高校数学の質問スレ Part414
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part413
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624358305/ >>335
おい自称医者尿瓶
お前まだ数学もどき語ってんのかよ？このスレにお前なんか必要ないんだよ、数学もどきしか能がない底抜けのバカなんだから
お前は心の病気だろ、病院行け >>323
2021/10/14 20:25 頃
韓国南東部の慶尚南道 金海(キムヘ)市の総合病院で、
60歳の患者がMRI装置の中で酸素ボンベを頭にぶつけて死亡する事故が発生した。
患者(60歳男性)が装置内で横になって待機していた。
MRI装置を作動したところ、約2m横に置かれていた酸素ボンベ(鉄製?)が磁力で装置に飛び込んだ。
酸素ボンベは重さ10キロ超、高さ128 cm ほど。
「MRIを扱う人たちが 鉄 を中に持ち込んだらいけないことを習わなかったのか？
100％病院の過失だ」 aとbが互いに素のときax+by=1が整数解を持つってのを参考書とかで
1a,2a,3a・・・(b-1)aのどれかがbで割って余り1て言う論法で証明してるけど
じゃあそれってどこからって言う
いろんなことと循環してませんか aとbが互いに素なら{0,1a,2a,3a・・・(b-1)a}≡{0,1,2,3,…,b-1}(mod b)が成り立つのでそうなる
証明は完全剰余系の基本定理でググると出る と思ったけどよく考えたら確かにia≡ja→i≡jを導くのにベズーの補題使ってる気がするな ｻﾝｸｽｺ
完全剰余系と不定方程式の解の存在は同値な気がしてさらっと「証明」と言って良いのかなと mとaが互いに素なときm|ka -> m|k
を証明するのに不定方程式の解の存在（ベズーの補題）が要るね
--
mとaが互いに素だからベズーの補題より整数x,yがあってmx+ay=1となる
このときkmx+kay=kとなり,
m|kmxかつm|kayだからm|kmx+kay=k（証明終） b|aはbがaを割り切る(ある整数lがあってa=lb)の意味 >>345
というかこれユークリッドの補題(Euclid's lemma)って名前付いてるのか… >>345
一意分解域(UFD)だから、
m|ka ならば
m = gcd(m,ka)
≦ gcd(m,k)･gcd(m,a)
= gcd(m,k) ← gcd(m,a)=1
≦ m,
∴ gcd(m,k) = m
∴ m | k
>>343
ia ≡ ja (mod b)
ならば
b | (i-j)a
また、aとbは互いに素だから
b | (i-j)
i-j ≡ 0 (mod b)
>>341
0 ≦ i, j < b だから
i-j = 0 に限る。
∴ {0, 1a, …, (b-1)a} をbで割った余りはすべて異なる。
その中には1もある。 >一意分解域(UFD)だから、
素因数分解の一意性証明するのにユークリッドの補題必要 要はユークリッドの補題をベズーの補題無しでコツコツ証明するかベズーの補題を普通に証明する必要がある感じかな ベズーの等式、ユークリッドの補題、素因数分解の一意性この辺の同値ループの外から証明するのに除法の一意性を使う感じですかね 凄いトンチンカンな質問かも知れません。
長方形の紙から出来るだけ容積の大きい箱を作りたいという問題で、
体積を表す三次式を出して、それを微分して、
極大値を出すという事を習いました。
で、それを踏まえて、
200cmのロープを使ってできる長方形の面積は
y=x*(100-x)
で表せますよね。
で、展開して、
y=-x^2+100x
それを微分して表せる
y'=-2x+100
この式って何を表してるんですか？ y ' = lim[⊿x→0] ⊿y/⊿x
= lim[⊿x→0] {(x+⊿x)(100-x-⊿x) - x(100-x)} /⊿x
= -2x + 100, >>353
yの変化率だよ
xを変化させるとyも変化するわけだが、xを一定の速さで変化させたときにyの変化がどれくらいの速さなのかを示している >>331
イナさんはドラクエとFFはどれをプレイしましたか？
俺はドラクエシリーズは5、6、7、FFシリーズは4、5、6、7、8、10、10-2、11、12、13、15をプレイしました 前>>331
