そういう読み方ではありません
∃e∀g ge = g ‥‥①,
で少なくとも一つの e が存在すれば、その e に対して
∀g∃h gh = e ‥‥②
が成立すると定義します。これらは定義・公理です、したがって
∀h∃H hH = e ‥‥③
は②のh の対して②を再適用しただけですから、③の e は ②の e と同一の単位元です、すなわち
「gh=eのeとhH=eのeは同じ」
①②が同時に成立すれば、ge = eg = g で e の一意性、続いて gh = hg = e から逆元の一意性を示せます
