>>186
なるほど 素晴らしい解答ありがとうございます

ちなみに想定していた解法は以下の通りです

凸曲線C上の点pにおける接線lの平行線l’がC上の別の一点のみと交わるとき、lとl’の距離をW(t)とする.(Cの点pにおける幅)

曲線を{p(t)}_{t∈[0,2π]}として、p(t)における内向き法線ベクトルn(t)がn(t)=(cost,sint)となるようにパラメータ付ける. このとき、W(t)=-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)となる.

したがってLをCの長さ、vを単位接ベクトル、kを曲率とすれば、
∫_0^π W(t)dt
=∫_0^π {-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)}dt
=-∫_0^(2π) p(t)・n(t) dt
=-∫_0^L p(s)・n(s) k(s) ds (孤長パラメータに変換)
= -∫_0^L p(s)・v’(s) ds
= ∫_0^L p’(s)・v(s) ds
= ∫_0^L v(s)・v(s) ds
=L となる.

よって、max_{t∈[0,2π]} W(t)≦直径 に注意すれば、

周率=長さ/直径≦ ∫_0^π W(t)dt/ max_{t∈[0,2π]} W(t)
≦π* max_{t∈[0,2π]} W(t)/max_{t∈[0,2π]} W(t)=π. ◽︎

ちなみにこのことから、等号が成立する必要十分条件は凸曲線が定幅曲線、ということになります

したがって>>168後半の問題は「直径固定の定幅曲線で囲まれる面積が最小のものを求めよ」という問題になります