>660
x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)
>>653(修正38)の
> (4)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となる。
を逆に使って、
x=b/√a, y=c/√a は (3)の無理数解です。
(4)では
x^3+y^3=(x+√(3a))^3…(4)
ここで √(3a)=(b^3+c^3)^(1/3)-b (b,cは有理数) とおくと、
x=b, y=c が (4)の有理数解です。

>>653(修正38)では
> (3)が有理数解を持たないので、(4)も有理数解を持たない。
でしたが、ここでは

(3)が有理数解を持たないけれど、(4)の有理数解が得られた。

という結論になりました。
これはあなたの【証明】の反例になっています。

この場合は、「(3)が整数比の解を持つので、(4)も整数比の解を持つ。」
ということになります。

実際には、(3)は有理数解を持ちません。(展開すれば、解ります。)
有理数解を持たないので、整数比の解も持ちません。