>>975
力技だけど
4項間漸化式を特性方程式x^3+x^2-2x-8=0の根
α=2, β=(-3+√(-7))/2, γ=(-3-√(-7))/2
を使って
a_n=Aα^n+Bβ^n+Cγ^n
と形を決めて、初項から
A=2/7, B=-1/7, C=-1/7
と係数を決定して
a_n=(2^(n+1)-((-3+√(-7))/2)^n-((-3-√(-7))/2)^n)/7
となるが、これは次の数列
b_n=(((-1+√(-7))/2)^n-((-1-√(-7))/2)^n)/√(-7
を使って
a_n=(b_n)^2
と書けている
b_nは3項間漸化式
b_0=0, b_1=1 b_(n+2)=-b_(n+1)-2b_n
を満たす数列であり、すべて整数である
よってa_nは必ず平方数になる