数理論理学とか健全性定理とか持ち出した反論を見るけど、
要はそれらの証明だって少なくとも論理学には基づいているわけじゃない？

その辺明るくないから証明の細かいことはわからないけど
Aの証明にBを使ってBの証明にCを使って、
Cの完全性も示された！と言っても所詮別の何か（多くの場合、少なくとも論理学）には基づいてるわけだからね
せいぜいPが無矛盾(完全)ならQが無矛盾(完全)とか、
言えてもそのくらいの依存関係くらいじゃないの

健全性定理やらが数学の定理である以上
（数学の定理だよね？もし違うなら教えて）
特定の公理や推論規則に基づいていることは事実なんだから
仮にその健全性定理やらがある公理系で「証明できた」としても
証明した公理系が矛盾を孕んでいれば事実として「間違っている」こともあり得る
ってことを>>1は言いたいんじゃないの？