>>712 の解答の修正版を以下に残しておきます。

k≧5, k≡1(mod 4)に対して
虚軸上の留数補正したアーベルプラナの公式より
I = Σ n^k/sinh(πn)
= ∫[0,∞] x^k/sinh(πx)dx - 2Σ(-1)^n n^k/(e^(2πn)-1)

J = Σ(2n)^k/sinh(2πn)
= ∫[0,∞](2x)^k/sinh(2πx)dx - Σ(-1)^n n^k/(e^(πn)-1)

2J-I = Σ(-1)^n n^k/sinh(πn)
= 2Σ(-1)^n n^k(1/(e^(2πn)-1)-1/(e^(πn)-1))
= -Σ(-1)^n n^k/sinh(πn)
= -(2J-I)

したがって
2J-I = 0


>>707 の用意していた解答は以下の通りです。

f(z) = P(z^4) z^5 π/(sinh(πz)sin(πz))と置く
f(z)の極はz=n, inにあり(nは0でない整数)留数は
Res[z=n]f(z) = Res[z=in]f(z) = (-1)^n P(n^4) n^5 / sinh(πn)

したがって留数定理より
4Σ[n=1,N] (-1)^n P(n^4) n^5 / sinh(πn) = 1/(2πi)∫[C]f(z)dz
ここでCは点(1+i)(N+1/2),(1-i)(N+1/2),(-1-i)(N+1/2),(1-i)(N+1/2)を周回する路

n→∞とすると|∫[C]f(z)dz| = O(N^(4+deg(P))/e^(πN)) → 0
より目的の結果が得られる