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整数論を勉強するためのスレッド

0001１３２人目の素数さん
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2019/11/02(土) 05:18:46.03ID:git0d3Jn
代数幾何のスレが盛り上がってるので建てた。
俺はSerreのLocal Fieldsを読む。
0182１３２人目の素数さん
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2020/04/10(金) 12:25:30.15ID:+JuE8csR
e(n) - o(n)は、-1～1しか取らない
0183１３２人目の素数さん
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2020/04/11(土) 21:27:44.00ID:MRjm12uG
n=pq(異なる素数の積)のときn次の円分多項式の係数が-1～1しか取らないことの証明教えて
(このことからn=p^iq^jのときもそうなる)
0184１３２人目の素数さん
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2020/04/11(土) 21:45:35.93ID:MRjm12uG
自己解決した
0187１３２人目の素数さん
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2020/04/13(月) 20:37:25.26ID:eB1v2sjZ
ベルトラン仮説や算術級数定理のような素数に関する素朴でシンプルな定理あれば教えてください
(上のレーニの定理は少し複雑だなという感想です)
0188◆QZaw55cn4c
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2020/04/13(月) 22:13:45.40ID:2HELtJr7
>>187
ゴールドバッハの予想
＞全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる
0189１３２人目の素数さん
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2020/04/13(月) 22:38:58.17ID:eB1v2sjZ
て、定理をお願いします…
0190１３２人目の素数さん
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2020/04/13(月) 22:39:44.21ID:doFm6REC
素数の逆数和は発散する
0191１３２人目の素数さん
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2020/04/14(火) 11:01:55.50ID:JKkrDks5
フェルマーの小定理
0192１３２人目の素数さん
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2020/04/14(火) 13:35:21.37ID:zAX8Cvpg
はよせい(｀_´)
0196１３２人目の素数さん
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2020/04/19(日) 20:20:35.32ID:74+JYiE8
おお！ありがとう
ヴィノグラードフとエルデシュ=ギンツブルグ初めて知りました
0197１３２人目の素数さん
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2020/04/20(月) 22:46:36.02ID:35vuW0Bh
ベルトランの仮説はゴールドバッハの予想から持ってこれる。中国剰余定理とフェルマーの小定理は素数の定義と3000時間にらめっこしてれば大体の人が自力発見できると思う
0198１３２人目の素数さん
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2020/04/23(木) 14:37:22.24ID:M2d54xbk
赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。
　i_1 + i_2 = i,
　j_1 + j_2 = j
　k_1 + k_2 = k,

(i,j,k）が
　i+j+k = 偶数,
　|i-j| ≦ k ≦ i+j,
の条件を満たすとき、
　{i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2}　　←集合として同じ
とすることができるか？
（色違いは許して同数）
0199１３２人目の素数さん
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2020/04/24(金) 17:10:41.00ID:FdH14EWV
>>190
H_n = Σ[k=1,n] 1/k
< Π[p≦n] (1+1/p+1/pp+････)
= Π[p≦n] 1/(1-1/p)
= Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)}
= 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)}
< 2Π[p<n] (1 + 1/p)
< 2 exp(Σ[p<n] 1/p),

H_n → ∞　(n→∞)
より
Σ[p<n］1/p → ∞　(n→∞)
0201１３２人目の素数さん
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2020/04/30(木) 16:58:26.97ID:njuvIHl8
保型形式は、楕円関数論の延長としてやるのが好ましいね

Δ=G_2^3 - 27G_3^2

とか言われても、係数の意味わかんねーし
0202１３２人目の素数さん
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2020/04/30(木) 17:53:00.38ID:Je+bO2n6
それって極の係数合わせてるだけではないの？
0203１３２人目の素数さん
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2020/04/30(木) 18:20:46.50ID:grParZpf
モジュラー形式をリー群に一般化したのが保型形式だけど、後々保型形式を勉強することを見越してモジュラー形式を保型形式と呼ぶことがあるから、恐らくモジュラー形式の話だろう
保型形式"論"では判別式は登場しないので知らなくても問題ない
0204１３２人目の素数さん
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2020/05/01(金) 14:34:31.11ID:2+h9EAX6
>>198
できる。これは何かの有名な問題？
0205１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 14:16:03.55ID:jDRWX2Ph
3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0206１３２人目の素数さん
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2020/05/09(土) 08:44:51.34ID:pHr5kdzK
フェルマーの最初の定理って何だろう？

〔問題〕
n≧0 に対して　F_n = 2^(2^n）+ 1　とおく。
(1)　F_{n+1｝- 2 = F_n (F_n - 2）を示せ。
(2)　m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。
(3)　奇素数が無限個あることを示せ。

