x^p+y^p=(x+r/d)^pは、(X/d)^p+(Y/d)^p=(X/d+r/d)^pのことです。

> x^p+y^p=(x+r)^pは、有理数解をもちません。

この２つのことから

> よって、X^p+Y^p=(X+r)^pの、X,Yは、無理数ですが、整数比となりません。

を結論とする理由が全くわかりません。
詳しく説明してください。

X^p+Y^p=(X+r)^pの、X,Y,Zが、無理数で、整数比となると、仮定すると、
共通の無理数dで割ったX/d,Y/d,Z/dは、、有理数となります。
x^p+y^p=(x+r)^pは、x,y,zを有理数とすると、式は成り立ちません。