Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 46

**現代数学の系譜雑談** ◆e.a0E5TtKE · 2020/05/17(日) 10:01:11.29

20200403の記者会見により、望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り、IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は分裂したNo43スレの中ではこのスレ立ては最初だったのです！（＾＾；）

（参考）
https://mainichi.jp/articles/20200403/k00/00m/040/295000c
望月教授「ABC予想」証明　斬新理論で数学界に「革命」　京大数理研「完全な論文」【松本光樹、福富智】毎日新聞2020年4月3日
(抜粋)
https://cdn.mainichi.jp/vol1/2020/04/03/20200403k0000m040296000p/6.jpg
会見には同研究所の柏原正樹特任教授と、玉川安騎男教授が出席。
2018年にはピーター・ショルツ独ボン大教授が望月論文に疑義を唱え、その行方に注目が集まった。玉川教授は「望月教授自身が反論もしており、（ショルツ教授からの）再反論もない」などとし、論文の価値判断に影響はないとの認識を示した。
玉川教授は「全く新しい理論で、さらなるインパクトを生み出す可能性がある。この研究所を中心として世界的に研究が活性化すれば喜ばしい」と胸を張った。
https://www.youtube.com/watch?v=7BnxK_NMwaQ
数学の難問ABC予想　京大教授が証明　30年以上未解決 2020/04/03 FNNプライムオンライン

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96宇宙際タイヒミュラー理論

**現代数学の系譜雑談** ◆e.a0E5TtKE · 2020/05/22(金) 13:24:46.84

>>608

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E5%9E%8B
公理型
（公理図式から転送）
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公理型（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）とは、数理論理学における用語で、公理を一般化した概念である。

有限公理化
型変数に代入されうる部分論理式や項の個数が可算無限だとすれば、ある公理型は可算無限個の公理の集合を表すことになる。
この集合は通常は再帰的に定義できる。公理型を用いずに公理化できる理論は「有限公理化」可能であると言う。
有限公理化可能な理論は、たとえそれらが推論を行う上で実用性に劣っていても、超数学的なエレガントさの上では幾分か優位であると看做される。

公理型の例
公理型の実例としてよく知られているものを二つ挙げる。

帰納型：ペアノ算術の一部であり自然数の算術である。
置換の公理型（英語版）：集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。
これらの型は除去できないことが証明されている（最初の証明はリチャード・モンタギューによる）。従ってペアノ算術とZFCは有限公理化できない。このことは数学の様々な公理的理論や、哲学、言語学その他についても当てはまる。

有限公理化可能な理論
ZFCで証明できる定理は全てフォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（英語版）(NBG)でも証明できるが、大変驚くべきことに、後者は有限公理化されている。新基礎集合論(NF)は有限公理化可能だが、その場合はエレガントさが幾分か失われる。

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆e.a0E5TtKE · 2020/05/22(金) 13:25:10.66

>>609
つづき

高階論理において
一階述語論理における型変数は、二階述語論理においては通常は除去できる。何故なら、型変数は何らかの理論中に現れる要素間で成り立つ性質や関係そのものを代入可能な変数として位置付けられることが多いからである。上で挙げた帰納法と置換の型は正にそうした例に当る。高階述語論理では量化変数を用いてあらゆる性質や関係を渡るような記述ができる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論

集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。さらに一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
(引用終り)
以上