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純粋・応用数学（含むガロア理論）6
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0696１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 09:25:37.05ID:J+JfVsHBつづき
そもそも先例も無く、思考の足掛かりらしい足掛かりも無いのに、「ゼロ」という概念の萌芽のようなものを最初に思いつく、ということ自体が人類にとって非常に大変なことであった。また、「無い」ことを概念として本当に扱ってよいのか？思考の対象として良いのか？良くないのか？ ということすら良く判らず、非常に長い間、得体の知れない、不気味な概念だった。また、（現在の「ゼロ」に比べれば不完全な形ながらも）やっとなんとか「ゼロ」に近いものを思いつき、扱ってみようと試みる人が現れた後も、そのアイディアを口にしたり文章に書いたりすると、「そんな妙なアイディアは認めるべきでない」や「危険なアイディアだ」などと否定する人のほうがはるかに多く、結局、古代ギリシア文明のように「ゼロ」概念を（文明全体として）否定（や禁止）してしまったものもあったなど、古代のさまざまな文明で「ゼロ」という概念を巡り人々は迷い、争い、葛藤した[2]。
長い時代を経て、自然数にゼロ（零）、およびひとつひとつの自然数と一対になっている「負の数」という概念（今で言う「負の整数」という概念）を加えることで、Integer「整数」というまとまりが考えだされた。（この段階では「自然数」および「ゼロ」および「負の数」で、「全ての数」と考えられた（信じられた）ので「integer」と呼ばれた。もともとintegerとは「全体」や「欠けの無い」という意味である。）
つづく
0697１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 09:26:22.08ID:J+JfVsHBつづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
集合論
素朴集合論と公理的集合論
パラドックスを解消すべく建設された公理的集合論では集合や帰属関係の概念はそれらの性質を取り出した記号論理学的な公理系によって間接的に定義される。この捉え方においては集合と帰属関係はユークリッド幾何学の点や線のような根源的な概念で、それ自体は他のものを用いて定義されることはない。 実際には数学を行う上では、集合を素朴集合論の立場で理解しておけば十分なことが多い。
https://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory
Set theory
Applications
Set theory as a foundation for mathematical analysis, topology, abstract algebra, and discrete mathematics is likewise uncontroversial; mathematicians accept (in principle) that theorems in these areas can be derived from the relevant definitions and the axioms of set theory. However, it remains that few full derivations of complex mathematical theorems from set theory have been formally verified, since such formal derivations are often much longer than the natural language proofs mathematicians commonly present.
https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_set_theory
Naive set theory
Naive set theory is any of several theories of sets used in the discussion of the foundations of mathematics.[1] Unlike axiomatic set theories, which are defined using formal logic, naive set theory is defined informally, in natural language. It describes the aspects of mathematical sets familiar in discrete mathematics (for example Venn diagrams and symbolic reasoning about their Boolean algebra), and suffices for the everyday use of set theory concepts in contemporary mathematics.[2]
Sets are of great importance in mathematics; in modern formal treatments, most mathematical objects (numbers, relations, functions, etc.) are defined in terms of sets. Naive set theory suffices for many purposes, while also serving as a stepping-stone towards more formal treatments.
つづく
0698１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 09:26:58.39ID:J+JfVsHBつづき
https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
「ゲーデルと20世紀の論理学 第4巻」（東京大学出版会 2007）
第 I 部 構成的集合と公理的集合論入門 渕野昌
本章では，公理的集合論の体系 ZFC を導入し，この体系で展開される数
学のごく基礎的な部分について検証する．集合論の体系は，まず 1.1 節で “素
朴な” やり方で導入された後，1.2 節で，形式化された厳密な体系として再導
入される．
1.3 節では，クラスも対象として扱えるような集合論の定式化である体系
BGC を定義し，ZFC との関係について述べる．
BGC は，ベルナイス (Paul Bernays, 1888–1977) によって導入された体
系で，[G¨odel 1940] では構成的集合の理論の枠組として用いられているが，
1.3 節でも見ることになるように，その集合に関する部分は ZFC と全く同等
であることが知られており，[G¨odel 1940] での議論も，ZFC ですべて問題な
く行なうことができる．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析の結果を反映している。
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
つづく
0699１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 09:27:30.97ID:J+JfVsHBつづき
https://www.is.s.u-tokyo.ac.jp/isnavi/logic06.html
圏論は数学をするための「高級言語」 蓮尾一郎 東京大学
矢印ばっかり描いているのだ
数学では普通、「集合 A があって、その元 a ∈ A があって……」というように、集合ベースで話が進みます。圏論というのは、代わりに対象と射を使う数学のコトバです。
https://www.is.s.u-tokyo.ac.jp/isnavi/images/logic/picture04.gif
X、Y、Z、X ⊔ Y というのが対象で、その間に描いてある矢印が射です。
圏論は数学の便利なコトバ
圏論の便利なところをひとつ挙げましょう※1。
“対象、射としてとる概念の抽象度をいろいろ変えることによって、
その局面局面でフォーカスしたい抽象度にぴったりの数学的コトバが提供される”
集合のコトバでは、要素ベースでいちばん下のレベルからすべてのディテールを積み上げていかなければいけないところを、圏論のコトバを使えば、適切な圏を選ぶことで「いままさに気になっているレベルの構造」だけをササッと書けます。
※1：京都大学数理解析研究所の小嶋泉先生がおっしゃっていたことです。
(引用終り)
以上
0700１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 13:43:27.45ID:ujrl0PGa>１．まず、文全体の意味が不明
おまえが理解できてないだけなので却下。
>２．結論節「数は集合でしょ？」がダメ。∵ 古代ギリシャ ユークリッドの時代、集合は無かったが、数はあった（下記「wikipedia 数」）
「公理的集合論では」から始まるレスに対する無効な指摘なので却下。
>３．思想が古い。確かに、20世紀の前半は、「公理的集合論、マンセー！」みたいな雰囲気ありました。特に当時の日本国内では
「公理的集合論では」から始まるレスに対する無効な指摘なので却下。
>４．ですが、不完全性定理が出てきたころから、風向きが変わる。いまのトレンドは「逆数学」です（下記）
「公理的集合論では」から始まるレスに対する無効な指摘なので却下。
>５．なお、ZFCで”素朴集合論のパラドックスが解消できる”ことがハッキリして、逆に自然言語を使う集合論でも、無茶しなければパラドックスは避けられることがハッキリしたのです
蛇足なので却下。
>６．21世紀の現在、（下記）en.wikipedia Set theory Applications ”mathematicians accept (in principle) that theorems in these areas can be derived from the relevant definitions and the axioms of set theory. However, it remains that few full derivations of complex mathematical theorems from set theory have been formally verified, since such formal derivations are often much longer than the natural language proofs mathematicians commonly present. ”
「公理的集合論では」から始まるレスに対する無効な指摘なので却下。
瀬田くんさあ、「公理的集合論では」から始まるレスに対してなんで公理的集合論以外の話を持ち出して否定しようとするの？
君、完全にピンボケ大王になってるよ。しっかりしてね。
0701１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 13:52:46.84ID:ujrl0PGa>７．あと、圏論の台頭です。圏論のレベルでは、対象が素朴集合論に属するか、公理的集合論に属するかは、詮索する必要がなくなります。
だったら、本当は「公理的集合論で{}から全てを組み立てて」とやるところを、「簡便に素朴集合論で」というか、あるいは不問にすることも可です
「公理的集合論では」から始まるレスに対する無効な指摘なので却下。
>８．よって、「数は集合でしょ？」は、全くもって有害無益の主張ですｗ（＾＾
論拠がすべて却下されているので結論も却下。
ダメだね、君は。
「公理的集合論では・・・・。」というレスを否定したかったら、公理的集合論の範囲内で論理を組み立てて下さいねー。
公理的集合論の範囲外を持ち出して来ても「なに関係無い話してんだこのアホは？」ってなるだけですよー バカですか？
0702現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/04(日) 15:45:35.31ID:J+JfVsHBおサルさ
院試なら首が飛んでいるよ
院試は、採点された答案は戻ってこないよ