もちろん、F_n が素数とは限らない。
0208１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 18:24:34.89ID:bNx4VBt3
SerreのA Course in Arothmeticを読んでいます。
2章のはじめの定理の証明に、「ℤpはコンパクトであるため～」(ℤpはp進整数環)とサラッと書いてあるのですが、どう証明するのでしょうか
0210１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 18:50:42.02ID:eeOJx/cN
局所体Kは局所コンパクトであり、その付値環οはコンパクトである
Qpは局所体なので、その付置環Zpはコンパクトである
0211１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 18:56:11.96ID:bNx4VBt3
一般論知ってるとそうなるんですね。
局所体について書いてある本読んで見ます。
永田の可換体論かSerreのLocsl Fieldsに載ってるかな
0213１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 18:59:46.73ID:bNx4VBt3
p進整数はp進展開と1対1に対応するので、

X:=Π[n∈ℕ]ℤ/pℤ

からの全射が存在。
各ℤ/pℤに離散位相を入れ、積位相を考えると、Tychonoffの定理よりXはコンパクト。
なので、上の全射が連続写像であることを示せば良い。

ℤpは位相群なので、0の閉近傍系p^nℤpがの逆像がXの閉集合になることを示せば十分。
nは任意に取り、p^nℤpの逆像をFとすると、Fは(... , n(p+2) , n(p+1), 0, ..., 0, 0)の形のもの全体。この補集合は、有限個の開集合×残り全部ℤ/pℤなので、Xの開集合。したがって連続。□


こんな感じか
0214１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:07:42.38ID:XhRD3Cmi
>>208
Serreの流れだと有限環ℤ/p^nの射影極限だから有限集合（コンパクト）の（無限）直積で（チコノフの定理より？）コンパクトというつもりでしょ
その商体Q_pはそれゆえ局所コンパクトという論法だろう
0216１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:32:25.84ID:gdd+7JW+
すべての副有限群はコンパクトってことか
wiki読んでて知ったんだがすべての副有限群はある拡大のガロア群になるらしいね
Z_pをガロア群として持つような拡大って例えば何？
0217１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:33:19.62ID:bNx4VBt3
みなさんありがとうございます。

非自明なのは、チコノフの定理と、積位相とp進距離による位相がちゃんと対応するところですね
0218１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:47:30.98ID:rM3/opNb
>>216
pを奇素数

Gal(ℚ(ζ_p^(n+1))/ℚ)
～(ℤ/p^(n+1)ℤ)^×
～(ℤ/(p-1)ℤ)×(ℤ/p^nℤ)

なので、ℚ(ζ_p^(n+1))の部分体K_nで、Gal(K_n/ℚ)～ℤ/p^nℤとなるものが存在する

K=∪[n≧1]K_n

とすれば、Gal(K/ℚ)～ℤ_p

というふうに構成できたはず。
0219１３２人目の素数さん
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2020/05/12(火) 19:56:01.79ID:rM3/opNb
こんなことしなくても、

K_n=ℚ(ζ_p^(n+1))
K_∞=∪[n≧1]K_n

とすれば、

Gal(K_n/K_0)～ℤ/p^nℤ

だから、Gal(K_∞/K_0)～ℤ_pか
0222１３２人目の素数さん
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2020/05/13(水) 02:03:48.03ID:A69DjUkt
お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか？

①自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？

②自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？

よろしくお願いします
0224１３２人目の素数さん
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2020/05/15(金) 19:11:44.38ID:coEapvpP
ググると、徳島大学の学部4年生が1年で
Neukirchと、Hartshorneと、SerreのLocal Fieldsと、SGA 4 1/2の1章
を読了しているセミナーの報告が出てくるが、ホンマかいな
京大のAコースでもM1でHartshorne読み終わる奴も珍しくないのに
0225１３２人目の素数さん
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2020/05/15(金) 20:00:18.07ID:ugOrNQS2
ぱらぱら眺めて、言葉だけ覚えて、勉強した気になるアホはどこにでも一定数いる。
0226１３２人目の素数さん
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2020/05/15(金) 20:15:14.67ID:hmvVN81A
東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た
0230１３２人目の素数さん
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2020/05/25(月) 18:15:15.58ID:as7r/XH1
｛x｝= x -［x］
　　= 1/2 - Σ[k=1,∞］sin(2kπx)/(kπ),

[大学学部レヴェル質問スレ１３．398]
0231１３２人目の素数さん
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2020/05/26(火) 12:10:54.97ID:epuMy11v
>>229
局所体Kの付値環oがコンパクトだな
局所体は自明ではない乗法付値に対して非連結な局所コンパクト付値体なので、局所コンパクトな体だけでは条件が恐らく足りない

Kの付値環oは(局所体が持つ正規(特に離散)指数付値が定める付値環なので)離散付値環である
よって以降離散付値環に対して議論すればよい
一般に、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、oとlim_← o/p^nは代数的同型かつ同相…①

