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dx dy の意味は？

レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/08(日) 23:51:21.03ID:S0D0Segw
dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ
0881１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 15:45:42.23ID:TSMo43Dd
ルベーグ測度はxだと思うんですけど？？

ルベーグ測度xがあって、dxがあるんじゃないですか？？
0882１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 15:51:19.09ID:TSMo43Dd
と言うとちょっと語弊がありますか
∫f(x) dμ(x)

μが測度ですよね？
0883１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 21:51:17.42ID:It+rQORJ
>>880
a<=bのとき
∫_a^b f(x)dx := ∫_{[a, b]} f(x)dx
∫_b^a f(x)dx := -∫_{[a, b]} f(x)dx
が定義だからそうはならない
0884１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 22:09:02.66ID:ck4CW2db
>>882
∫fμ(dx)ですね
0885１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 22:26:02.19ID:It+rQORJ
>>881
手元の教科書で「dxとはルベーグ測度のこと」みたいな記述が見つけられなかったのであまりはっきりしたことは言えないけど、関数の積分の表記は色々揺れがあるし、定義域と関数と使ってる測度が明示できれば(断りさえあれば)何でもありみたいなところがある
手元の教科書ではルベーグ測度に関する積分のときは特別に∫…dxと書く、みたいな断りがあった
0886１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 22:51:13.52ID:y7JQbMeT
>>884
わからないんですね
ルベーグ積分は測度空間であればなんでも積分可能です
測度空間は実数でなくても良いわけですからdxなんてものは定義されていません

>>885
私もそういう意味だと思いますね
高校数学で習うように、単なる積分についてくる記号というだけでしょう

よくわかってない人たちが色々言ってますけどね
0887１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 22:58:47.89ID:It+rQORJ
>>886
単なる積分についてくる記号ではなくてルベーグ積分であることを明示する意味はある
0888１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:12:41.53ID:y7JQbMeT
一般の測度に関する積分ではなくて、ルベーグ測度による積分ということですか
なるほど
0889１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:15:33.55ID:y7JQbMeT
まあなんにしてもdxという記号をいつ使うかということはわかりましたけど、dxは積分とセットで現れる記号以上の意味はないということですね、測度云々の場合は
0890１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:31:18.54ID:It+rQORJ
>>889
体積形式dxに誘導される測度が結果的にではあるけどルベーグ測度と一致するから、関数の積分のdxに適当に意味をつけることは可能っちゃ可能
0891１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:33:29.24ID:ck4CW2db
>>886
>>884に実数は関係ないですよ劣等感婆さん
(特に確率論で)しばしば使われる記号ですよ

↑確率論で目にすることが多い気がするので「(特に確率論で)」と括弧書きしてますが、有限測度空間でなくとも使われることはありますね
0893１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:36:41.60ID:y7JQbMeT
>>890
いや微分形式の積分をルベーグ積分で定義したってだけなんじゃないですかそれ
0894１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:43:53.42ID:It+rQORJ
>>893
いや、至るところ消えない最高次の微分形式dxを使って測度を定義して、その測度で関数を積分してる
0895１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:46:17.44ID:y7JQbMeT
そういう方法もあるんですか
勉強してみます
0897１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:54:05.19ID:ck4CW2db
>>892
後半もちゃんと見てね
例えば伊藤ルベーグという普通の測度論の本にこういった記述もされてたりするね
https://i.imgur.com/e2MGT2d.jpg

>>895
あら素直、もしかして劣等感婆じゃないのかな
それなら申し訳ない
0899１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:56:16.85ID:y7JQbMeT
>>898
同じならまず積分を先に定義しないといけないんじゃないですかやっぱり？
循環論法だと思います

他の方法があるなら教えてください
0900１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 23:59:51.61ID:It+rQORJ
>>899
多様体論を学習していない段階でその記法を使いたいならばそれ自体には意味がないとして扱っていいし、十分に学習したならば意味のあるものとして扱ってもいい
0901１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 00:01:06.01ID:wtoXBnP0
>>900
つまりわからないということですか？
0903１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 00:04:40.05ID:wtoXBnP0
>>902
微分形式の積分の定義がわからないんですね
0904１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 00:12:54.57ID:xAwlJf5q
>>903
分かります
微分形式の積分の定義にはもちろんルベーグ測度に関する積分が必要になる
そして、この段階でどうしても∫fdxという記法を使いたいのであればdxを意味のないものとして扱えばいい
それらを一通り定義し終えた後に、改めてルベーグ測度に関する積分を∫fdxと書きたいと思ったならば、dxを意味のあるものとして扱ってもいい
0905１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 00:33:39.14ID:ipfAr0IJ
dxの意味か〜
xは束縛変項だということはわかるがdは何だろうね
これがわからないのに高校数学の微積とか解けても意味なさそう
必要なのは多様体論なんだね
難しそー
0906１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 01:01:27.44ID:t9qbF9CH
微分形式として形式的にきちっとした定義持ってるdxとかdfだけど背景のアイディアはdf/dt=(fの勾配)・(fの速度)っていう物理的なイメージだと思う
0907１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 01:39:52.60ID:pcTX+Lvf
幾何学的なイメージのほうが明快なのだけど
一部のバカな駄目厳密厨房なんかは文字通り開きメクラすぎて開近傍にも近寄れて掴み取れてない。
0908１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 01:55:06.75ID:wtoXBnP0
ビブンケイシキガーとこだわる方が微積分の簡単な証明出来るとは思えないんですよね

