>>858
z^2=x^2+123456^2=x^2+(2^6*3*643)^2
(z+x)(z-x)=2^12*3^2*643^2
z+x=2p,z-x=2q,(p>q) と置くと、
pq=2^10*3^2*643^2
p,qの組み合わせは、(11*3*3-1)/2=49通り　列挙は省略

他方、123456=2^6*3*643　において、
Mod[3,4]=Mod[643,4]=3≠1
なので、x^2+y^2=123456^2　を満たす自然数解は無い
>>882
(z+x)(z-x)=960^2=(2^6*3*5)^2
上記と同じ展開でこのタイプの自然数解は49通り。列挙は省略
一方、5≡1 mod 4　なので、x^2+y^2=960^2は
gcm(x,y)=2^6*3=192の時、(x/192)^2+(y/192)^2=5^2　が自然数解を持つ。
もちろんこれは、たった一通り{x/192,y/192}={3,4}
合計50通り