小フェルマーなしで

2^7 = 128 = 3･43 -1 ≡ -1　　(mod 43)
2^14 = (2^7)(2^7) ≡ (-1)(-1) = 1　(mod 43)

2^9 = 512 = 47･11 -5 ≡ -5　　(mod 47)
2^19 = 2(2^9)(2^9) ≡ 2(-5)(-5) = 50 ≡ 3　(mod 47)
2^23 = (2^4)(2^19) ≡ 16･3 = 48 ≡ 1　　(mod 47)

N = 2^(14･23) -1 とおくと
43 | (2^14 -1) | N
47 | (2^23 - 1) | N
43･47 | N
2^(14･23) ≡ 1　　(mod 43･47)