純粋・応用数学（含むガロア理論）6

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/12(土) 11:50:07.88

テンプレは後で

**idiot watcher** · 2021/01/06(水) 10:10:08.50

>>394
>「群が指数有限の部分群を含めば、指数有限の正規部分群を含む」
>　これ、いま思うと、数学として不完全命題だよね

また、雑談とかいう🐎🦌が地雷踏んで爆死したな

何回、爆死すれば済むのやら

>　つまり、
>　有限群なら、常に{e}が正規部分群として取れて、指数有限を満たす。
>　無限群のときは、そうではない

別に、{e}が正規部分群として取れる必要はないんだが
わからんか、この🐎🦌は

>　あと、無限群で、無限単純群A∞と、無限対称群S∞を考えると、
>　A∞はS∞に対し指数2で、A∞自身が唯一の正規部分群だ。
>　だから、上記命題は自分自身が正規部分群で単純群のときを含むことになる

別に、指数有限の部分群＝指数有限の正規部分群
であってはならないなんて、どこにも書いてないんだが
わからんか、この🐎🦌は

>　だから、完全な数学命題としては、
>　「群Gが指数有限nの部分群Hを含めば、
>　　”HによるGの剰余類から完全代表系を作って、
>　　　X＝{g1H,g2H,・・,gn-1H,H}として、
>　　　群GよりXへの左からの作用で、
>　　　n次対称群の部分群G'を作ることができ、
>　　　群順同型Φ：G→G’から、
>　　　Gの正規部分群N：＝kerΦを取ることができる。
>　　　商群G/kerΦの位数はm
>　　　(ここにmはn！の約数（ラグランジュの定理））
>　　　であり、よって”
>　　指数有限mの正規部分群Nを含む」
>　となるね

（注：””は私がつけた）

この🐎🦌、「完全」の意味を完全に誤解してるな

命題としては””の箇所は必要ない　つまり
「群Gが指数有限nの部分群Hを含めば、
　指数有限m>=nの正規部分群Nを含む」
で十分である

””の箇所は証明であって命題として書く必要は全くない！

**idiot watcher** · 2021/01/06(水) 10:18:16.59

>>402の続き

>ところが、上記の完全命題は、院試としては向かないのだ。
>教科書の数学命題としては正しいが、ヒント満載だからね。
>院試問題としては上記の「不完全命題」が正解だろう

なにトンチンカンなことほざいてんだ？この🐎🦌は

「群Gが指数有限nの部分群Hを含めば、
　指数有限m>=nの正規部分群Nを含む」

で十分定理として「完全」であるし

”HによるGの剰余類から完全代表系を作って、
　X＝{g1H,g2H,・・,gn-1H,H}として、
　群GよりXへの左からの作用させると
　n次対称群の部分群G'を作ることができる”
”群順同型Φ：G→G’から、
　Gの正規部分群N：＝kerΦを取ることができる。”
”商群G/kerΦの位数はm<=n!である。”
　　(mはn！の約数（ラグランジュの定理））

とかいうのは、証明であって、
定理となる命題に書くことではない

この🐎🦌チンが！

**idiot watcher** · 2021/01/06(水) 10:36:43.95

>>403の続き
>龍氏の動画
>”定理群準同型 Φ：G→G’による(G'の)正規部分群N'の逆像Φ-1(N')はGの正規部分群である”
>を使うのは院試の答案としてはまずいだろう

なんだ、まだ上記の定理の証明が理解できないのか？この🐎🦌

>そもそものこの定理は、第一同型定理から従うので、
>第一同型定理の証明には”kerΦ 正規部分群”を使うのが標準で
>循環論法になるだろうからね

ならねぇよ、🐎🦌

第一同型定理ぬきに
準同型写像の性質だけで
証明できるだろが！

---
任意のa∈G,n∈N(=Φ^(-1)(N'))について
Φは準同型だから

Φ(ana^(-1))=Φ(a)Φ(n)Φ(a^(-1))

Φ(a*a^(-1))=Φ(e)はG'の単位元

したがって
Φ(a）^(-1)=Φ(a^(-1))

だからN'が正規部分群なら
n'=Φ(a)Φ(n)Φ(a^(-1))Φ(a)Φ(n)Φ(a)^(-1)=∈N'

したがってana^(-1)∈N

**idiot watcher** · 2021/01/06(水) 10:52:39.43

>>404
誤 n' = Φ(a)Φ(n)Φ(a^(-1))Φ(a)Φ(n)Φ(a)^(-1) = ∈N
正 n' = Φ(a)Φ(n)Φ(a^(-1)) = Φ(a)Φ(n)Φ(a)^(-1)∈N