改めて、>>92の証明。

S⊂N^n は、Sの任意の異なる2元が ≦ で比較不可能とする。
Sは有限集合であることを示す。

N^nは可算なので、Sは高々可算である。
もしSが無限集合ならば、Sは自動的に可算である。
よって、ある全単射な写像 x：N → S が存在して、
集合として S＝{ x(m)｜m≧1 } と表せる。

S⊂N^n により x：N → N^n であるから、>>138を写像 x：N → N^n に適用すれば、
ある狭義単調増加な m：N → N に対して x(m(k)) ≦ x(m(k＋1)) (k≧1) である。
特にk＝1として、x(m(1)) ≦ x(m(2)) である。x(m(1)), x(m(2)) ∈ S であり、
Sの任意の異なる2元は ≦ で比較不可能だから、x(m(1))＝x(m(2)) となるしかない。
xは単射だから、m(1)＝m(2) となるしかない。しかし、m は狭義単調増加だから矛盾。