ただ、不合格になるだけ
だから、あとから、「こう書いたのは、こういう意図です」であっても、
それを言うチャンスは与えられないのです
普段から、きちんとした文を書く練習をしておくことだよｗ
>>694
（>>590より 引用開始)
公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します。
どうです？数は集合でしょ？ちょっとは分かりました？
(引用終り)
こんな小学生みたいな文書いてちゃ、
院試には通らないよねｗ（＾＾；
「数は集合でしょ？」
ガハハ、ガハハｗｗｗ
0703１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 15:54:38.21ID:ujrl0PGa>だから、あとから、「こう書いたのは、こういう意図です」であっても、
最初から「公理的集合論では」と断っており、あとから、「こう書いたのは、こういう意図です」などという釈明は一切不要ｗ
おまえはいったい何を盛大に勘違いしてるんだ？ｗ
0704１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 15:56:01.92ID:ujrl0PGa>院試には通らないよねｗ（＾＾；
院試てｗ
おまえ頭オカシイの？
0705１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 15:59:16.47ID:ujrl0PGaおまえバカだろｗ
0706１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 16:02:55.83ID:ujrl0PGa619、642、651、666、668、671、677、678、679、680
にはいつ回答してもらえるんですかー？
あなた自身の発言内容を質してるだけですからすぐ回答できるはずですよー
0707１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 17:52:50.42ID:J+JfVsHB（>>590より 引用開始)
公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します。
どうです？数は集合でしょ？ちょっとは分かりました？
(引用終り)
これ、結論を
「公理的集合論では、数は集合です」と書き直してみよう
そうすると
「公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します。
公理的集合論では、数は集合です」
となる
この文、おかしいよね
１）「公理的集合論では、数は集合です」で、この”数”って「0」のこと？ それとも「0」以外も含めた数のことかい？
２）”「0」以外も含める”意味なら、説明不足でしょ。そう説明しないといけない
３）この”数”が「0」のことだとしても、「0を{}と定義すれば・・・」が余計な陳述だ
∵ 0を{}と定義する必要はないから（別の集合として「0」を定義しても良い）
４）そもそも、前段不要だよね！ｗ
「公理的集合論では、数は集合です」を言いたいなら。結論だけを、スパッと言えば良いのです
こんな小学生みたいな文書いちゃってさ（＾＾
地頭悪いことを、自慢しなくても良さそうなものだよねｗ（＾＾；
0708現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/04(日) 18:35:53.24ID:J+JfVsHBhttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2050-10.pdf
公理的集合論の一角を彷径って
‐一角からの結果紹介 ‐
Wandering around a corner of Axiomatic Set Theory
大和大学・教育学部 *
金井康雄
Yasuo KANAI Department of Education, Yamato University
数理解析研究所講究録
第2050巻 2017年 123-139
§1. はじめに
この論稿で,角田博士の研究業績に少し言及しながら,非可算正則基数上の特定な条件を満
たすイデアルをいくつか紹介し,それらのイデアルに関係する諸結果を報告する。
一昨年惜しくもわが師,角田先生がお亡くなりになられた。師にささげるほどの論稿ではな
いが,不肖の弟子の角田先生への感謝を込めた報告とさせていただく。
公理的集合論の一角と論題で述べたが,一角というのだから全体を見渡して言っているのだ
ろう。そうでないと,研究内容の立ち位置が一角かどうかはわからないだろうという尤もな意
見を想定して,公理的集合論の流れを概観してみたいと思う。
§2. 公理的集合論の流れ
やはり集合論の創始者はカントールということではないかと思われる。デデキントやフレー
ゲの名前が聞こえてきそうではあるが。
カントールはクロネッカーのもとで整数論を研究していたが,クレレ大学に就職してからは
先輩のハイネなどの影響や提言で三角級数の研究を始めたようだ。この研究の延長に,超限順
序数が控えていたのである。
カントール以前にも,古くは射影幾何学やライプニッツの外延性の原理,さらにはガウスの
剰余類,ボルツアーノの著作,リーマンの多様体などがカントールの研究に影響を与えており,
同時代の人では前述のクンマーの概念を引き継いだデデキントのイデアルなどの集合論的諸概
念の扱いやラッセルの思索などもカントールの研究に影響していると思われるが,ここでは,
カントール後の集合論に関する出来事を公理的集合論ができるまでチャートで示したいと思う。
つづく
0709１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 18:36:39.25ID:J+JfVsHBつづき
以上の流れで公理的集合論が整備されていったと考えても全く検討違いとは言えないと思わ
れる。では,巨大基数の公理が考えられていく経緯を再びチャートで示すと次のようになると
思う。
巨大基数の理念はゲーデルにより,具現化はいろいろな研究者によると思われる。具現化の
初期過程と して測度問題を取り上げる。
以上で,ゲーデルより生じた巨大基数の理念は,集合への考察が深まるにつれその必要性が
強くなっていった流れを追ってきた。
次に,巨大基数の一つと考えられるいくつかの条件を満たす基数上のイデアルの生まれるま
でを眺めて,公理的集合論の一角の位置を確認し,以下に記す諸結果考察を見ていただきた
いと思う。
§3. 基数の部分集合全体またはプール代数におけるイデアル
これより,節タイ トルにあるように,イデアルについての諸結果を報告する。
先ず,定義の確認より始める。
§4. イデアルの性質
この節で,いくつかの定義を続けながら,部分節で諸結果を報告したい。
§7. 分配的イデアル
種々のイデアルの性質として,分配的イデアルを採り上吠 それらの結果を報告する。この
性質に注目した理由は,角田先生の論文 [10] におけるプレシピタスイデアルより強い条件であ
る $\omega$ ‐分配的イデアルに注目して,[10] と同様な結果 ([13]) を得ようとしたことである。
(引用終り)
以上
0710１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 19:41:55.84ID:J+JfVsHB>この論稿で,角田博士
角田譲先生
http://www2.kobe-u.ac.jp/~mkikuchi/
菊池誠 神戸大学
研究分野 数理論理学，数学基礎論，数学および論理学の哲学
http://www2.kobe-u.ac.jp/~mkikuchi/ktc2016.pdf
母校の窓 角田譲先生の死を悼む 菊池誠
神戸大学に数学基礎論の研究グループを作ることが角田先生の長年の夢であったが、それには二つの意味があった。
一つは、東京大学や京都大学には数学基礎論の専門家がおらず数学基礎論が学べない、
数学基礎論を学ぶ環境を作りたいということであった。もう一つは、古典的な分野では他の大
学に多数の研究者がいて、神戸大学に最高の研究グループ
を作ることは難しい、他の大学にはない数学基礎論で卓越し
た研究グループを作りたいということであった。神戸大学は他
の大学を真似るのではなく、比類ない個性ある大学を目指す
べきだと信じていた。日頃から「有名人の取り巻きになるので
はなく、自分の世界を目指せ」と仰っていた。個人において
も組織においても、世間におもねるのではなく、独自の価値
観を掲げるべきだと考えていた。
実際、角田先生は数学基礎論の研究グループを作った。
神戸で震災のあった1995年に林晋先生と私が神戸に呼ば
れ、続いてイギリスから著名な研究者であるフィリップ・ウェ
ルチ先生を、ドイツから若手のヨーク・ブレンドレ先生を招い
た。常に海外を見ていて、「神戸はバタ臭い街なのだから、
神戸大学もバタ臭い大学になるべきだ」と仰って、研究グルー
プの国際化を進めた。ウェルチ先生の後には証明論の世界的
な権威である新井敏康先生を招き、研究グループには頻繁に
海外から研究者が訪れた。
角田先生はよく「人事は必ず、自分よりも優秀だと確信す
る人を、三顧の礼をもって迎えよ」と仰っていた。角田先生
ご自身も優秀な弟子を何人も育てたが、決して自分の弟子は
呼び戻さなかった。そのために角田先生には忠実な部下はお
らず、研究グループ内はいつも意見の対立で混乱していた。
同僚として海外の研究者を招いたことの苦労も多かった。
角田先生が亡くなられたとき、得がたい人を失ったと多くの
人が角田先生の死を悼んだ。謹んで角田先生のご冥福をお祈りしたい。
0711１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 19:49:51.12ID:J+JfVsHB>ウェルチ先生の後には証明論の世界的
>な権威である新井敏康先生を招き
奥さんの新井紀子先生が有名だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B0%E4%BA%95%E6%95%8F%E5%BA%B7
新井 敏康（あらい としやす、1958年 - ）は、日本の数学者、論理学者。東京大学大学院数理科学研究科教授。専門は数学基礎論[1]。国立情報学研究所教授の新井紀子は妻[2]。
https://researchmap.jp/tosarai
researchmap
新井 敏康
東京都出身 エレカシと大島弓子と小泉今日子のファン
https://researchmap.jp/arai_noriko
researchmap
新井 紀子
アライ ノリコ (Noriko Arai)
0712１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 19:51:25.05ID:J+JfVsHB＞ 神戸大学に数学基礎論の研究グループを作ることが角田先生の長年の夢であったが、
渕野昌先生が、神戸大におられたのも
そういうことだったのかも
当時、教養学部での論理学の授業は土曜日でした、当時は私は数学などというものはプログラミングと同じで自分で本を読んで勉強するものであり午前中3時間のチーチーパッパのために鶴甲に行くなんて考えられなかった、だから履修届は出しても授業には出なかった
先生もその辺りは先刻承知だったようで、評価は「基本出席重視、試験成績は副資料で優A, 良B, 可C, 不可D をつける、ただし期末試験で満点を取れば出欠にかかわらず秀Sをつける」だった
何度も何度の先生の本を読んでは挫折ばかりしていた
先生の本を最後まできちんと読み上げたのは 5 年ほど前の話
0714１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 21:43:57.54ID:ujrl0PGa>１）「公理的集合論では、数は集合です」で、この”数”って「0」のこと？ それとも「0」以外も含めた数のことかい？
例示であることを読み取れない時点でおまえの国語力がｵﾜｯﾃﾙだけｗ
0715１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 21:57:08.79ID:ujrl0PGa>１）「公理的集合論では、数は集合です」で、この”数”って「0」のこと？ それとも「0」以外も含めた数のことかい？
「0」以外も含めた数とは？
>２）”「0」以外も含める”意味なら、説明不足でしょ。そう説明しないといけない
例示であることを読み取れない時点でおまえの国語力がｵﾜｯﾃﾙだけ、却下
>３）この”数”が「0」のことだとしても、「0を{}と定義すれば・・・」が余計な陳述だ
> ∵ 0を{}と定義する必要はないから（別の集合として「0」を定義しても良い）
