集合 S の元 x に対する命題 P(x) と、整数に値をとる関数 N(x) に対し、
以下の (i), (ii), (iii) が全て成り立つと仮定する。

(i) N(x) = 0 となる x ∊ S が少なくとも一つは存在する。
(ii) x ∊ S に対し、 N(x) = 0 ならば P(x) は真である。
(iii) x ∊ S に対し、「 |N(y)| < |N(x)| を満たす全ての y ∊ S に対し、 P(y) は真である」
　が成り立つならば P(x) は真である。

このとき、全ての x ∊ S に対して P(x) は真であるといえるか？
いえるならば証明を与え、いえないならば反例を挙げよ。