>rを最初に決めた値とするときx^p+y^p=(x+r)^pに有理数解がないという推論は正しい。
しかしX/d,Y/dはこの方程式の解ではなくx^p+y^p=(x+r/d)^pの解だから何の矛盾も生じない。

x^p+y^p=(x+r/d)^pは、(X/d)^p+(Y/d)^p=(X/d+r/d)^pのことなので、

(X/d)^p+(Y/d)^p=(X/d+r/d)^pの両辺をd^pで割ると、X^p+Y^p=(X+r)^pとなります。

x^p+y^p=(x+r)^pに有理数解がないので、X^p+Y^p=(X+r)^pにも有理数解はありません。