別の集合として定義するなら、その集合の存在を示す必要があるだろｗ
存在しない集合として定義したら、0の存在も示せないだろｗ
おまえバカだろｗ
>４）そもそも、前段不要だよね！ｗ
> 「公理的集合論では、数は集合です」を言いたいなら。結論だけを、スパッと言えば良いのです
良いかどうかは主観の問題だから却下
0716１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 21:58:29.06ID:ujrl0PGa0717１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 22:03:31.45ID:ujrl0PGa0718１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 22:29:39.92ID:ujrl0PGa>4）m + (-m) =R として、R をあらためて 0 と書くこととするってよ。ゼロ”0”を導入できたね。これで、”整数の集合 Z が厳密に定義された”とあります
>5）後は、Zに積を入れて、逆元を入れて、有理数の集合Qを構成して、そこから有理数Qを完備化して実数体Rを構成する（コーシー列とか、デデキントの切断を使う）
「N は N^2/∼ に演算まで込めて埋め込める」
これは「自然数 m に対して [m + 1, 1] を対応させる写像φ」が単射環準同型だから、Nとφ(N)⊂N^2/〜が環同型という意味ですよー 理解できますかー？
環の定義分かりますかー？ 環準同型の定義分かりますかー？ 環同型の定義分かりますかー？
自分が貼ったコピペくらい理解しましょーねー
あなた「積を入れる」とか「逆元を入れる」とか言ってますが、寄せ鍋じゃないんだからなんか適当に放り込めばできあがる訳じゃないですよー
あなたには数学の美しさなんて到底理解できないでしょーねー
0719１３２人目の素数さん
2021/04/04(日) 22:32:58.91ID:ujrl0PGa試しに書いてごらんなさい。
コピペはダメ。書いて覚えるんです。バカは頭が悪いので体で覚えるしか無いんです。
0720１３２人目の素数さん
2021/04/05(月) 11:46:00.56ID:hE1JDNYp瀬田くんまだ宿題やってないのか
悪い子ですね
廊下に立ってなさい
0721１３２人目の素数さん
2021/04/05(月) 17:14:53.19ID:ZwDAX1kdC++さん、どうも
スレ主です。
”鶴甲”ね
久しぶりに、聞きました
C++さんは、加古川でしたよね
とすると、快速で六甲道から、阪急バスなどですかね。昔は、途中に神戸外語大がありましたね
神戸大は、結構山の中腹という感じで
眺めがよかったんですよね。数えるほどしか、行ったことないですが
懐かしいな
ところで、角田先生の講義を取って、その本で勉強されたってことですね（＾＾
0722現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/05(月) 20:41:19.30ID:DsMvJGEN>”鶴甲”ね
>久しぶりに、聞きました
自己レスですが
鶴甲：つるかぶと
と読みます
地名ですね
”つるこう”と読んだら、落語です（＾＾
大阪人ですなｗ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%B6%B4%E7%94%B2
鶴甲（つるかぶと）は、兵庫県神戸市灘区の町名。
歴史
1968年（昭和43年）11月、高羽字奥ノ滝・西山と八幡字中新田と水車新田字宮坂にかけて宅地造成されて誕生した。
地名の由来
『神戸の町名 改訂版』ではこれを佳名であるとしているが[3]、『灘区の町名』では鶴甲山を拓いて造成したからだとしている[4]。
鶴甲山は元々標高327mあり、高羽線の暗渠に設けた地下ベルトコンベヤーで神戸東部第一工区（灘浜東町）・第二工区（御影浜町・住吉浜町）へと土砂が直接運ばれた。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%91%E7%A6%8F%E4%BA%AD%E9%B6%B4%E5%85%89
笑福亭 鶴光（しょうふくてい つるこ/つるこう）は、上方落語の名跡。当代は2代目。
2代目笑福亭 鶴光（しょうふくてい つるこ / つるこう[2]、1948年1月18日 - ）は、上方落語家、ラジオパーソナリティ。
0723現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/05(月) 20:46:09.54ID:DsMvJGEN> ５．なお、ZFCで”素朴集合論のパラドックスが解消できる”ことがハッキリして、逆に自然言語を使う集合論でも、無茶しなければパラドックスは避けられることがハッキリしたのです
追加メモ：下記”naive set theory”は、使って良いという話と見ました（＾＾；
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1787-15.pdf
Is ”naive set theory” really that naive?
神戸大学大学院・システム情報学研究科 渕野 昌 (Sakae Fuchino) *
数理解析研究所講究録 第 1787 巻 2012 年 183-189
(抜粋)
1 Naive set theory
この位置付けでの，$na$ive
set theory (die naive Mengenlehre) は大雑把には，$[$ Cantor の集合論」 と同一視してよ
さそうである．いささか図式的になりすぎるきらいもあるが，ここでは，以下，このよ
うな線引きを，
(a) naive set theory $=$ Cantor の集合論
として引用することにする．
Halmos の本で言う “naive set theory” は，
数理論理学を用いない 1908 年のツェルメロの論文での公理的な立場から現代的な公理
系を扱った $($ 公理的集合論” であり，上記の von Neumann の言っている，，formalistische
Mengenlehre“ をも含むものになっている．つまり，ここでは
(b) rlaive set theory $=$ 数理論理学を用いた厳密な公理化の行なわれる前の
(公理的) 集合論
と捉えられている．
一般には，現在でも $na$ive set theory” という
表現は，(a) の意味で用いられることが多い．しかも，ある種の儒数学を提唱する人た
ちによって，歴史的な文脈を意識的に曲解するために用いられることすら多いようにみ
うけられる．
つづく
0724現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/05(月) 20:46:29.86ID:DsMvJGENつづき
2 $[(a)$ naive set theory $=$ Cantor の集合論』 の場合
“naive set theory” を (a) の意味で解釈する立場からは，
$(\dagger$ $)$ [素朴集合論は (ラッセルのパラドックスなどにより) 矛盾している」
あるいはこれに類した表明が屡々なされ，このような主張がインターネット上で広く流
布さえしている．置かれた文脈によっては必ずしも間違いとは言えない場合もあるかも
しれないが，少なくとも，この表明自身は，以下の意味で歴史的，数学的な事実に対し
て間違っている力$\searrow$ 間違っていないとしても，極めて misleading なものになっている．
また，この表明が初学者に間違った印象を与えることを恐れるものだが，実際，これが
なされている場所を見てみると，ある種の儒数学のプロパガンダと組になっていて，む
しろ意図的に歴史的な事実を曲解させることを目論んでいることも少なくないように思
える．
いずれにしても，$na$ive set theory としてのカントルの集合論は，「矛盾していた」 と
いういう表明は，それ自身 nalve すぎるし，数学的な事実を反映もしていない，と確言
できそうである
3 『 $(b)$ naive set theory $=$ 数理論理学を用いた厳密な公理化の
行なわれる前の (公理的) 集合論』の場合
(b) の意味で nalve な集合論は通常の数学を展開するのに十分に厳密な枠組を提供し
ている．そのことは，[11] の後半での展開がすでに示唆しているし 5), たとえば Halmos
の教科書 [7] がより明白な形で示していることでもある．
5 $)$ [11] では，関数も特別な集合として扱う，という Dedekind らの議論には決定的に欠けていたアイデ
アが明確に現れている．しかし，順序対の導入がまだできていないために．そこでの関数の扱いは，定義
域と値域が disjoint な場合のみの 1 対 1 関数のみを扱かう，という，非常に不器用な形でしかできていな
い．ただし，そのことを除くと，[11] での議論は．集合論の内部ですべての数学が展開できることを十分
に示唆するものになっていると言えると思う．
つづく
0725現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/05(月) 20:47:43.27ID:DsMvJGENつづき
4 さらに $na$ive でない $(?)$ 集合論にむけて
それではなぜ，さらに ((b) の意味で nalve でない) 公理的集合論を考察するの力$\searrow$ とい
うと，それは現代の視点からは，相対的無矛盾性，や相対的独立性の証明を厳密に行な
うのために，集合論の公理系が first order logic の上にきちんと定式化される必要があ
るからである，と答えることができる．
集合論の公理系が frist order logic 上厳密に定式化されるようになるのは 1920 年代
の終りから 1930 年代にかけて (Zermelo [12], Bernays [1] etc.) だが，この集合論の公理
化の上に述べたような意味が，本当に理解されるようになるには，G\"odel の 1930 年代
末の仕事や，Cohen の 1960 年代の仕事を待たなくてはならなかった．
現代の集合論では，G\"odel や Cohen の連続体仮説の無矛盾性の研究に端を発する内
部モデルや forcing の理論による相対的無矛盾性，独立性の証明，あるいは，もっと集
合論内部での言葉で言えば，集合論のモデルの構成法に関する研究が，大きな中心課題
となっているが，その立場から，$na$ive な集合論とそれ以降の集合論，という線引きを
しなければいけないとすると，それは，この相対的無矛盾性の証明を可能にした集合論
の (厳密な意味での) 公理化を境界とする (b) によるものが自然に思えるし，さらに言
えば，forcing 以前と以降という線引きの方がより適切と言えるかもしれない．この認
識は，集合論の研究を専門としない数学者の平均的なそれとはかなりかけはなれている
かもしれないが．
最近の集合論の研究では，内部モデルや forcing の手法によって得られる様々な集
合論のモデルの出現にともなって，そのようなモデルの総体をさらに大きな 1 つのユニ
ヴァース (set theoretic multiverse) としてとらえる，という見方が自然なものに思える
ようになってきている．これは single unverse versus multiverse という，もっとアクチュ
アルな分岐線の線引きの可能性を示唆しているようにも思える．このような視点に関す
る議論については [3] や [5] を参照されたい．
つづく
0726現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/05(月) 20:47:56.96ID:DsMvJGENつづき
最後に，これは蛇足かもしれないが，集合論での独立性命題についての話を集合論
以外の「一般の」数学者に話したときに帰ってくる反応の 1 つに，『こんな恐$A\circ|$ ととが身
近な数学でも起っているとは $($ !? $)$』，というようなもがある ?数理解析研究所での本
稿と関連した講演で，数学的な独立性命題の例として私の古い結果 [4] の紹介をしたと
きにも，そのような趣旨の質問/ コメントをいただいた．
しかし集合論の研究者にとって，独立性命題は，恐怖を呼びおこす危険などではな
く，むしろ数学的無限の本質の啓示のようなもである．集合論研究は，多くの独立命題
を子細に分析することで，数学的無限の本質へ肉薄してゆくことを目指している．
「ごく日常的な数学的命題も集合論から独立であり得る」という話をするとき，そ
