何故にdx=Δxを疑問視するのか？

Δy=y'Δx+…において、dy:＝y'Δx と定義する。
　　Δxは曲線のx軸方向の変位、Δyはy軸方向の変位である。
つまり曲線の接線のy軸方向の変位がdyとなる。
また、接線のx軸方向の変位はΔxである。
このdy:=y'Δxは任意の関数yについて定義している、つまり、
関数yについての恒等式を意図しているので、
yに任意の関数を代入しても成立する。
関数y=xについては、
dx=x'Δx=Δxとなる。
よって、接線のx軸方向の変位ΔxはΔx=dxである。
よって、dy、dxは曲線の接線のy軸、x軸方向の変位である事が確定する。
dy:＝y'ΔxにΔx=dxを代入して、dy=y'dxが成立する。

高校数学の恒等式の項目を連想すれば、何も引っかかりは無い。
恒等式の問題を数値代入法で解く時に、
求めた定数の値(上記で言うとΔx=dxに相当する)は、変数が特定の値の時
（上記で言うとy=xに相当する）にのみ成立するものではない。