>>358
ドラゴンクエストとファイナルファンタジーのことですね？
FFというと前輪駆動の車ですね。 円の面積がπr^2の証明はこれでいいですか駄目ならなぜですか
証明
円周2πr(πの定義)をrで積分して式を得る ユークリッドの互除法が楽になる裏技見つけたのですが、この計算方法の原理が分からないです。どなたか解明できますかね？
https://m.youtube.com/watch?v=MZ6wuFYeAwo&;feature=emb_title >>361
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm
数学的帰納法で証明もできるけど
このページのMatrix methodのところの最後の式が本質的だと思う >>359
＞ドラゴンクエストとファイナルファンタジーのことですね？
はい。 >>362
ご返信ありがとうございます。申し訳ないですが、Matrix methodってどこにありますでしょうか？気になります。 Mathematical applications
のなかのやつでは >>341-352
一時流行った「定理を証明せよ」系の入試問題も何を元に導くのかという点では危うさがあるね >>366
チャート式とか数学科の教授が書いてる参考書で勉強してるなら引っかからないだろうけど良く分からない予備校講師が書いた本とかYouTuberが出した動画で勉強してると悲惨なことになりかねないな
実際YouTubeで検索かけると完全剰余系の基本定理からベズーの等式証明してしまってる動画がヒットする
https://www.youtube.com/watch?v=1KyS4WnbTVM >>370
(a+b)^2-12(a+b)-36
=(a+b-6)^2
ここで、a+bは元の数である2/(3-√8)=6+4√2そのものだから
=(4√2)^2
=32 >>371
1行目の最後-36じゃなくて+36です >>371
あああ！なるほど！
めちゃくちゃ分かりやすい解説をありがとうございます！ 7個の数字
4,4,4,5,6,7,7
を並べてできる七桁の自然数の中に
4乗数はそんざいするか？
これはどう考えればいいでしょおか・ >>374
絞り込んで計算するとか
4乗して4000000以上8000000未満で、下一桁が4か6というのはちょこっとしかない 43^(4)
=3,418,801
44^(4)
=3,748,096
45^(4)
=4,100,625
46^(4)
=4,477,456
48^(4)
=5,308,416
52^(4)
=7,311,616
53^(4)
=7,890,481 >>362 >>365
見つかりました。ありがとうございます！読み込んどきます。 4乗の下2桁は
１の位が0 → 00
１の位が1,3,7,9 → 01, 21, 41, 61, 81
１の位が2,4,6,8 → 16, 36, 56, 76, 96
１の位が5 → 25
このうち 56, 76 が題意に適する。
50n± 2, 50n±14 → 16
50n±12, 50n±16 → 36
50n± 4, 50n±22 → ５６
50n±18, 50n±24 → ７６
50n± 6, 50n± 8 → 96 関係ないけど…
11^4 = 14641 (1,4,6)
16^4 = 65536 (3,5,6)
21^4 = 194481 (1,4,8,9)
24^4 = 331776 (1,3,6,7)
27^4 = 531441 (1,3,4,5)
28^4 = 614656 (1,4,5,6)
34^4 = 1336336 (1,3,6)
36^4 = 1679616 (1,6,7,9)
39^4 = 2313441 (1,2,3,4)
42^4 = 3111696 (1,3,6,9)
46^4 = 4477456 (4,5,6,7)
52^4 = 7311616 (1,3,6,7)
64^4 = 16777216 (1,2,6,7)
69^4 = 22667121 (1,2,6,7) 次元大介 0.3秒
銭形幸一 0.2秒
冴羽リョウ 0.2秒
ゴルゴ13 0.17秒
リボーン 0.05秒以下
両津勘吉 0.009秒
人間は反射速度上限が0.01秒である事が知られていて、普通に考えて撃鉄を引ける最短時間は0.1秒は超えざるを得ない｡
