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>「共通の無理数」って何？

例. x=3√2,y=4√2,z=5√2
共通の無理数dとは、√2のことです。

>x',y',z'は(4)をみたすx,y,z？

x',y',z'が、(4)をみたすと、仮定して、検討します。
x'/d=x,y'/d=yとなるので、(x'/d)^p+(y'/d)^p=(x'/d+r/d)^pは、
x^p+y^p=(x+r/d)^pとなります。
r/dが無理数の場合は、x^p+y^p=(x+r/d)^pは、有理数解を持ちません。整数比となりません。
r/dが有理数の場合は、X^p+Y^p=(X+(pa)^{1/(p-1)})^p…(6)の
(pa)^{1/(p-1)}の部分が、有理数の場合となります。
X:Y:Z=x:y:zとなります。
x:y:zが整数比とならないので、X:Y:Zも整数比となりません。
よって、X,Y,Zも有理数となりません。