0091132人目の素数さん
2020/03/29(日) 22:13:29.23ID:xoCKiO/ESheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
Suppose T ∈ L(P(R)) is such that T is injective and deg Tp ≦ deg p for every nonzero polynomial p ∈ P(R).
(a) Prove that T is surjective.
(b) Prove that deg Tp = deg p for every nonzero p ∈ P(R).
(a) q ∈ P(R) とする。
q = 0 ならば、 T0 = 0 = q である。
q ≠ 0 とし、 m = deg q とする。
deg Tp ≦ deg p だから、 T は P_m(R) 上の(単射な)線形写像である。
P_m(R) は有限次元だから、 T は P_m(R) 上の全単射な線形写像である。
∴Tp = q となるような p ∈ P_m(R) が存在する。
(b) 仮定より、 deg Tp ≦ deg p for every nonzero p ∈ P(R) である。
q := Tp とおく。 (a)より、 deg q = m ならば、 q = Tr となるような r ∈ P_m(R) が存在する。
q = Tp = Tr であるが T は単射だから、 p = r である。
∴ deg p = deg r ≦ m = deg q = deg Tp
∴ deg Tp = deg p for every nonzero p ∈ P(R).
931 :132人目の素数さん [] :2020/03/29(日) 18:53:26.45 ID:462mPqWO (11/12)
線形代数はやっぱり簡単ですよね。
933 :132人目の素数さん [] :2020/03/29(日) 19:03:19.86 ID:462mPqWO (12/12)
Axlerさんの本は余計なことが一切書かれていないのがいいところです。