リボーンは超常能力持ちだから目を瞑るとして、両津勘吉は、神経節を持つ昆虫の如き反射性能を
神経節を持たずして成し得ている事に成る｡ 38^2 = 1444 (1,4)
88^2 = 7744 (4,7)
109^2 = 11881 (1,8)
256^2 = 65536 (3,5,6)
11^3 = 1331 (1,3)
36^3 = 46656 (4,5,6)
62^3 = 238328 (2,3,8)
92^3 = 778688 (6,7,8)
256^3 = 16777216 (1,2,6,7)
6^5 = 7776 (6,7)
23^5 = 6436343 (3,4,6)
32^5 = 33554432 (2,3,4,5)
34^5 = 45435424 (2,3,4,5)
6^6 = 46656 (4,5,6)
16^6 = 16777216 (1,2,6,7)
4^8 = 65536 (3,5,6)
8^8 = 16777216 (1,2,6,7) 和が等しい2整数の取り得る積の最大値は、
偶奇が同じなら平方数、異なるなら矩形数になる
当たり前ですが、証明は可能ですか? >>382
偶奇が同じとき、和は偶数。
x + y = 2a,
xy = x(2a-x) = a^2 - (x-a)^2 ≦ a^2,
偶奇が異なるとき、和は奇数。
x + y = 2a+1,
xy = x(2a+1-x) = a(a+1) - (x-a)(x-a-1) ≦ a(a+1), 1～n の番号が書かれた球が1つずつ袋に入っている。
袋から球を1個取り出し、番号を記録して球を袋に戻すという操作を三回行い、
記録された番号の和がmになる確率をP(m)とする。(3≦m≦3n)
P(m)を最大にするmは、3と3nの真ん中、つまり
・nが偶数なら (3+3n-1)/2 または (3+3n+1)/2 のとき
・nが奇数なら (3+3n)/2 のとき
になると思うのですが、これはどのように示せますか？ 求めるのは立方体1≦x,y,z≦nと平面x+y+z=m上の格子点の和
3≦m≦nまでは一辺上にm個の正三角形なのでnの増加に従い単調に増加
n≦m≦3/2nまでは六角形でaffine変換して格子が直交するようにしてからピックの定理を使えば、周上の格子点数が不変だから面積最大の時格子点数も最大 展開の逆が因数分解、因数分解の逆が展開みたいなことを習った記憶があるんですが
因数分解した結果を展開しても元の形になるとは限らないですよね？
例えば以下を因数分解せよっという問題があります
(x-2y)(2x+9)+(2y-x)(z+4)
答えは
=(x-2y)(z+5) らしいですが、どうみても元の形には戻らない(´・ω・｀) x-2y = w を塊と思えば…
= w(2x+9) + (-w)(z+4)
= w(2x-z+5)
= (2x-y)(2x-z+5)
だよ。 Kindleで販売されてる「中学数学因数分解練習問題集」の31ページの問題だったんだけど答え違ってるのか・・・
まぁそれはさておき、展開しても元の状態に戻らないは、そういうもんで合ってるの？ >>389
マジスレすると整式の積の形にすることあるいはしたものが因数分解
単項式の和の形にすることあるいはしたものが展開
そのどちらでもない中途半端な形はいろいろある
どっち方向に変形するかってこと ＞(x-2y)(2x+9)+(2y-x)(z+4)
＞=(x-2y)(z+5) らしい
元の式が (x-2y)(2z+9)+(2y-x)(z+4) じゃね？ n+2 ≦ m ≦ 2n+1,
立方体を x+y+z=m で切った断面は
(1,m-n-1,n)－－－(1,n,m-n-1)
／ ＼
／ ＼
／ ＼
(m-n-1,1,n) (m-n-1,n,1)
＼ ／
＼ ／
＼ ／
(n,1,m-n-1)－－－(n,m-n-1,1)
格子点の数は {3nn +1 -(3+3n-2m)^2}/4 個。
・nが偶数なら
S_m = {3nn - (2+3n-2m)(4+3n-2m)}/4,
m = (2+3n)/2 または (4+3n)/2 のとき最大 (3nn/4).
・nが奇数なら
S_m = {3nn + 1 - (3+3n-2m)^2}/4,
m = (3+3m)/2 のとき最大 ((3nn+1)/4). P(m) = S(m)/n^3.