微分が線形近似だということすら知らないということですよね？
0909１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 02:04:10.54ID:Zv8oZwDO
やたらとdの意味や背景理論に固執してる割に微分形式を道具として扱えないやつはただの馬鹿、これは間違いない
微分形式を理解できないやつが歴史的な背景に拘って微分形式的意味付けを否定するのはアホ
0910１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 02:04:57.74ID:wtoXBnP0
伝統的な定義も微分形式の幾何学的な定義もどちらも認めればいいだけの話なのです
0911１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 02:20:29.94ID:pcTX+Lvf
>>908
解析系で研究者になるにしても物理的工学的な意味合いに寄り添って具体的な微分方程式の研究するんで
一年次の解析学基礎の厳密性とか三回生程度のルベーグ積分を厳密に理論構築することに拘泥し続けるよりも
当時の現状時点では一見破綻してることをゴリゴリ使いこなして超関数の理論に繋げていったような態度のほうが望ましい。

今現状の具体例で言ったらまさにファインマン経路積分の厳密解が使える位相的場の理論とかそういうのを想定してな。
0912１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 02:29:26.52ID:wtoXBnP0
で、なぜ両方認めるということを頑なに拒否するんですか？

あなたが微分形式しか知らないからとしか思えないんですけどね
0913１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 02:54:01.68ID:pcTX+Lvf
以前 深谷賢治さんに 「微分形式の幾何学的意味は何でしょうか?」とたずねたところ,「意
味はない! ないからいいんだ!」と即答されました
0915１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 10:02:54.28ID:cRUJbCSR
（分かりやすい）意味は無いけど（厳密な）定義はあるから
0916１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 10:51:02.48ID:rNWu9i5s
コホモロジー環構造の局所化
0917１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 11:18:23.31ID:FRZgKU8Q
>>915
どうせそれらも解析概論と大差無いんだろ？抽象化で文句が出にくくしているだけで
0918１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 11:32:30.81ID:wtoXBnP0
そいえば、dy=y’dx
これをdxで”割り算”するとdy/dx=y’になる

これはビブンケイシキガーにはできないことですね

微分形式同士の割り算なんてできませんから

でも、Δxのような”関数の微分”として考えれば、この操作はなにも問題なく許容されます
0919１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 11:45:02.41ID:AIgkQKcR
>>918
>微分形式同士の割り算なんてできませんから
できないかな？
ある意味関数だからできると思うけど
意味があるかどうかはまた別
0920１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 11:49:40.52ID:wtoXBnP0
ほら、そうやって微分形式しか知らないから意味がないことが当たり前だと思ってる

伝統的なΔxを用いた定義では、本当に割り算として意味を持ちます

それをビブンケイシキガーは知らないのですね
0921１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 12:37:32.95ID:Zv8oZwDO
>>918
ポアンカレの補題
0922１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 12:53:17.12ID:wtoXBnP0
わからないんですね
0923１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 16:46:00.93ID:yT9TgOZj
ルベーグ積分におけるdxというのは
単なる飾り記号にすぎないわけで、ここの
dxとは何かという問題とルベーグ測度論は
本質的に何のつながりも関係もないのだよ
苦労してルベーグ積分論を学んだという
自負があるのか知らんが、基礎論や集合論
みたいなものでほとんど何の役にも立たん
dxはルベーグ測度であるとか笑止千万ｗ
0924１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 18:15:48.65ID:pcTX+Lvf
>>920
ライプニッツ記法ニュートン記法よりもランダウの記号のオミクロンオマクロンで
高次の無限小をゼロに評価しちゃうことのほうが
d・d=0
に近く思える。
0925１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 19:19:56.09ID:wtoXBnP0
だから、そんなことしてないんですって
0926１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 20:10:54.11ID:AIgkQKcR
>>920
>ほら、そうやって微分形式しか知らないから意味がないことが当たり前だと思ってる
だから
割り算できると思うよ
ある意味関数だし
意味があるかどうかはまた別
できないできるで言えばできるよね
0927１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 20:31:42.29ID:t9qbF9CH
>>918
dy=y'dxは微分形式の定義そのままでdy/dx=y'は微分の定義だから普通にその間を行ったり来たりする分には問題無くない？
0929１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 20:44:58.88ID:wtoXBnP0
>>927
定義だと言ってしまえばそれまでですが、それはなぜ割り算の記号で定義されたのかの答えにはなっていません

