おサル、恥さらしありがとうｗ（＾＾；
年末で忙しい
残念だが、あまり書けなくなるので、>>795の正解を書くよ

１．まず、
>>824より
(引用開始)
龍孫江氏のYoutube動画 https://www.youtube.com/watch?v=scJhIv1P32Q
解説テキスト版：https://note.mu/ron1827/n/n6f79eb36c397
この解説テキスト版より
「問題：指数有限の正規部分群は存在するか」
「問題：令和元年5月13日」
”Ｇが群、ＨがＧの指数有限の部分群ならば、Ｈは指数有限の正規部分群を包むことを示せ．”
(引用終り) （注：”包む”は、普通は”含む”だと思うが）

　ここで、Ｇとして、交代群An(n≧5)を取る。An(n≧5)は、有限単純群なので（下記）、自明な(G自身と{e})正規部分群を含むことはできない
　ところで、シローの定理（下記）より、An(n≧5)中にシロー p 部分群が存在する。有限群なので、当然指数は有限だ
　しかし、自明な(G自身と{e})正規部分群以外の正規部分群を含むことはできない
　（無限単純群も同様。もし、指数有限の部分群を含んでも、単純群には自明以外の正規部分群は存在しない）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1.1 有限単純群
1.2 無限単純群
2 分類
2.1 有限単純群
有限単純群
・An - 交代群(n≧5)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
シローの定理
シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は任意の有限群 G に対して G のすべての部分群の位数（元の個数）は G の位数を割り切るというものであり、シローの定理は有限群 G の位数の任意の素因数 p に対して G のシロー p 部分群が存在するというものである。

つづく