整数論を勉強するためのスレッド
>>180 e(n) := nを偶数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数 o(n) := nを奇数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数 とすると、x^nの係数は e(n) - o(n) n=pq(異なる素数の積)のときn次の円分多項式の係数が-1〜1しか取らないことの証明教えて (このことからn=p^iq^jのときもそうなる) >>183 あれ? それ成立しないって聞いた記憶かるけど? >>185 それはnが3つ以上の奇素数の積のときではなく? ベルトラン仮説や算術級数定理のような素数に関する素朴でシンプルな定理あれば教えてください (上のレーニの定理は少し複雑だなという感想です) >>187 ゴールドバッハの予想 >全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる ウェアリングの問題、ゴールドバッハの予想 >>119 ヴィノグラードフの定理 >>129 レー二の定理 >>177 Zero-sum problem、エルデシュ=ギンツブルグの定理 >>108 バーゼル問題 >>127 虚数乗法 >>11 、類数公式 >>80-91 おお!ありがとう ヴィノグラードフとエルデシュ=ギンツブルグ初めて知りました ベルトランの仮説はゴールドバッハの予想から持ってこれる。中国剰余定理とフェルマーの小定理は素数の定義と3000時間にらめっこしてれば大体の人が自力発見できると思う 赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。 i_1 + i_2 = i, j_1 + j_2 = j k_1 + k_2 = k, (i,j,k)が i+j+k = 偶数, |i-j| ≦ k ≦ i+j, の条件を満たすとき、 {i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2} ←集合として同じ とすることができるか? (色違いは許して同数) >>190 H_n = Σ[k=1,n] 1/k < Π[p≦n] (1+1/p+1/pp+・・・・) = Π[p≦n] 1/(1-1/p) = Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)} = 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)} < 2Π[p<n] (1 + 1/p) < 2 exp(Σ[p<n] 1/p), H_n → ∞ (n→∞) より Σ[p<n]1/p → ∞ (n→∞) 保型形式は、楕円関数論の延長としてやるのが好ましいね Δ=G_2^3 - 27G_3^2 とか言われても、係数の意味わかんねーし モジュラー形式をリー群に一般化したのが保型形式だけど、後々保型形式を勉強することを見越してモジュラー形式を保型形式と呼ぶことがあるから、恐らくモジュラー形式の話だろう 保型形式"論"では判別式は登場しないので知らなくても問題ない 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku 昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、 学コンBコースが 1/1 = 100% , 宿題が 3/10 = 30% でした! 宿題の勝率が低すぎると思うので、 これからは一層精進していきたいです! https://twitter.com/shukudai_sujaku https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) フェルマーの最初の定理って何だろう? 〔問題〕 n≧0 に対して F_n = 2^(2^n)+ 1 とおく。 (1) F_{n+1}- 2 = F_n (F_n - 2)を示せ。 (2) m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。 (3) 奇素数が無限個あることを示せ。 もちろん、F_n が素数とは限らない。 >>198 i_1 = j_2 =(i+j-k)/2, j_1 = k_2 =(-i+j+k)/2, k_1 = i_2 =(i-j+k)/2, など。(Ravi変換?) SerreのA Course in Arothmeticを読んでいます。 2章のはじめの定理の証明に、「ℤpはコンパクトであるため〜」(ℤpはp進整数環)とサラッと書いてあるのですが、どう証明するのでしょうか 局所体Kは局所コンパクトであり、その付値環οはコンパクトである Qpは局所体なので、その付置環Zpはコンパクトである 一般論知ってるとそうなるんですね。 局所体について書いてある本読んで見ます。 