遅くなって申し訳ない。>>331の続き。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)

>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。