一方、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、商群p^m/p^{m+1}とo/pは同型なので、任意のn∈Nに対して商環o/p^nは有限で、特にコンパクトである
よってチコノフの定理よりΠ_{n=1}^{∞}o/p^nもコンパクトで、コンパクトの閉部分集合はコンパクトなのでlim_← o/p^nもコンパクト
①よりoもコンパクトである
0232１３２人目の素数さん
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2020/05/26(火) 12:28:18.19ID:epuMy11v
すまん、離散付値環に対して議論すればよい
って書いてるけど、
離散付値に関して完備、剰余類体が有限という局所体の条件を使ってるから、
一般の離散付値環がコンパクトとは限らない
0233１３２人目の素数さん
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2020/05/26(火) 12:55:02.26ID:aYF++qy3
誰かの定理で局所コンパクト体が結局標準的な局所コンパクト体しかないって定理あったと思うんだけとなんだっけ？
名前がアルファベットで四文字くらいだった記憶がある。
ググっても見つからない。
0237１３２人目の素数さん
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2020/05/30(土) 21:59:15.77ID:JGHWf3RD
a, bを互いに素な整数

p ≡ b (mod a)

となるpが少なくとも1つ存在することは、初等的に示せる？
0238１３２人目の素数さん
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2020/05/30(土) 22:44:12.93ID:fvfWwsTO
modular curveのuniversal elliptic curveって何

なんかの表現可能関手のuniversal element？
0239１３２人目の素数さん
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2020/05/31(日) 00:02:06.93ID:eEopntvU
>>237
bが1のときは確か円分多項式を利用してできるハズ。
一般にはむずかしい。
セルバーグの論文があったはず。(確か1950)
0244１３２人目の素数さん
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2020/06/01(月) 05:17:10.22ID:eforR3dR
はてなブログの「算術級数定理についての注意」という記事に書いてありますね。
（リンクが貼れない。）
「少なくとも一つ」としても簡単にならないという話です。
0247１３２人目の素数さん
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2020/06/01(月) 13:51:11.16ID:sNl9LSwh
>>245
厳密には>>237よりも少し強い存在定理
a, b が互いに素な正整数ならば、 p = an + b が素数となる整数 n > 0 が少なくとも1つ存在する
が成り立てば、無数にあるということか
a > 0 かつ b > 0 で n > 0 なら p > b だから、 ap と b が互いに素になるということが重要なのか
0248１３２人目の素数さん
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2020/06/01(月) 17:35:55.64ID:2UPE3bfX
a,b固定ではなく互いに素な組すべてに対して存在を仮定してるのが味噌だね
0249１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 00:09:32.46ID:C/B76sA8
>>247
>>237の条件でも、すべての(a,b)=1 なる正整数につき少なくとも一つ
pが存在するなら、[a,b]ごとに無限に存在することは言えますね。
算術級数達は直感的に思うより交わりがあるということかな？
当然と言えば当然なのか？
それを使って何か知見が得られればいいけど。
0250１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 00:35:24.82ID:C/B76sA8
a≧2,a≧b≧1なるすべての互いに素な整数の順序対[a,b]に対して
(1) p≡b (mod a)
をみたす素数pが少なくとも1つ存在する
(2) p≡b (mod a) かつ p>b
をみたす素数pが少なくとも1つ存在する
(3) p≡b (mod a)　
をみたす素数pは無限に存在する。

が成立することは同値。

(1)⇒(2)の証明
(k,a+b)=1なる整数kを十分大きく（a+b<kaをみたすように）取ると（(ka,a+b)=1でもあるから）(1)より
p≡a+b (mod ka)
をみたす素数pが存在するが、pは条件をみたしている。

(2)⇒(3)の証明
p≡b (mod a)かつp>b をみたす素数全体の集合をSとおくと(2)よりSは少なくとも1つの素数を含む。
Sを有限集合として矛盾を導く。Π_{p∈S}p=Πとおくと(2)より
q≡b　(mod aΠ), q>b
をみたす素数qが少なくとも1つ存在するが、qはq≡b (mod a)，q>b，Sに属するどの素数でも割れない
をすべてみたすことになり矛盾する。
0251１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 07:27:45.66ID:iA0eGlWC
>>250
>(1)⇒(2)の証明

