>>641
良い質問ですね〜(^^

(引用開始)
質問
箱の中身を0〜9の10個の数に制限する
このとき、無限列は10進無限小数だと考えることができる
.000…の同値類の代表元を.000…とする
このとき、決定番号∞となる小数を一つ上げよ
(引用終り)

良い質問ですね〜
<答え>
・具体的に、例を挙げることはできない
 ∵実数R自身が、Qの完備化(例えば コーシー列による定義)からなる存在だから
・しかし、.000…の同値類の中に、決定番号∞となる小数(同値類の元)が存在すると考えるべきである
 例:0に収束するコーシー列、これをC:c1,c2,・・ として、 C≠.000… (*)なるコーシー列Cを考えることができる
  ( (*) この≠の意味は、0に収束するが、Cは .000… と異なるコーシー列であることを示す)
 ∵コーシー列とは、そのようなものだから。そして、それは、具体的な小数として書き下すことはできない存在なのだ

(引用開始)
例えば
.000…は決定番号1
.900…は決定番号2
.990…は決定番号3

としてこの数列の極限
.999…が決定番号∞
なのか?
(引用終り)
<答え>
Yes

(引用開始)
もし、そうだとして、.999…が.000…と同値だとする証明はあるのか?
(引用終り)
<答え>
・まず、修正:「.999…00…が.000…00…と同値(つまり、 .999…00… 〜 .000…00…)」だな(^^;
・この証明はあるが、厳密には ”実数Rとは?、 Qの完備化である!”に、遡ってしなければならない
・もし、大学数学科レベルの人に対してなら、「コーシー列を考えれば自明」の一言で証明は終わる!
QED

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
(抜粋)
コーシー列を用いた構成
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
(抜粋)
実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
(引用終り)
以上