>>89
T(n) := {(a,b,c) ∈ N^3 | gcd(a,b,c)=1 かつ lcm(a,b,c)=n }
とおく。
nにおける素因数pの指数をeとすると、題意により、
　a,b,c におけるpの指数は {0,e',e}　(0≦e'≦e)
e'=0 または e'=e の場合が各 3 とおり、
0<e'<e の場合が各 3!=6 とおりある。
∴　合計 6e とおり。

n = (p_1)^(e_1)･(p_2)^(e_2) …… (p_k)^(e_k)
　(p_1,p_2,…,p_k は相異なる素数)　とすれば、
#T(n) = Π[i=1,…,k] 6(e_i) = (6^k)Π[i=1,…,k] (e_i)

T(n) は a=b=c を含まないが、a=b, b=c, c=a を含んでいる。

a=b　⇔　{i=1,…,k について、p_i の指数が等しい}
　⇔
∀(1≦i≦k)　(a,b,c) における p_i の指数は (0,0,e_i) または (e_i,e_i,0)
∴　2^k とおり。
b=c, c=a についても同じ。

∴　T(n) のうちで 0<a<b<c を満たすものの数は
　#S = {#T - 3(2^k)}/6,
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とくに nが平方因子を含まない (square-free) とき
　e_i = 1,　　(i=1,…,k)
　#T = 6^k,
　#S = 6^(k-1) - 2^(k-1) = 2^(k-1)･{3^(k-1) - 1},