こで伝えたいことは，危険に対する注意のようなものではなく，むしろ，「日常的な数学
の中にも数学的無限の本質の啓示がなされているのだ」 という指摘である．
文献
略
(引用終り)
以上
＞快速で六甲道から、阪急バスなどですかね。
当時のJRは快速すら止まらなかったのでは？猛者は確かに六甲道から歩きますが、私は阪六から歩いていました、バスを使うのは鶴甲や六甲台よりもさらに高地にある教育学部の人ぐらいしかいないかと
＞昔は、途中に神戸外語大がありましたね
途中というか、高羽交差点で進む方向が分かれます、高羽交差点は、六甲山頂から延々と下る坂道の終点で、エンジンブレーキを使わなかったトラック・バス等がよく突っ込んでくるから注意せよ、という都市伝説が当時から流布されていましたね
それはそうと、私の頃には、外大はもう神戸西部に全部移転していました
＞結構山の中腹という感じで眺めがよかったんですよね。数えるほどしか、行ったことないですが
どういうわけだが国家試験、特に「情報処理技術者」「電験三種」その他の試験会場に鶴甲が設定されることが多かったと思いますが、私はわざわざ資格試験の試験会場を関学や市大、府大に指定するくらいに忌避し嫌っていました、だから、鶴甲や六甲台にはもう２０年か３０年ほど近づいていないですね
＞角田先生の講義を取って、その本で勉強されたってことですね（＾＾
私が大学に入った頃、世の中は週休二日制に移行していました、先生の授業は土曜日午前中だから教科書は買ったけれども授業には一回もいかなかった、だって土曜日だったし
したがって先生を見たことはありませんが、先生の教科書は当時の年齢のわりには真剣に読んだと思います
つまり、私が学生だった頃の先生の年齢と今、私自身の年齢が同じくらいになりましたが、そういう今になってよくわかるのです、先生の教科書をしっかり読んだ二十歳やそこらの若造・ボンクラ学生でも教科書を読んだことによる最低限の理解を質問という形で提示さえできれば、その先生にどんな生意気かつ馬鹿で世間知らずなことを言っても、実は大いにウェルカムだっただろうと
今の年齢では何事も即座に答えをくれる人など皆無ですからね‥‥
0728現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/06(火) 07:09:40.02ID:6UKxdzCF自己を過大評価して
周りの人がバカに見えるｗ（＾＾；
https://bizgate.nikkei.co.jp/article/DGXMZO7051546031032021000000?n_cid=TPRN0002
日経BizGateリポート／人材
仕事ができない高学歴社員はなぜ生まれるか
同志社大学政策学部教授 太田 肇
2021/4/5
IT、AIは「能力」の基準を一変させた。写真はイメージ
あなたの周りにこんな若手社員はいないだろうか？
・失敗を認めようとせず、何でも周りのせいにする。
・いつも自分の評価が低すぎると不満を口にする。
・自分にはもっと高度な仕事を任せられるべきだと思っている。
彼らに共通するのは、自己評価と周囲の評価に大きなギャップがあることだ。それが、はた迷惑な態度や行動につながっている。
学歴社会が生んだ「能力」の過大評価
多くはいわゆる一流大学を卒業したり、MBA（経営学修士）の資格を持ったりしている。そのため自分は優秀だと信じ込んでいる。彼らにとって学歴＝能力、偏差値＝「頭のよさ」なのだ。したがって、いくら間違いを周りから指摘されても、仕事ができなくても自分に問題があることを認めようとしない。なかには「頭の悪いやつにはわからない」と吐き捨てる者もいる。
つづく
0729現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/06(火) 07:10:35.92ID:6UKxdzCFつづき
しかし、彼らが責任を周囲のせいにするのは、必ずしも的外れではない。会社や社会が彼らの能力を評価しないのが問題なのではなく、むしろ高く評価しすぎたことが問題なのだ。
周囲も「いくら優秀でも人間性が備わっていないとだめだ」とか、「頭がよいのと仕事ができるのとは違う」というように、彼らの優秀さ、頭のよさを認めた議論をしてしまうことがある。そのような議論を続けている以上、彼らの思い上がりと責任転嫁はなくならない。
大事なのは、そもそも「優秀」や「能力」といったことは何かを真正面から考え直すことである。とくに技術革新などによって人間を取り巻く環境が大きく変化している現在、会社も社会も評価や選別の前提になっている「能力」の基準が変わってきたことを頭に入れておかなければならない。
IT、AIで「能力」の基準が一変
しかしIT化が進み、AI(人工知能)も普及したいま、これらの能力が決定的に重要だとはいえなくなっている。つまり受験で問われる能力の大部分がAIなどに取って代わられつつあるのだ。極端な話、大学入試問題の大半はAIを使えば瞬時に解ける。なお読解などAIが苦手とする問題も、単に人間用の問題をAIが解けないだけであって、人間が介在しない世界では読解力も必要としないだろう。
逆にAIがなかなか代替できないのは、勘やひらめき、感性、想像力、空気を読む力といった人間特有の「つかみどころがない能力」である。そして、これらの能力は学歴や偏差値とほとんど関係がない。また、これらの能力の発揮は状況依存的、すなわち本人が置かれた状況や実際の場面に応じて発揮される性質のものである。したがって企業が採用試験などを工夫し、人物をふるいにかけようとしても限界がある。
要は、実際に仕事をさせてみないと「優秀」かどうかわからないのである。
(引用終り)
以上
0730１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 07:31:50.49ID:p8naLhpA>要は、実際に仕事をさせてみないと「優秀」かどうかわからないのである。
長文を書いて、当然のことを述べて締めくくるのも面白いな。
最後の一つの文で十分。
0731現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/06(火) 07:48:53.65ID:6UKxdzCFC++さん、どうも
レスありがとう
>私は阪六から歩いていました
まるほど、そうすると、山陽電車で高速神戸乗り換えで、阪急ですね
>私の頃には、外大はもう神戸西部に全部移転していました
ああ、そういえば、外大の後に親和女子（中高）が入ったんでしたね
（噂で聞きました）
外大は、いま地下鉄の学園都市ですね（あそこら（西神）は地下鉄ではないのですがｗ）
>鶴甲や六甲台にはもう２０年か３０年ほど近づいていないですね
いま、ネット地図を見ていますが、六甲ケーブル下駅がありますね
鶴甲の団地の中を、六甲ケーブル下駅まで歩いた記憶がよみがえってきましたが
はて、あれは何のときだったのかな（＾＾；
>最低限の理解を質問という形で提示さえできれば、その先生にどんな生意気かつ馬鹿で世間知らずなことを言っても、実は大いにウェルカムだっただろうと
そうですね
”質問”が、授業を受ける最大の特権であり、メリットですね
”質問”のために、少しは考えますし、”質問”−回答という問答形式が、記憶に残るといいます
それが分かったのは、大学卒業のころだったかも
それからは、出来るだけ質問をするように、心がけました
0732現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/06(火) 07:53:15.84ID:6UKxdzCFどうも、レスありがとう
>長文を書いて、当然のことを述べて締めくくるのも面白いな。
>最後の一つの文で十分。
重箱の隅で恐縮だが
あの文は、リンクをたどってもらうと分かるが
全体で2ページあって
1ページ目の最後にすぎないのです
結論は、次の2ページ目です
良かったら読んであげてください（＾＾
0733１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 08:21:10.78ID:p8naLhpAこれ、文系の教授が書いた文章にしては、文章の書き方や構造がおかしい。次のように書いた方がいい。
仕事ができない高学歴社員はなぜ生まれるか
あなたの周りにこんな若手社員はいないだろうか？
・失敗を認めようとせず、何でも周りのせいにする。
・いつも自分の評価が低すぎると不満を口にする。
・自分にはもっと高度な仕事を任せられるべきだと思っている。
彼らに共通するのは、自己評価と周囲の評価に大きなギャップがあることだ。それが、はた迷惑な態度や行動につながっている。
0734１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 08:24:48.86ID:p8naLhpA多くはいわゆる一流大学を卒業したり、MBA（経営学修士）の資格を持ったりしている。そのため自分は優秀だと信じ込んでいる。
彼らにとって学歴＝能力、偏差値＝「頭のよさ」なのだ。したがって、いくら間違いを周りから指摘されても、
仕事ができなくても自分に問題があることを認めようとしない。なかには「頭の悪いやつにはわからない」と吐き捨てる者もいる。
しかし、彼らが責任を周囲のせいにするのは、必ずしも的外れではない。
会社や社会が彼らの能力を評価しないのが問題なのではなく、むしろ高く評価しすぎたことが問題なのだ。
周囲も「いくら優秀でも人間性が備わっていないとだめだ」とか、「頭がよいのと仕事ができるのとは違う」というように、
彼らの優秀さ、頭のよさを認めた議論をしてしまうことがある。そのような議論を続けている以上、彼らの思い上がりと責任転嫁はなくならない。
大事なのは、そもそも「優秀」や「能力」といったことは何かを真正面から考え直すことである。
とくに技術革新などによって人間を取り巻く環境が大きく変化している現在、
会社も社会も評価や選別の前提になっている「能力」の基準が変わってきたことを頭に入れておかなければならない。
たしかに工業社会、キャッチアップの時代には記憶力や理解力に優れ、豊かな知識を応用して問題を解決する能力が重宝された。
また語学力や計算力なども重要だった。受験秀才＝優秀と考えても、あながち間違いではなかったわけである。
0735１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 08:26:06.75ID:p8naLhpAしかしIT化が進み、AI(人工知能)も普及したいま、これらの能力が決定的に重要だとはいえなくなっている。
つまり受験で問われる能力の大部分がAIなどに取って代わられつつあるのだ。極端な話、大学入試問題の大半はAIを使えば瞬時に解ける。
なお読解などAIが苦手とする問題も、単に人間用の問題をAIが解けないだけであって、人間が介在しない世界では読解力も必要としないだろう。
逆にAIがなかなか代替できないのは、勘やひらめき、感性、想像力、空気を読む力といった人間特有の「つかみどころがない能力」である。
そして、これらの能力は学歴や偏差値とほとんど関係がない。また、これらの能力の発揮は状況依存的、
すなわち本人が置かれた状況や実際の場面に応じて発揮される性質のものである。
したがって企業が採用試験などを工夫し、人物をふるいにかけようとしても限界がある。
0736１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 08:28:30.59ID:p8naLhpA責任転嫁できない環境をつくること
その点、欧米では半年から1年といった長期のインターンシップで能力と適性を見定めて採用するし、採用後は個々人に権限と責任を与え仕事を任せる。
したがって、少なくとも自分にどれくらい仕事の能力があるかを知ることができる。
いっぽう日本では学歴(学校歴)中心で、あとは簡単な適性検査と面接くらいで採用するケースが多い。
最近はインターンシップを取り入れる企業も増えてきたが、それでも期間は数日からせいぜい1カ月程度である。
そのため仕事に必要な能力や適性はほとんどチェックされていないといってよい。
それでは自信過剰型の社員が現れるのは当然である。
問題は、彼らにほんとうの実力をどうやって自覚させるかである。
対策として、まず仕事を思い切って任せてみること。そして顧客や市場の中に出すことである。
上司や社内の評価には文句を言えても、顧客や市場の評価は受け入れざるを得ない。
つまり、責任転嫁ができない環境をつくり、自分の実力を冷静に見つめさせる必要がある。
ただ、それでも自分の「優秀さ」「頭のよさ」を疑わないかもしれないし、逆にリアリティー・ショック（理想と現実のギャップ）で挫折する恐れもある。
そこで問われるのが、無条件に彼らを優秀だと信じ込ませてきた学歴社会と、彼らをエリートとして迎え入れた会社の責任である。
