になるけど別物
背理法は対偶証明法と違って二重否定の除去という論理規則を使ってる
違うもんなんだなぁとふんわり思っておけばいいと思う 背理法は「排中律」が成り立つ論理系でしか使えない。 調べたら直観主義論理では
「A→B」→「¬B→¬A」
は成り立ちますが
「¬B→¬A」→「A→B」
は導出不可ということです
直観主義では対偶法使えないんじゃないですか？ >>547
つ>>546
直観主義論理では排中律が成り立つとは限らない。 知ってますよ
A→Bという否定を含まない含意命題を対偶法で証明する場合、必要になるのは
「¬B→¬A」→「A→B」
という直観主義では許容されない推論なので、直観主義でも対偶法が使えるかどうかはわからないのではないか？ということです 適当なこと書いてしまったな
対偶法も普通に二重否定除去仮定しないとダメだわ 古典論理だと背理法と二重否定除去が同値で、二重否定除去から対偶法が出るから対偶法は"背理法の一種"(>>543)と言ってもいいのかもしれない 大学入試問題でよく分かんないのを証明しろと言われたらたいてい数学的帰納法か背理法 有理数の集合はQ という1文字が当てられています。
ところが、無理数や超越数を表わす
集合の記号文字はありません。
これってなぜ存在しないんですか？
ちゃんと用意したほうが、見やすいしインクの節約にもなるのに…。
現状だと、
A ∈ cQ 、 A ? Q みたいな
しゃらくさい表記 で補ってますよね。 実数は基本無理数で、有理数は特別な数。
複素数は基本超越数で、代数的な複素数（実数、虚数）は特別な数。
一般的な数にまで記号を付けると、キリがなくなる。
でも、素数くらいは自然数の特別な数として、記号化してもよさげ。 正の整数nに対して、関数f(x)=|x-1|+|x-2|+....+|x-n| の最小値を求めよ
1≦x≦k+1（k=0,1,2,…,n-1）のとき
f(x)=x+(x-1)+(x-2)+…+(x-k)-(x-(k+1))-…-(x-n)
と解答が始まるのですがkを置いた意味と式がなぜこうなるのかわかりません kを使った区間で場合分けしているのは
絶対値の中身の符号が、区間ごとに
ひとつずつ変わるから
絶対値を外した式への書き換えは
|a|＝−a(a＜0), |a|＝a(0≦a)
を全部の項に適用して足しただけ
がんばー 共通テストの数学IAの必答問題に統計が出題されている。
分布が正規分布でないの新鮮だが、
用語の定義を知っていれば答が出せる問題。 > 用語の定義を知っていれば答が出せる問題。
統計の問題ってそうなっちゃうだろ。 理論的なものは扱えるわけないから、長い問題文か不親切な数値計算で誤魔化すくらいしかやることないよね 統計はあんまり出題されないけど、定型作業だから出題されたら満点とらないといけないね。
グラフから数値を読み取って手計算とかやりたくないな。 >>557 >>558
あざっす！
そもそも、補集合 cQで表せるから用意する必要はない。
また、実数Rのほとんどが無理数だから
特殊な性質をもっていない実に平凡な多数派の数である。
この平凡な多数派の数の集合にわざわざ記号を
当てる意味があるんだろうか？って考えれば納得ですね。
(そのかわりに特殊な性質のある有理数に
は Qという集合記号があるわけだし)
「有理数の集合記号を1文字を与えろ」というのは、
「素数のうち、奇数であるものの集合」 に集合記号を1文字当てろ
ってのと同じくらいにナンセンスな主張でした…、失礼しました。
(なぜなら、素数のほとんどは奇数だから分ける意味がない) しんじろう 「これって意外と
知られてないんですけど
素数ってほとんどが奇数なんですよね」 実際、少なく見積もっても９割くらいの人は知らないんじゃない 三角行列の面積を求める公式ってありますか？
底辺×高さ÷2だと正確な答えにはなりません。
底辺×高さ÷2＋...が必要です。 追加：離散的な面積を求める数学の分野ってあるんでしょうか？ >>573
(1+n)*n /2
等差級数の 区間(横幅) の台形の面積を求める奴やね。
等差の高さ a, 区間(横幅) w
(左の辺 + 右の辺) * 横幅 /2
= (Left + Right) * w /2
= { Left + {Left + a*(w-1)} } * w /2
Left = 1, 横幅 d = n の場合、
式 = Left +Right * w /2
= {1+ (1 + 1*(n-1)) } * n /2
= n (n+1)/2 = (1からn の総和) どうしても解けない
明日受験なんだ。
みんな助けて・・・
過去問に回答が付いてないんだ。
https://i.imgur.com/c1OyHf3.jpg >>576
ひっくり返して重ねて、かぶってる所をうめる。
すると円の面積から中の正方形を引いた面積が求める面積の2倍。 電磁波犯罪被害者の症状
体が異常に熱い
ノドが異常に乾く
異常に疲れる
スマホを所持していないときは被害が軽減する >>579
文字通りの意味です。
●●●●●
●●●●
●●●
●●
●
この離散的な面積のことです。
ところで、公理論的確率論の公理にある加法性と
確率の加法定理とは同じものですか？
一方は公理と呼ばれているのに、もう一方は定理という名前がついていますが。 >>575さんいやすごいですね
>>571ぱっと見だと電波にしか見えませんけどよくエスパーできましたね
>>580
高級な言葉を使って周囲を煙に巻いたつもりになっていい気になるよりも、もっと他に勉強することがたくさんあるでしょうね
>>571のような質問をするということは、あなたは高校数学の基礎の基礎がわかってないということです >>580
物理的に●を考えたとき、●は分子、原子、素粒子、……となるに連れてその物理的体積は小さくなるが、
●の物理的体積は0と仮定するのか？ それとも●の物理的体積は正と仮定するのか？
この●の物理的体積をどう仮定するかで話は大きく違う
●の物理的体積を0と仮定するなら、面積は0になる
●の物理的体積を0と仮定するなら、直ちに面積が0とはいえない ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