S(m) = (m-1)(m-2)/2 (3≦m≦n+2)
= {3nn+1 - (3+3n-2m)^2}/4 (n+2≦m≦2n+1)
= (3n+2-m)(3n+1-m)/2 (2n+1≦m≦3n) 三角関数の加法定理ってオイラーの公式で証明してもいいですか きちんと証明できるなら別に良いんじゃないの
できるならね そんなのきりなくね？
何もかも公理から出発するのかと >>401
何もかも公理から出発するんだよ
嫌なら数学やめろ >>403
だーら証明ってのはどこまで遡る義務があるんだよって話だろ どの部分から書くかは人によるだろうが
ともあれ公理まで遡ることができないものは証明ではない なぜ、使って良いのか自分で判断できないものを使いたがるのでしょう？ （大学入試の記述式の）テストで点を取る話かな？
ステートメントを並べて筋を示すだけでも、まず間違いなく茨の道
普通にやった方がはるかにマシでしょう
もっとも、チラ裏コソコソは存分にやれば良いと思いますが 大学で習うような定理使って入試の証明問題を解いたら駄目っていう根拠は何ですか まあオイラーの公式使いたがりな人はこれとか読むとどこに問題があるか整理できていいんじゃないかな
https://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~shimeno/math/euler/euler.html >>409
使っちゃダメって事はないでしょ
自ら証明できないものを使うなってだけ 1/(x(x^2+1)^2)の不定積分が分からないです。 部分分数に分けて
-x/(xx+1)^2 - x/(xx+1) + 1/x
これらを積分すると
1/(2(xx+1)) - (1/2)log(xx+1) + log(x) + c. 三角すいO-ABCがある。
辺OA上に点Kと点Pがあり
辺OB上に点Lと点Qがあり
辺OC上に点Mと点Rがあり、
三角形KLMと三角PQRが(点の順を含めて)相似であるとき、
平面KLMと平面PQRは平行といえませんか？ >>416逆は真なりだからそこからずれたら仮定に反することで言えそう >>412
z = 1/(xx+1) とおくと
dz = -2x/(xx+1)^2 dx,
z/(1-z) = 1/xx,
より
(与式) = (1/2)∫(-z)/(1-z) dz
= (1/2)∫{-1/(1-z) + 1} dz
= (1/2)[log(1-z) + z] + c
= (1/2)[-log(xx+1) + 2log|x| + 1/(xx+1)] + c.
x=tanθ, x=sinh(t) とおいてもできます。。。 O(0,0,0),A(100,0,0),B(100,0,100),C(100,75,0)のとき、
辺OC上にD(28,21,0)をとると、
△ABC≡△ABDとなるが、△ABCと△ABDは平行でない。
△ABC、△ABDと平行になるように△KLMと△PQRをとれば>>416の反例となる >>416
言えません。
O(0, 0, 0) A(2a, 0, 2) B(0, 2b, 2) C(0, 0, 2)
K=P=(a, 0, 1) L=Q=(0, b, 1)
M(0, 0, 1+c) R(0, 0, 1-c) 0<c<1/2,
とおくと
KL = PQ = √(aa+bb),
KM = PR = √(aa+cc),
LM = QR=√(bb+cc),
⊿KLM ≡ ⊿PQR. やっぱり言えませんね
とってもありがとうございます ∠BOC, COA. AOBが直角なら言えるけど、これって凄くたまたまなんだろうか その場合は、⊿PQRの辺長の比が
PQ：QR：RP = KL：LM：MK (相似)
= m：k：l
から
OP：OQ：OR = OK：OL：OM
= √{(ll+mm-kk)/2}：√{(mm+kk-ll)/2}：√{(kk+ll-mm)/2},
と決まり、面方位が１つに決まりますね。
>>420 は KL, PQ が OCに垂直で M≠R となる場合で、
面方位が2つあります。 >>424 ωは1の3乗根で実数でないもの。
2003年京大前期の第四問
f(x)=(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1 は x^2+x+1 で割り切れるか。 416は、一見言えそうなんだけどダメなのね。
