>>657
＞.999…00…が.000…00…と同値

{0,…,9}^Nの要素である.999…00…が.000…00…と同値であることは自明

この場合.999…00…の0の開始位置は必ずある自然数dで表される
なぜなら、{0,…,9}^Nの要素である無限列のどの桁の位置も
自然数で表されるから

＞.999…で 9がひとつずつ増えるコーシー列C：c1=.9,c2=.99,c3=.999,・・・を考える
＞任意の有限 cn＝0.99・・9(小数第ｎ位まで9)が、無限 cn＝0.99・・9 00・・とみなせる
＞この数列cn＝0.99・・9 00・・と、数列 000…00… とは、
＞時枝の定義のしっぽが一致し、決定番号dはd=n+1となる

まず.999…＝.999…00…ではありません
なぜなら.999…のどの桁の値も9だからです

そして、.999…は、「コーシー列」のどの項cn＝0.99…900…とも同値ではありません
なぜなら、どの桁についてもその先の桁で値が9と0で一致しないものが存在するからです

つまり.999…と、.99…900…について、
「その先の桁の項が全て一致する先頭の桁」
を一致番号としたとき、その番号は存在しないので
これを∞と表記することにした場合、
一致番号が∞となる2列は同値ではない
ということです

つまり.999…は.000…と同値でなく
.999…の決定番号が∞となることもありません

（蛇足）
＞レーヴェンハイム・スコーレムの定理
＞「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は
＞　無限のモデルを持たねばならない」

上記の定理は「箱入り無数目」とは無関係

なぜならNの有限モデルは存在しないから