なるほど、それは気が付きませんでした
もし b が素数なら p = b と取れてしまうので困る気がしたのですが、
gcd(a, b) = 1 かつ gcd(k, a+b) = 1 ならば gcd(ka, a+b) = 1
が成り立つので問題ないわけですね
そして a+b < ka となる k を選べば p - (a+b) > 0 も言えると
0253１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 13:46:17.80ID:rz7PxQTp
Gをabel群とし、C(G)で各開集合にGを割り当てる前層の層化を表すことにします

lを素数として、

lim[n]C(ℤ/l^nℤ)　　（ℤ/l^nℤの定数層の逆極限）

と

C(ℤ_l)　　（l進整数環の定数層）

は異なりますか？
0256１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 20:30:57.91ID:B1PZCxtK
U⊂Xを開集合として、mをUの連結成分の個数として

C(Z_l)(U) = (Z_l)^m

(limC(Z/l^nZ))(U)
= lim(C(Z/l^nZ)(U))
= lim((Z/l^nZ)^m)
= (lim(Z/l^nZ))^m
= (Z_l)^m
0260１３２人目の素数さん
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2020/06/05(金) 08:16:43.76ID:QWbDfVZz
局所環ではなく局所体

Qpや、Fp((X))


あ、自分で書いて答え見つけたわ
0263１３２人目の素数さん
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2020/06/30(火) 14:51:19.17ID:ISnsWMi+
いろいろ順番前後するけど

朝は、Chebotarevの密度定理から既約なGalois表現がFrobenius元のトレースで決まることの証明を読んだ
0264１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 19:43:31.81ID:HPDcrjtp
整数の組(a,b) が
・gcd(a,b) = 1,
・|x-a|≦1, |y-b|≦1, (x,y)≠(a,b) の8点 (x,y) について
　gcd(x,y) >1,
を満たすとき (a,b)を縄張り(シマ)とよぶ。

(1)
　(a,b) = (55,21)　はシマか？

(2)
　(a,b) = (55(2･21m+1), 21)　　　　　m≧0
　(a,b) = (55, 21(2･55n+1))　　　　　n≧0
について
　gcd(a,b) = 1,
　gcd(a±1,b±1) ≧ 2,
　gcd(a-1,b) ≧ 3,
　gcd(a,b-1) ≧ 5,
　gcd(a+1,b) ≧ 7,
　gcd(a,b+1) ≧ 11,
を示せ。
0265１３２人目の素数さん
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2020/07/07(火) 12:50:37.39ID:lCR7ncGj
志村が「数学をいかに使うか」シリーズで、「この公式は私の本には書いてあるが他には書いてない」「これについて私の本より上手く説明した本はない」などとやたら自画自賛してるので、Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functionsを手に入れようかなと思い始めた
0266１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 14:33:23.50ID:DxW3rUsG
しかしたとえば、高木貞治が「超幾何級数やゼータ関数などについては解析概論には詳しく書いてあるが、他の微分積分の本には無い」とか「Cauchyの積分定理はGreenの定理を使わずに導出するのがよく、そうしている本は日本では解析概論以外に無い」とか言ったとして、別に解析概論欲しくならんよな
0267１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 20:19:02.57ID:7vxztQCR
>>264
(3)
　(a,b) = (55(N+1), 21(N-1))
　(a,b) = (55(N-1), 21(N+1))　　　Nは2･55･21の倍数
もシマか？
0268１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 19:51:11.30ID:VNvrUmFY
志村本届いた
1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない
むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける
まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが
0269１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 19:55:39.96ID:yxtPx6kC
アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな
0270１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 20:01:59.04ID:XlPTlzjS
前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め（意訳）」と書いてありますね
0271１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/09(木) 17:43:17.14ID:0Nu9leD4
Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか？整数環がUFDなら成り立つが
……

base changeして既約でなくなると困るんだけど
0273１３２人目の素数さん
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2020/07/15(水) 11:01:19.49ID:JG4qV0Js
ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか？

というのも岩波数論Ⅱで
ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して
p|D_r ⇔ p-1|r
という記述があったのですが
一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な
p|D'_r ⇔ p-1|r
があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに
最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました

例えば
B_10=5/(2×3×11)
B_14=7/(2×3)
B_22=(11×131×593)/(2×3×23)
となっていて
たしかに5、7、11が分子にいます
0274１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/15(水) 11:02:04.93ID:JG4qV0Js
ついでなんですが数論Ⅱで
p|D_r ⇔ p-1|r は
D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式
D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q))
を使って証明してるんですが
この表示の良い文献があれば教えてください
0278１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/21(金) 07:46:00.84ID:eKSCCB4p
xが整数でないとき
　{x} = x - [x] = x - floor(x) = 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π.
0279１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/21(金) 07:47:24.68ID:eKSCCB4p
　{x} = x - [x] = x - floor(x)
とする。
　Σ(j=1,n) {jk/n} = (n - gcd(n,k))/2.

面白スレ３２－926
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/09(水) 23:09:01.89ID:IR7822fG
類体論を勉強する

加藤黒川斎藤を読めばええの
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