いずれにしても自分の実力を過大評価させてきた以上、彼らをいかにフォローするか、難しい課題が残る。
0737１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 08:30:35.94ID:p8naLhpA要は、実際に仕事をさせてみないと「優秀」かどうかわからないのである。
0738１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 10:43:56.86ID:feMEa1Gw>おサルさんって、こんな人？
>自己を過大評価して
>周りの人がバカに見えるｗ（＾＾；
おまえ自分がバカって自覚無いだろ？
平気で放言吐き放題はバカの証拠だぞ？ バカに見えるじゃなくバカｗ
0739１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 12:06:24.52ID:feMEa1Gw【放言】
《名・ス他》好き勝手に言い放つこと。不用意に、無責任に言い放った言葉。
0740１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 13:36:04.89ID:u8DmL7Liスレ主です
レスありがとう（＾＾
0741１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 13:36:43.17ID:u8DmL7Lihttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
ゲーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、英: Gödel's incompleteness theorems、独: Gödelscher Unvollständigkeitssatz）または不完全性定理とは、数学基礎論の重要な定理[1]（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、計算機科学〔コンピュータ科学〕と密接に関連している[2]）。クルト・ゲーデルが1930年にある特定の理論について証明した定理であり[3]、有限の立場（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す[2][4]。なお、少し拡張された有限の立場では、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（ゲンツェンの無矛盾性証明）[2]。
計算機科学者（コンピュータ科学者）・論理学者のトルケル・フランセーン[5]および数学者・論理学者の田中一之[5]によると、不完全性定理が示したものは数学用語の意味での「特定の形式体系Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」とは無関係である[6]。すなわち不完全性定理以降の時代にも、数学上の意味で「完全」な理論は存在し続けているが[6]、“不完全性定理は数学や理論の「不完全性」を証明した”というような誤解が一般社会・哲学・宗教・神学等によって広まり、誤用されている[7]。
「不完全性定理が成立しない体系」および「ゲーデルの完全性定理」も参照
つづく
0742１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 13:37:22.84ID:u8DmL7Liつづき
数学の「無矛盾性」を証明することを目指したヒルベルト・プログラムに関して「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の哲学的発言はよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる、とフランセーン達は解説している[8]。正確には、ゲーデルはヒルベルトと同様の見解を持っており、彼が不完全性定理を証明して示したのは、ヒルベルトの目的（「無矛盾性証明」）を実現するためには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということだった[8]。日本数学会が言うには「彼〔ゲーデル〕の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく，実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている」[4]。
「不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展」も参照
決定不能命題の例
数学と計算機科学（コンピュータ科学）において、「決定不能」という言葉には二つの異なった意味がある。一つ目は証明論の文脈でゲーデルの定理に関連して使われる意味であり、特定の形式的体系の下で或る命題を証明も反証もできないことを言う。二つ目は（本項では詳述しないが）計算可能性理論に関連した用法であり、命題ではなく決定問題に適用される。決定問題とは入力に対して答が真か偽のいずれかになるような問題である。ある問題を全ての入力に対して正しく解答するようなアルゴリズムが存在しないとき（すなわち特性関数が計算可能関数でないとき）、そうした問題は決定不能であると言う。
つづく
0743１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 13:37:52.84ID:u8DmL7Li以下、本節では一つ目の意味で「決定不能」と書く。特定の形式的体系の下である命題が決定不能であることは、その命題の真理値がwell-definedであるかどうかや他の手段で決定可能かどうかについては明らかにしない。決定不能ということが意味するのは、あくまで使用されている特定の形式的体系の下ではその命題の真偽をいずれも証明できないということにすぎない。真理値を決して知ることができないか、または真理値の定義自体が無効となるような、いわゆる「絶対的決定不能」命題が存在するのかどうかは数理哲学における論争の的となっている。
ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。
マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題の解決により、決定不能な命題の例が得られる。そのような例はディオファントス方程式の外側に存在量化子を幾つか並べた形として得られる。すなわち不完全性定理の前提条件を満たす形式的体系において、解の存在が証明も反証もできないようなディオファントス方程式が存在する。
1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題（英語版）が標準的な集合論では決定不能であることが示された。
つづく
0744１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 13:38:25.94ID:u8DmL7Liつづき
1977年、パリスとハーリントンは、ラムゼーの定理の一種であるパリス＝ハーリントンの定理が、一階算術の公理体系であるペアノ算術の下では決定不能だが、より大きな二階算術の体系では証明できることを証明した。カービーとパリスは後にグッドスタインの定理（自然数の数列に関する命題であり、パリス・ハーリントンの原理よりもいくらか易しい）がペアノ算術では決定不能であることを示した。
計算機科学で応用される Kruskal の木定理（英語版）はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。実際、Kruskalの木定理（またはその有限版）は、可述主義（英語版）[注 4]と呼ばれる数学的哲学に基づいて構築されたもっと強い体系の下でも決定不能である。これに関連し、更に一般的な graph minors 定理（英語版）（2003年）は計算複雑性理論に影響する。
グレゴリー・チャイティンはアルゴリズム情報理論における決定不能命題を発見し、その状況下で新たな不完全性定理を得た。チャイティンの定理によると、十分な算術を表現可能ないかなる理論においても、どのような数であっても {\displaystyle c}c よりも大きなコルモゴロフ複雑性を有することがその理論上では証明できないような、上限 {\displaystyle c}c が存在する。ゲーデルの定理が嘘つきのパラドックスと関係しているのに対し、チャイティンの結果はベリーのパラドックスに関係している。
つづく
0745１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 13:39:09.16ID:u8DmL7Liつづき
不完全性定理が成立しない体系
不完全性定理は「『自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾（ω無矛盾）であれば』〜」という形の定理である。したがって、自然数論を含まない公理系や、帰納的公理化可能でない理論が完全であっても、不完全性定理とは矛盾しない。
真の算術やペアノ算術の無矛盾完全拡大などは無矛盾かつ完全であるが、帰納的公理化可能でない。とくに真の算術は算術的に定義不能である。この結果はタルスキの真理定義不可能性として知られる。
また、実閉体の理論やユークリッド幾何学も帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全であり、（直観に反して）算術を含まないため、不完全性定理は適用できない。したがって実閉体の理論は（計算可能性の意味で）決定可能である。もっと精密にいうと実閉体の理論では量化記号消去が可能である。この事実は数式処理系の実装などに応用されている。
なお、群や環の公理などは、「自然数論を含まない帰納的公理化可能かつ無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である。例えば、可換群と非可換群がともに存在することから、健全性定理より、群の公理からは積の可換性は証明も反証もできない。
つづく
0746１３２人目の素数さん
2021/04/06(火) 13:39:47.03ID:u8DmL7Liつづき
不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展
「無矛盾性」、「ヒルベルト・プログラム」、および「数学基礎論」も参照
実際ゲーデル自身は以下のような、「ノン・イグノラビムス」的なヒルベルト流の見解を持っていた[13]。
「あらゆる算術の問題をその中で解決する単一の形式体系を定めることは不可能であっても、
新しい公理や推論規則による数学の拡張が限りなく続いていくなかで、どんな算術の問題もいずれどこかで決定されるという可能性は排除されていない。」[13]
こうした見解に基づき、ゲーデルは現代数学を拡張する手段として「巨大基数公理」を提案した[14]。哲学等において「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の発言がよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる[8]。正確に言えば、ヒルベルトの目的（数学の「無矛盾性証明」）を実現するには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということをゲーデルが不完全性定理を通して示したのだった[8]。
(引用終り)
以上
その文章には重大な欠陥がありますね
つまり「AI」というバズワードを使っていること
AI に英語→日本語の翻訳をさせてみればわかりますが、残念ながら今の AI の翻訳文は「日本語として許容できないほどの」訳文しか出力できない
最近は、少しはましになったと認めてあげます（https://www.deepl.com/translator は割と優秀ですね）が、それでも「日本語として許容できない」という点は譲れませんね
そんな、どうしようもない訳文しか提示できない AI とやらを持ち上げる文章を書いたり引用したりする時点で、その文章を書いたり引用したりする人間の馬鹿さの度合いがよくわかります
私が学生だったころ、徹夜をして提出した和訳や英作文が、3時間も経たないうちに真っ赤に添削されて返って来て呆然とした記憶があります
評文の末尾には 「こんな訳文で、それでも日本語を書いているつもりですか？」
＞それが分かったのは、大学卒業のころだったかも
その年齢でそう理解できるとは、私よりも聡明な方ですね
私がそれを理解したのは中退から20年後でした‥‥