定義だから、は微分形式しか知らない方の怠慢です
0930１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 20:59:20.37ID:MQ+A5bA3
>>928
深く考えずに書くけどウェッジ積の逆演算自体は概念としては考えられるんでは？
「ω∧x=ω'なる微分形式が一つでもある場合その全体を[x]:=ω'(∨)ωと書く」みたいな
こういうのに名前付いてるのかとか何か役立つかどうかとかは全然知らないけど
0931１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 22:13:41.49ID:t9qbF9CH
そもそも一つの視点しか許されないわけではないしある時は微小量と見るのが都合が良い事もあるし（コ）ベクトル空間の基底と見る方が理解を深める事もあるというだけなのでは
例えば高校数学でやるような積分の変数変換は微小量の割り算だと思うと便利だし物理で出て来るルジャンドル変換は微分形式的な見方が本質的だと思う
一つの概念に色々な視点を与えてくれるのが数学というか
0932１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/13(木) 22:26:16.13ID:ipfAr0IJ
概念は1つだろうな
名辞が複数ある
0933１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 00:36:02.02ID:DliuAg4J
>>931
「微小量はεδ論法から見ると曖昧すぎるように見えますが、論理的には正当化されています。
それは、超準解析という…」

とか明確に言ってくれるならそれもありかもな。
0935１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 02:30:06.56ID:78ZxX+Rp
解析概論のΔxの方法は微小量など使っていません
ビブンケイシキガーはそんなこともしらずに批判しているのですね
0937１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 02:55:14.43ID:78ZxX+Rp
ウィキペディアにもちゃんと載ってますし解析概論にも載ってるライプニッツから始まる伝統的な定義をなぜ認めないのですか？

ビブンケイシキガーしか知らないからですよね？
0938１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 02:58:36.72ID:78ZxX+Rp
f(x+Δx)=f(x)+g(x)Δx+o(Δx)

と書ける時、df(x,Δx)=g(x)Δxと定義します

これのどこに問題があるんですか？
0940１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 08:04:21.76ID:2HsIb0T9
君の言ってる浅い理解は
C∞の元はベクトルだから割り算できないとか
Rωの元はベクトルだから割れないって
駄々っ子みたいね
0942１３２人目の素数さん
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2022/01/14(金) 12:29:56.48ID:78ZxX+Rp
＞dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…


このスレはそもそもこの疑問に答えるためのもののはずですけど、あなたたちはその問いを放棄することが正しいというわけですね？
0943１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 12:47:17.79ID:78ZxX+Rp
>>939
これも意味がわかりませんよね

∂/∂xに対する双対をexと書き、yから誘導される余接ベクトルをeyと書きます
このとき
ey=y’ex
とかけます

exやeyはある意味関数なので割り算ができて

ey/ex=y’とかけます

↑これが成り立つということですね？
なんですか？ey/exて
0946１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 13:05:29.22ID:78ZxX+Rp
意味不明ですね
そのようなことをしても良いと書いてる文献はありますか？
0949１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 19:44:45.09ID:78ZxX+Rp
わからないんですね
0951１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 20:00:02.08ID:78ZxX+Rp
たくさんいますよ？
0953１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 20:27:59.00ID:78ZxX+Rp
過去レスを見ればわかりますよ

Δxと書いただけでアレルギーが出る方がたくさんいます
0954１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 20:37:39.41ID:09RFDqYg
>>671みたいな出自の分からないΔxが叩かれてるだけで、>>938みたいな出自がまだ分かるΔxが叩かれてるわけじゃあるまい
0955１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 20:40:09.05ID:78ZxX+Rp
出自の意味がわかりません
df(x,Δx)
↑これのことですか？
0956１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 20:44:29.53ID:78ZxX+Rp
つまり、あなた方はdf(x,Δx)をdfと略記することは絶対にダメとそういうことを言いたかったわけですか？
0957１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 20:44:45.98ID:78ZxX+Rp
くだらないですね
駄々っ子みたいですね
0958１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 20:55:19.30ID:09RFDqYg
定義の際にそれは、まあ絶対に駄目だわな
何かを定義するならまずそれがどんな集合の元かを明記しましょう
特に、写像を定義するなら定義域も必ず書きましょう
0959１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 20:56:53.79ID:78ZxX+Rp
解析概論には引数が書いてなかった！
だから間違え！
ビブンケイシキガーしか認めませんw

