メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E9%80%A3%E7%B6%9A
一様連続

一様連続性の定義はユークリッド空間や、それを一般化した概念である距離空間において定義される。 さらに一般に一様空間上でも定義可能である。

一様空間
位相空間の間の連続写像が位相的性質を保つように、一様空間の間の一様的性質を保つ写像は一様連続写像と呼ばれる。一様連続性は厳密には次のように定義される[1]：

定義 f を一様空間X から一様空間Y への写像とする時、f が一様連続 であるとは以下の性質を満たす事をいう：Y の任意の近縁V に対しX の適切な近縁U を取れば全てのx 、y ∈X に対し、
(x,y)∈ U → (f(x),f(y))∈ V
特にf が全単射でf 、f -1 がいずれも一様連続であるとき、f は一様同型 であるという。

任意の一様連続写像は、一様性から誘導される位相に関して、必ず連続である[1] 。

一様空間と一様連続写像の全体はひとつの圏を成す。一様空間の間の同型射は一様同型と呼ばれる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E7%A9%BA%E9%96%93
一様空間

数学の一分野、位相空間論における一様空間（いちようくうかん、英: uniform space）は一様構造を備えた集合である。一様空間は（完備、一様連続、一様被覆などの）付加的な構造を備えた位相空間にもなっている。

一様構造と位相構造の概念的な違いは、一様空間においては点の近さや相対的な近さといったようなある種の概念が定式化できるというようなことにある。
つまり、「点 x の点 a への近さは、点 y の点 bへの近さよりも近い」といったような考察は一様空間において意味を成すのである。
対する一般の位相空間では、部分集合 A, B が与えられれば、「点 x が集合 A にどれほどでも近い（x が A の閉包に属する）」とか「集合 A は集合 B よりも小さい近傍である」といったようなことは言える。
しかし点の近さの概念や相対的な近さといったようなものは、位相構造のみでは記述することができない。

一様空間は距離空間と位相群を一般化する概念であり、それゆえに解析学における議論の多くの基盤を与えるものとなっている。

つづく