0749現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/06(火) 21:24:52.42ID:6UKxdzCFC++さん、どうも
スレ主です
>AI に英語→日本語の翻訳をさせてみればわかりますが、残念ながら今の AI の翻訳文は「日本語として許容できないほどの」訳文しか出力できない
バカとハサミはなんとやら
適材適所ともいいます
英語→日本語は、難しいとしても
独語→英語とか
仏語→英語とか
これは、かなり行けるかもしれませんよ
というか、仏語の数学文献を読むときに
ネットの翻訳にはお世話になりました
仏語→日本語は、意味不明でしたが
仏語→英語は、結構意味が分かりましたよ
>私が学生だったころ、徹夜をして提出した和訳や英作文が、3時間も経たないうちに真っ赤に添削されて返って来て呆然とした記憶があります
>評文の末尾には 「こんな訳文で、それでも日本語を書いているつもりですか？」
大学受験用の英文和訳と、大学教養の英文和訳の違いでしょうかね
というか、大学受験用の英語長文問題では、訳していると時間が足りなくなる可能性があります
英語長文をできるだけ訳さずに、理解できるのが理想などと言われました
私らの時代は、入試の出題傾向が、英語長文問題を出すトレンドになりつつありました
大学教養の英文和訳では、和文の教養も問われるのでしょうか？（＾＾
確かに、和文の”教養”をAIに求めるのは無理かも（＾＾；
戻ると、ネット上の仏語の数学文献、私は仏語はさっぱりですから
仏語→英語でも、ありがたいのです
AIも、バカとハサミはなんとやらでは、ないでしょうか？
>>748
>私がそれを理解したのは中退から20年後でした‥‥
ああ、そうでしたか
まあ、これ読んでいる学生、院生の人が居れば、
出来るだけ質問の機会を逃さないようにしましょう！
学費のもとをとるつもりで（＾＾
0750現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/06(火) 23:10:46.81ID:6UKxdzCF>私がそれを理解したのは中退から20年後でした‥‥
おっと、「中退」か
いろいろあったんですね
入学したときは、「神戸大」と言えば、”良いところに入りましたね”と言われたでしょうけど
「中退」となると、”なにがあったのですか？”って、言われそうですね（詮索するつもりではありませんのであしからず）
余談ですが、加古川だと
加古川東か
白陵か淳心か
ですかね
「神戸大」と言われて浮かぶのは（＾＾
0751現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/07(水) 07:35:17.82ID:bovtDnKI>しかし集合論の研究者にとって，独立性命題は，恐怖を呼びおこす危険などではな
>く，むしろ数学的無限の本質の啓示のようなもである．
ご参考（英語版の方が充実しています）
https://ja.wikipedia.org/wiki/ZFC%E3%81%8B%E3%82%89%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E3%81%AA%E5%91%BD%E9%A1%8C%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
ZFCから独立な命題の一覧
本項では、ZFC集合論において決定不能であることが証明されている命題の一覧を掲げる。それらの命題は（ZFCが無矛盾であれば）ZFCの公理からは証明することも反証することもできない。以下では「ZFCが無矛盾であれば」などの但し書きは割愛する。
目次
1 公理的集合論の命題
1.1 一般の例
1.2 巨大基数公理
2 その他の分野の命題
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_statements_independent_of_ZFC
List of statements independent of ZFC
The mathematical statements discussed below are provably independent of ZFC (the canonical axiomatic set theory of contemporary mathematics, consisting of the Zermelo?Fraenkel axioms plus the axiom of choice), assuming that ZFC is consistent. A statement is independent of ZFC (sometimes phrased "undecidable in ZFC") if it can neither be proven nor disproven from the axioms of ZFC.
Contents
1 Axiomatic set theory
2 Set theory of the real line
3 Order theory
4 Abstract algebra
5 Number theory
6 Measure theory
7 Topology
8 Functional analysis
9 Model theory
10 Computability theory
0752現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/07(水) 07:53:22.55ID:bovtDnKI>[素朴集合論は (ラッセルのパラドックスなどにより) 矛盾している」
>あるいはこれに類した表明が屡々なされ，このような主張がインターネット上で広く流
19世紀末期から20世紀初頭に意識された数学のパラドックス
自己言及のパラドックスがあります
そこから、高階述語論理を避けて、一階述語論理に限定したら”よかんべ”となりました（＾＾
だから、素朴集合論でも、自己言及を避けて、一階述語論理に限定したら問題は起こらないと思います
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E8%A8%80%E5%8F%8A%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
自己言及のパラドックス
自己言及のパラドックス（じこげんきゅうのパラドックス）または嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる（パラドックス参照）。
「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。 その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。
つづく
0753現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/07(水) 07:53:54.29ID:bovtDnKIつづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
高階述語論理（こうかいじゅつごろんり、英: Higher-order logic）は、一階述語論理と様々な意味で対比される用語である。
例えば、その違いは量化される変項の種類にも現われている。一階述語論理では、大まかに言えば述語に対する量化ができない。述語を量化できる論理体系については二階述語論理に詳しい。
その他の違いとして、基盤となる型理論で許されている型構築の違いがある。高階述語（higher-order predicate）とは、引数として1つ以上の別の述語をとることができる述語である。
高階述語論理は表現能力が高いが、その特性、特にモデル理論に関わる部分では、多くの応用について性格が良いとは言えない。クルト・ゲーデルの業績により、古典的高階述語論理は（帰納的に公理化された）健全で完全な証明計算が認められないとされた。しかし、Henkin model によれば、健全で完全な証明計算は存在する。
高階述語論理の例として、アロンゾ・チャーチの Simple Theory of Types や Calculus of Constructions (CoC) がある。
https://nipponkaigi.net/wiki/Higher-order_logic
高階述語論理 - Higher-order logicWikipedia site:nipponkaigi.net
つづく
0754現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/07(水) 07:54:14.10ID:bovtDnKIつづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階述語論理もさらに高階述語論理や型理論に拡張される。
一階述語論理と同様に議論領域（ドメイン）の考え方を使う。ドメインとは、量化可能な個々の元の集合である。一階述語論理では、そのドメインの個々の元が変項の値となり、量化される。
最も一般化された二階述語論理は関数の量化をする変項も含んでいる（詳しくは後述）。
二階論理の表現能力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い。例えば、ドメインが全ての実数の集合としたとき、一階述語論理を使ってそれぞれの実数には加法の逆元が存在するということを ∀x ∃y (x + y = 0) と表せる。しかし、空でなく上に有界な実数の集合があるとき常にその集合には上限が存在するという命題を表すには、二階述語論理が必要となる。
https://www.wikiwand.com/ja/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
一階述語論理
一階述語論理（いっかいじゅつごろんりfirst-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理（にかいじゅつごろんり、second-order predicate logic）と呼ぶ。
(引用終り)
以上
0755１３２人目の素数さん
2021/04/07(水) 11:53:01.55ID:y2uC9/5f＞自己言及のパラドックスがあります
自己言及は、プログラミングの再帰的関数のようなもの
で、普通の再帰は、無問題（プログラミングでは常用される）
ですが、否定の自己言及は、しばしばパラドックスを引き起こす
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E8%A8%80%E5%8F%8A
自己言及（じこげんきゅう）とは、自然言語や形式言語で文や式がそれ自身に言及することである。
自己言及は再帰や数学の漸化式にも見られる。
言及は直接行われることもあるし、何らかの中間の文や式を通して行われることもあり、意味論的符号化によって表現されることもある。哲学では、主体が自身について言及できる能力、すなわち一人称代名詞を主語として意見を表明できる能力を指す。自己言及は、自己反射性および統覚と関係が深い。
自己言及は数学、哲学、コンピュータ・プログラミング、言語学などで研究・応用されている。その場合自己参照とも呼ぶ。自己言及文は逆説的振る舞いを示すことがある（自己言及のパラドックス）。
自己言及文
メタ言語における文の内容と対象言語における文の内容が同一であるようなメタな文の特殊例がある。そのような文は自己言及文になっている。しかしそのようなメタな文はパラドックスを引き起こすこともある。「これは文である」は自己言及的なメタな文で、明らかに真である。
しかし、「この文は偽である」というメタな文は自己言及のパラドックスを引き起こす。
「『は、自身の引用を前置されると偽になる』は、自身の引用を前置されると偽になる」（クワインのパラドックス）は、クワインによる間接的自己言及文であり、嘘つきのパラドックスの一種である。
ラッセルのパラドックス: 「自身を元として含まないあらゆる集合の集合」は矛盾する。
つづく
0756１３２人目の素数さん
2021/04/07(水) 11:53:44.83ID:y2uC9/5fつづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
講義ノート
照井一成. “再帰的関数論（2005年度、慶應義塾大学文学部） (PDF)”. 京都大学数理解析研究所. 2018年12月24日閲覧。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/indexj.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/img/groupApr2009.jpg