勉強になったわ。面白い。 f(x) をまづ x^3 - 1 で割ると
x^100 + 1 = (x^3 -1)q1(x) + x + 1,
(x+1)^100 = (x^3 - 1)Q1(x) + x^2 + (2^100 - 1)/3・(xx+x+1),
(xx+1)^100 = (x^3 - 1)Q2(x) + x + (2^100 - 1)/3・(xx+x+1),
f(x) = (x^3 - 1)Q(x) + (2^100 + 2^100 + 1)/3・(xx+x+1),
x^3 -1 = (x-1)(xx+x+1) だから xx+x+1 で割り切れる。 f(x)=2^(4x+1)+3･2^(2x)とする。
f(x)=2^2021を満たすxの値をa、f(x)=3･2^(2x+1)+2^2021を満たすxの値をbとする。
このとき、a+bの値を求めよ。
2^2a=A、2^2b=Bとおいて条件式をつくり、2A-2B+3=0を導いたのですが、そこからが不明です。
むしろこの路線で合っているのかどうかも不明です。 題意より
f(a) = (2A+3)A = 2^2021,
f(b) - 6B = (2B-3)B = 2^2021,
これは B：A で加重平均しても変わらない。
2AB = 2^2021,
AB = 2^{2a+2b} = 2^2020,
a + b = 1010,
あるいは
2A - 2B + 3 = 0,
を使えば
f(a) = (2A+3)A = 2B･A,
f(b) - 6B = (2B-3)B = 2A･B,
から直ちに
2AB = 2^2021
AB = 2^{2a+2b} = 2^2020,
a + b = 1010,
ですね。
なお
b - 505 = 505 - a = arcsinh(3/(2^1012))／(2log(2)), A = [-3 + √{(2^1012)^2 + 9}] /4,
B = [ 3 + √{(2^1012)^2 + 9}] /4, 三角形ABCがあり、辺BC、CA、ABの中点をL、M、Nとすると
AL=3、BM＝4、CN=5である。このとき三角形ABCの面積を求めよ。
これはどう解けばいいですか BC=a, CA=b, AB=c,
AL=l, BM=m, CN=n, とおく。
中線定理(*)より
bb + cc - aa/2 = 2ll,
cc + aa - bb/2 = 2mm,
aa + bb - cc/2 = 2nn,
辺々たすと
aa + bb + cc = (4/3)(ll+mm+nn),
また
aa = (4/9)(-ll +2mm +2nn),
bb = (4/9)(2ll -mm +2nn),
cc = (4/9)(2ll +2mm -nn),
これより面積は
⊿(a,b,c) = (4/3)⊿(l,m,n)
〔中線定理〕
第二余弦定理より
bb = (a/2)^2 + ll - a･l cos(∠ALC),
cc = (a/2)^2 + ll - a･l cos(∠ALB),
辺々たす。
∠ALC + ∠ALB = 180° だから
cos(∠ALC) + cos(∠ALB) = 0,
bb + cc - aa/2 = 2ll. ALベクトル=a、BMベクトル=b、CNベクトル=cとおく
|a|=3
|b|=4
|c|=5
a+b+c=0
面積=2/3√(|a|^2|b|^2-(a・b)^2) なるほど。
↑AL = l, ↑BM = m, ↑CN = n
とおくと
l+m+n = o,
より
⊿ABC = (1/2) |↑AB × ↑AC|
= (2/9) |(l-m)×(l-n)|
= (2/9) |3 l×m - (l-m)×(l+m+n)|
= (2/3) |l × m| (← l+m+n=o)
= (4/3)⊿(l,m,n).
でござるか。 >>434
中線 AL, BM, CN は重心Gを通る。
ALの延長線上に AG=GH となる点Hをとる。
GH = (2/3)l, CH = BG = (2/3)m, CG = (2/3)n,
⊿CGH = (4/9)⊿(l,m,n)
⊿ABC = ⊿ABG + ⊿BCG + ⊿CAG
= 3⊿CGH
= (4/3)⊿(l,m,n)
でもいいか… ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