ようやくカラクリがわかりましたねw
0961１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/14(金) 23:53:09.80ID:HGEudac1
実数×実数を普通の処理系に型推論させたら普通は実数型を推論してエラーを起こしますね
0962１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:07:32.28ID:zpsPGQIs
>>956
？
0963１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:08:29.83ID:zpsPGQIs
>>946
>そのようなことをしても良いと書いてる文献
これがこの人の限界かも
0964１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:16:13.63ID:8Uge8F6V
そもそも解析概論って入門書でしょ…
なんでずっと一冊の入門書に執着してるのかが分からない
0965１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:20:32.59ID:I+/BE4BH
微分形式なんぞ最初は難しいかも知れんけど最初だけ
わかってしまえばなんて事ない概念なのにいつまでもいつまでもしようもない話をガタガタガタガタ
いつまでやるつもりなんかねぇ？
0966１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:22:25.58ID:so1VKQTS
微分形式が間違ってるとは一言も言ってません

むしろ、微分形式を認めるという人がその入門書に書かれた定義を認めていないのです

解析概論の定義ではdy÷dxという操作が許されるという利点があります
微分形式の定義は幾何学的な意味を与えてより機械的で洗練された形式を与えます

ただそれだけの違いなのに、なぜ微分形式だけが正しいという理解になるのかがわからないのですよ
0967１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:23:49.75ID:so1VKQTS
ビブンケイシキガーに聞きたいんですけど、微分の記号が割り算を用いて描かれるのはなぜですか？

関数を微分したものが微分商と呼ばれるのはなぜですか？

それを初心者に教えるときは、解析概論の古典的な定義と、ビブンケイシキガー、どちらがより良い方法でしょうか？
0968１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:26:38.94ID:so1VKQTS
ちなみに、今のところビブンケイシキガーの人からは、dy/dxがなぜ割り算の記号として使われているかの説明は一切ありませんね
0969１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:28:27.29ID:so1VKQTS
∂/∂xに対する双対をexと書き、yから誘導される余接ベクトルをeyと書きます
このとき
ey=y’ex
とかけます

exやeyはある意味関数なので割り算ができて

ey/ex=y’とかけます

↑ビブンケイシキガーはこの論理を認めるそうです
全く理解できませんね
0970１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:37:22.52ID:I+/BE4BH
いつまでも全く理解に進歩がない
もう数学の教科書開かなくなって何年にもなるんやろ
なんで教科書も読まんと勝手に賢くなれると思ってんのかね？
自分の事天才だとでも思ってんのかね？
そういうの恥ずかしくないんかね？
0971１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:40:56.36ID:E1iXy69c
＞ビブンケイシキガー

そういう人を揶揄するような表現やめたほうがええよ
まともな人間は誰も相手にせんからな
0972１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:41:21.12ID:so1VKQTS
で、いつになったら微分形式の定義を使ってdy/dxが割り算の記号になってることを説明してくれるんですかねぇ

できないならできないと言えばいいのに
0973１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:44:48.85ID:I+/BE4BH
もう何年も教科書も読まなくなったばかに説明しても時間の無駄だからだよ
先人の偉大な仕事に一片の畏敬の念を抱くこともなくアホなお話振りかざしてるパープー
0974１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:47:59.28ID:so1VKQTS
微分形式を知っているから、微分形式ではこの問いには答えられないことを知ってるんですけど？

余接ベクトル同士の割り算なんて定義できないんだから、微分形式を使う限りdy/dxは割り算ではないですよね？

単なる微分を表す記号にすぎない

だけど、たまたま割り算ぽく見えてしまっている

これ以上の説明はできないはずです
0975１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:54:34.06ID:x8W+lkLg
微分形式的にはポアンカレの補題からdy/dxが正当化されてますね
0976１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 00:58:48.85ID:so1VKQTS
ポアンカレの補題とは関係ないと思うんですけど？
0977１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 01:03:56.59ID:so1VKQTS
正当化できるなら説明してください？
0978１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 01:05:57.04ID:NMluwVAJ
たとえば射影幾何の公理だと
言葉や記号すなわち図形にに意味はないみたいな解釈だったような
現代数学ってそんな感じじゃねえか
0980１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 04:42:06.16ID:lP/M2Ihp
割り算としてより
座標変換変数変換として
dz/dy・dy/dx=dz/dx
と整合的なことのほうが微分形式及び多変数で幾何学的な意味付けで重要なんだと思うが。
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
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