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_terui.pdf
再帰的関数論
照井一成
京都大学数理解析研究所
2 簡単な集合論の準備
集合論においてもっとも基本的なのは「対象 a が集合 A の要素である」という関係であ
り、このことを
a ∈ A
というように記す。「a は A の元である」、「a は A に属する」というような言い方もする。
(引用終り)
以上
0757１３２人目の素数さん
2021/04/07(水) 11:57:44.81ID:y2uC9/5f追加（旧ガロアすれでも紹介しましたが）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
自己言及の論理と計算*
長谷川真人
自分自身について述べることの難しさと面白さは，日常誰でも経験すること
だと思います．以下では，数理論理学と計算機科学の密接な関係を示す好例とし
て，自己言及から生じる様々なパラドックスなどの数理論理学における問題，ま
た自分自身を呼び出すような再帰的なプログラムやデータ構造に関する問題など
について，統一的な視点から考察します．また，後半では，自己言及現象の自明
でないモデルの例を，実際に構成します．
*京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座（2002 年 8 月 5〜8 日）の予稿を改訂（2006 年 5 月
／ 2007 年 8 月／ 2011 年 6 月）
目次
I 自己言及と対角線論法 2
1 ラッセルの逆理 2
2 カントールの対角線論法 2
3 自己適用 3
4 停止性問題 5
5 対角線論法から不動点へ 7
6 不動点定理から具体例を見直す 8
II 矛盾したものを構成する 11
1 完備半順序集合と連続関数 11
2 最小不動点の発想 12
3 最初の試み 13
4 埋め込みと射影 14
5 なぜ失敗したか 15
6 正しい解の構成 — 逆極限法 16
0758ID:1lEWVa2s
2021/04/07(水) 14:58:38.74ID:FagtXkvw0759ID:1lEWVa2s
2021/04/07(水) 15:07:56.33ID:FagtXkvw0760ID:1lEWVa2s
2021/04/07(水) 15:08:49.93ID:FagtXkvw0761ID:1lEWVa2s
2021/04/07(水) 15:09:19.85ID:FagtXkvw0762ID:1lEWVa2s
2021/04/07(水) 17:04:23.31ID:YRbYsS280763ID:1lEWVa2s
2021/04/07(水) 17:07:00.85ID:YRbYsS28被爆したお魚さん🤐我慢して食べればいいんじゃないの。
0764１３２人目の素数さん
2021/04/07(水) 17:27:03.11ID:y2uC9/5fどうも、スレ主です
お元気そうで何よりです（＾＾
0765１３２人目の素数さん
2021/04/07(水) 17:35:39.55ID:y2uC9/5f(引用開始)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_terui.pdf
再帰的関数論
照井一成
京都大学数理解析研究所
2 簡単な集合論の準備
集合論においてもっとも基本的なのは「対象 a が集合 A の要素である」という関係であ
り、このことを
a ∈ A
というように記す。「a は A の元である」、「a は A に属する」というような言い方もする。
(引用終り)
この”簡単な集合論の準備”
「a ∈ A」、「a は A に属する」
から始めるのが、普通です
空集合φ＝{}から始める人は、基礎論ZFC以外では少ない
空集合φ＝{}から始めても、話が迂遠になるだけですからねｗ（＾＾；
0766１３２人目の素数さん
2021/04/07(水) 20:42:49.43ID:CF82jRWJ>空集合φ＝{}から始めても、話が迂遠になるだけですからねｗ（＾＾；
いみふ
バカは喋らない方がいい
0767現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/07(水) 20:50:27.28ID:bovtDnKI（>>707より再録/>>590より 引用開始)
公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します。
どうです？数は集合でしょ？ちょっとは分かりました？
(引用終り)
これ、結論を
「公理的集合論では、数は集合です」と書き直してみよう
そうすると
「公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します。
公理的集合論では、数は集合です」
となる
この文、おかしいよね
１）「公理的集合論では、数は集合です」で、この”数”って「0」のこと？ それとも「0」以外も含めた数のことかい？
２）”「0」以外も含める”意味なら、説明不足でしょ。そう説明しないといけない
３）この”数”が「0」のことだとしても、「0を{}と定義すれば・・・」が余計な陳述だ
∵ 0を{}と定義する必要はないから（別の集合として「0」を定義しても良い）
４）そもそも、前段不要だよね！ｗ
「公理的集合論では、数は集合です」を言いたいなら。結論だけを、スパッと言えば良いのです
こんな小学生みたいな文書いちゃってさ（＾＾
地頭悪いことを、自慢しなくても良さそうなものだよねｗ（＾＾；
0768１３２人目の素数さん
2021/04/07(水) 22:24:57.60ID:CF82jRWJいやその文おまえが勝手に改変したおまえの文だからw
自分の文がおかしいってw
おかしいのはおまえの頭w
0769１３２人目の素数さん
2021/04/07(水) 22:25:30.10ID:CF82jRWJいやその文おまえが勝手に改変したおまえの文だからw
自分の文がおかしいってw
おかしいのはおまえの頭w
0770１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 00:21:21.51ID:cILqKdwF>「公理的集合論では、数は集合です」と書き直してみよう
大間違い
数の定義は公理的集合論の外
知らんなら黙ってれば？
0771１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 01:18:15.18ID:yRdgjSLP0772１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 10:57:08.83ID:PIfweOM8>>767
ふふふ（＾＾
（>>707より再録/>>590より 引用開始)
公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します。
どうです？数は集合でしょ？
(引用終り)
・これを前段と後段に分ける
後段「数は集合でしょ？」が舌足らず
・「公理的集合論では、数は集合です」の意図らしいが、これでもまだ舌足らず
「公理的集合論ZFCでは、数は集合です」くらいは書かないとね
・さて、前段「公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します」
が説明の節でしょうね
・数学で言えば、後段「公理的集合論ZFCでは、数は集合です」が（定理の）命題で
前段が証明に当たるところ、前段と後段にギャップありまくりｗｗ
・前段から後段（結論節）は、全く導けない、ロジック破綻
例えば、前段「公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します」
であるが、”数”という用語が出てこない（ギャップ大です）
後段の”数”が曖昧なまま、「数は集合でしょ？」と結論付けているのもヘン
・「それでも日本語を書いているつもりですか？」（>>747 C++語録より）、これが完全に当てはまる文書いてさ
高等数学がやれる地頭じゃないわな、あんた
・貴方は。これを逐一解説しないと、自分がいかにダメダメな文を書いたのか
それが分からないようじゃね（＾＾；
0773１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 11:01:36.40ID:PIfweOM821世紀のトレンドは、二階あるいは高階述語論理でしょう
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
目次
1 二階論理の表現能力
2 文法
3 意味論
4 推論体系
5 二階論理とメタ論理学の成果
6 歴史と論争
7 計算複雑性理論への応用
二階論理とメタ論理学の成果
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
（健全性）証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。
（完全性）standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。
（実効性）与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは二階述語論理は「論理」ではないと考える理由としてこれを挙げている[5]。
上述のように Henkin は Henkin semantics を使えば二階述語論理に一階述語論理の標準的な健全で完全で実効的な推論体系を適用できることを証明した。
歴史と論争
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。Boolos はさらに一階述語論理では記述できない文を例に挙げ、完全な二階述語論理の量化でのみそれらを表現可能であるとした。しかし、その一部は二階述語論理を持ち出すまでもなく、一階述語論理に若干の拡張を加えるだけで表現可能である。
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している。記述計算量の研究では、複雑性クラスを説明するのにそれに属する言語を表現できる論理体系の能力で表す。そのため、二階述語論理を前提として次のような複雑性クラスを説明できる。
NP は、存在量化二階述語論理で表現できる言語の集合である（Fagin の定理、1974年）。
co-NP は、全称量化二階述語論理で表現できる言語の集合である。
つづく
0774１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 11:02:49.81ID:PIfweOM8つづき
https://nipponkaigi.net/wiki/Second-order_logic
二次論理 - Scaptius chrysoperaWikipedia site:nipponkaigi.net
https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic
Second-order logic
Contents
1 Examples
2 Syntax and fragments
3 Semantics
4 Expressive power
5 Deductive systems
6 Non-reducibility to first-order logic
7 Metalogical results
8 History and disputed value
Expressive power
This formula is a direct formalization of "every nonempty, bounded set A has a least upper bound." It can be shown that any ordered field that satisfies this property is isomorphic to the real number field. On the other hand, the set of first-order sentences valid in the reals has arbitrarily large models due to the compactness theorem. Thus the least-upper-bound property cannot be expressed by any set of sentences in first-order logic.
(引用終り)
以上
0775１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 11:20:46.47ID:PIfweOM8（参考）
https://www.practmath.com/predicate-logic/
実用的な数学を
2019年3月24日 投稿者: TAKAN
述語論理 Predicate Logic
目次
・数学の言語
一階述語論理「数学の基礎知識」
二階述語論理「一階述語論理より幅広い表現ができるやつ」
高階述語論理「表現の幅が更に拡張されたやつ」
一階述語論理 First-Order (PL)
|| 数学の基礎そのものと言って良いレベルのもの
「個体（変数）」の「量化」だけ許してる、
「命題論理」を拡張した述語論理のことです。
なんでこれがメインかというと、
これだけ「完全性」と「健全性」が証明されてるからです。
二階述語論理 Second-Order (PL)
「個体（変数）」だけじゃなく「関数」と「述語」もOKなやつ。
一階述語論理を拡張したものです。
割と実用的ではあります。
推論は妥当（正→正）なもので、健全性は確かです。
なので、これをベースに推論を行っても基本的には大丈夫です。
ただ、完全性は今のところ保証されていません。
実効性の面で、今後も保証されない可能性が高いです。
なので、なんで正しいのかを「証明」することはできません。
ここで「実効性」（決定可能性）というやつが出てきました。
これについては、詳しくは「再帰理論」でやります。
ざっと言うと「正しいのか確実に確認できる」みたいな性質です。
(引用終り)
以上
0776１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 11:48:34.48ID:cILqKdwF>「公理的集合論では、数は集合です」の意図らしいが、これでもまだ舌足らず
だから間違いだと言ってるだろｗ
>「公理的集合論ZFCでは、数は集合です」くらいは書かないとね
だから間違いだと言ってるだろｗ
なんでおまえは教えてやってすら学習しないのかｗ
0777１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 11:50:02.98ID:cILqKdwF公理的集合論には数なんてものは無いｗ
と言ってるのに学習しないｗ だから一生バカのままなんだよｗ
0778１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 12:33:20.05ID:t7D8tFjf>例えば、前段「公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します」
であるが、”数”という用語が出てこない（ギャップ大です）
0は数じゃないと言いたいのか？
> 後段の”数”が曖昧なまま、「数は集合でしょ？」と結論付けているのもヘン
例示だから全然へんじゃない
例示と読み取れないおまえの頭がへんなだけ
0779ID:1lEWVa2s
2021/04/08(木) 15:58:12.66ID:Io54SrMWお魚さんはキャバ嬢じゃないけど
港が好きなんだけどその代わり港をもっとすみごこちよく整備してくれたら釣られて食べられてもいいんらしいチャネリング。
0780ID:1lEWVa2s
2021/04/08(木) 16:02:22.48ID:Io54SrMW竹中工務店に港のお魚さんのすみかを無慈悲の愛で(対価を求めない事)国庫支出金使って整備してくれたら。
0781ID:1lEWVa2s
2021/04/08(木) 16:06:50.27ID:Io54SrMW0782ID:1lEWVa2s
2021/04/08(木) 16:29:08.38ID:Io54SrMWべすとを尽くしたと思うよ。
0783ID:1lEWVa2s
2021/04/08(木) 16:30:55.74ID:Io54SrMWまかせる。
0784１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 16:53:59.67ID:t7D8tFjfそういう意味では、安達は1、√2、1/7と聞いてきてぞ？0が例示であることをちゃんと認識出来ている。
あの安達ですら誰かさんよりは賢いかもねw
0785１３２人目の素数さん
2021/04/08(木) 17:08:11.78ID:t7D8tFjf他の例を聞いてくる。
それに答える。
・・・と、アホな奴だが一応会話として成り立っている。
それに比べおまえは例示であることすら認識出来ずトンチンカンな屁理屈並べるだけで、会話が成り立ってない。
おまえはまず安達を目標とせよ
0786現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/09(金) 07:54:30.85ID:LprPzoXb（>>707より再録/>>590より 引用開始)
公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します。
どうです？数は集合でしょ？
(引用終り)
1．数学は、一般に命題と証明から成り立っている
2．命題の定立は、数学では非常に大事です。証明がまだ無いときは、「○○予想」と言われたりします
3．上記では、「数は集合」というのが（結論）命題でしょうね
4．ところが、一般には、「数は集合」ではありません。∵古代エジプト時代から数はあり、数学的な集合概念は無かった
5．「公理的集合論ZFCでは、数は集合」としてみましょう。これは正しい命題です
6．でｂｷが、こうするｂﾆ、前段の
「公理的集合論では{}は存在します。0を{}と定義すれば0は存在します。」とはアンマッチです
これが、証明に当たるところですが、
「公理的集合論ZFCでは、数は集合」を導けていません！！（＾＾
7．全然ダメダメの文を書いていますね
これじゃ、高等数学のできる地頭じゃないのでは、あなた？（＾＾；
0787１３２人目の素数さん
2021/04/09(金) 09:03:04.34ID:fUcVKxNVまずはアホの安達レベルを目指しましょう
0788ID:1lEWVa2s
2021/04/09(金) 19:54:07.78ID:RnkccE2/0789現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/12(月) 08:08:13.00ID:e7FQ3ldhC++さんのために
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2050-09.pdf
数理解析研究所講究録
第2050巻 2017年 100-122
Barwise のモデル論的意味論の周辺と抽象設計学
Relating the abstract design theory to Barwise?\mathrm{s} model
theoretic semantics
慶磨義塾大学名誉教授向井国昭
要旨
角田譲追悼研究集会*1 における同タイ トルの口頭発表の内容を記録補足する.抽象モデル
理論としてのチャンネル理論を振り返り,角田が提唱した抽象設計論を契機とするチャンネル
理論の新たな可能性を考察する.付録として,チャンネル理論と トポスに関連する命題を追加
した: 分類と情報射全体の成す圏留の部分圏として,自然なタイプ演算を持つ分類とその間の
情報射全体のなす elementary トポス 9を構成し,さらに9から 曽への忘却関手が左随伴
関手を持つことを示す.
1 はじめに
本稿は,角田譲先生 (以下 「先生」 は省略) の追悼研究集会における筆者の口頭発表の記録と
補足である。
私は最低限の論理学しか知らないので、そのレジュメの内容はさっぱり理解できませんが、しかしプログラミング言語「Prolog」が記載されていたのは嬉しいですね
ここ 10 年くらいはプログラミング言語界でも圏論が流行っています、具体的なプログラミング言語では「Haskell」がそういう奴だと聞いていますが、Haskell は C++ プログラマにとっても結構難しいですね‥
残念なのは、>>789 のレジュメも含む日本人の圏論エバンゲリスト達は、圏論の書籍として大熊正氏の教科書を、全然紹介しないことでしょうか
0791現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/12(月) 20:47:10.46ID:e7FQ3ldhC++さん、コメありがとう
>残念なのは、>>789 のレジュメも含む日本人の圏論エバンゲリスト達は、圏論の書籍として大熊正氏の教科書を、全然紹介しないことでしょうか
1．大熊正氏の教科書は、いまでは入手難でしょうね
2．数学のテキストは、最新のものを読むのがベストでしょう。あるいは、古くても定評のあるもの
残念ながら、大熊正氏のテキストは、内容的にちょっと古くなっていると思います
（下記の”Timeline of category theory and related mathematics”をご参照ください。21世紀 2021年の圏論は、すっかり現代数学の必須要素になっているのです。その視点からの解説がほしい）
（参考）
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/65-
より
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics
Timeline of category theory and related mathematics
0792１３２人目の素数さん
2021/04/12(月) 21:02:26.82ID:u67xFxJK最近プログラム書く意欲が湧かないのだけどどうしたらいい？
0793現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/12(月) 22:03:36.38ID:e7FQ3ldh>最近プログラム書く意欲が湧かないのだけどどうしたらいい？
1．無理して書く必要はないのでは？
2．何のために書くのか？ その根本を考えたら？
3．「プログラム書く」ことの楽しみ、それを考えたらどう？
0794１３２人目の素数さん
2021/04/12(月) 22:11:24.32ID:u67xFxJK楽しむものにしかずなのはそうなんだけどね、楽しいネタがない
0795現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2021/04/12(月) 23:43:42.40ID:e7FQ3ldh質問の様子から見ると、
初心者じゃないと思うのだが
下記などでも、読んでみたら？
https://shop.ohmsha.co.jp/shopdetail/000000001859/
トップコンピュータ・一般書プログラミング・開発その他関数プログラミングの楽しみ オーム社
著者Jeremy Gibbons and Oege de Moor 編／山下伸夫 訳
2010/06発行
関数プログラミングとは、代入や状態を避け、数学における関数と同じように計算を扱うプログラミングの考え方。本書は、関数プログラミングを「楽しむ」という視点から、実際の問題に対して有益な応用を学ぶことができる教科書の翻訳書。各章では、向上心あるプログラマにとって魅力的な話題を、この分野の高名な研究者たちがそれぞれ分担して執筆している。
"The Fun of Programming" （PALGRAVE MACMILLAN, 2003）の翻訳出版。
https://tech-camp.in/note/pickup/44988/
初心者が趣味としてプログラミングを始める方法について解説
公開: 2018.06.18 更新: 2020.05.27
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「まったくプログラミングの経験はない」
「何があればプログラミングがはじめられるのかわからない」
「できたらカッコいいけど、プログラミングを趣味として続けられるか不安…」
このような不安を感じて、プログラミングをはじめるのをためらっている方もいらっしゃるのではないでしょうか。
挫折せずにプログラミングを楽しみたい方は、初心者が趣味としてプログラミングを始める正しい方法を理解しましょう。
この記事では、プログラミングの始め方・趣味としての楽しみ方・具体的な学習方法まで徹底解説します。
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