永田の可換体論かSerreのLocsl Fieldsに載ってるかな >>208 Z/pZの可算直積と見てチコノフの定理とかでいいんじゃなかったっけ? p進整数はp進展開と1対1に対応するので、 X:=Π[n∈ℕ]ℤ/pℤ からの全射が存在。 各ℤ/pℤに離散位相を入れ、積位相を考えると、Tychonoffの定理よりXはコンパクト。 なので、上の全射が連続写像であることを示せば良い。 ℤpは位相群なので、0の閉近傍系p^nℤpがの逆像がXの閉集合になることを示せば十分。 nは任意に取り、p^nℤpの逆像をFとすると、Fは(... , n(p+2) , n(p+1), 0, ..., 0, 0)の形のもの全体。この補集合は、有限個の開集合×残り全部ℤ/pℤなので、Xの開集合。したがって連続。□ こんな感じか >>208 Serreの流れだと有限環ℤ/p^nの射影極限だから有限集合(コンパクト)の(無限)直積で(チコノフの定理より?)コンパクトというつもりでしょ その商体Q_pはそれゆえ局所コンパクトという論法だろう すべての副有限群はコンパクトってことか wiki読んでて知ったんだがすべての副有限群はある拡大のガロア群になるらしいね Z_pをガロア群として持つような拡大って例えば何? みなさんありがとうございます。 非自明なのは、チコノフの定理と、積位相とp進距離による位相がちゃんと対応するところですね >>216 pを奇素数 Gal(ℚ(ζ_p^(n+1))/ℚ) 〜(ℤ/p^(n+1)ℤ)^× 〜(ℤ/(p-1)ℤ)×(ℤ/p^nℤ) なので、ℚ(ζ_p^(n+1))の部分体K_nで、Gal(K_n/ℚ)〜ℤ/p^nℤとなるものが存在する K=∪[n≧1]K_n とすれば、Gal(K/ℚ)〜ℤ_p というふうに構成できたはず。 こんなことしなくても、 K_n=ℚ(ζ_p^(n+1)) K_∞=∪[n≧1]K_n とすれば、 Gal(K_n/K_0)〜ℤ/p^nℤ だから、Gal(K_∞/K_0)〜ℤ_pか >>218 なるほど、バチの方からうまく取り出すのか とはいえ最終形が謎すぎるな あー、p-1の方はQ(ζ_p)から始めれば消せるのか お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか? @自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか? A自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか? よろしくお願いします ググると、徳島大学の学部4年生が1年で Neukirchと、Hartshorneと、SerreのLocal Fieldsと、SGA 4 1/2の1章 を読了しているセミナーの報告が出てくるが、ホンマかいな 京大のAコースでもM1でHartshorne読み終わる奴も珍しくないのに ぱらぱら眺めて、言葉だけ覚えて、勉強した気になるアホはどこにでも一定数いる。 東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た 恥ずかしいことだが京理4回の講究は>>208 で必ず引っかかる >>210 局所コンパクトな体の付値環がコンパクトってどう証明するんですか? {x}= x -[x] = 1/2 - Σ[k=1,∞]sin(2kπx)/(kπ), [大学学部レヴェル質問スレ13.398] >>229 局所体Kの付値環oがコンパクトだな 局所体は自明ではない乗法付値に対して非連結な局所コンパクト付値体なので、局所コンパクトな体だけでは条件が恐らく足りない Kの付値環oは(局所体が持つ正規(特に離散)指数付値が定める付値環なので)離散付値環である よって以降離散付値環に対して議論すればよい 一般に、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、oとlim_← o/p^nは代数的同型かつ同相…@ 一方、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、商群p^m/p^{m+1}とo/pは同型なので、任意のn∈Nに対して商環o/p^nは有限で、特にコンパクトである よってチコノフの定理よりΠ_{n=1}^{∞}o/p^nもコンパクトで、コンパクトの閉部分集合はコンパクトなのでlim_← o/p^nもコンパクト @よりoもコンパクトである すまん、離散付値環に対して議論すればよい って書いてるけど、 離散付値に関して完備、剰余類体が有限という局所体の条件を使ってるから、 一般の離散付値環がコンパクトとは限らない 誰かの定理で局所コンパクト体が結局標準的な局所コンパクト体しかないって定理あったと思うんだけとなんだっけ? 名前がアルファベットで四文字くらいだった記憶がある。 ググっても見つからない。 整数問題の史上最高傑作?(Passlabo) aa+bb+cc = 292 のとき、整数(a,b,c)を求めよ。 http://www.youtube.com/watch?v=9OXdzn6hby0 13:24 {a,b,c}={±2, ±12, ±12}と{0, ±6, ±16} >>233 なんかブルバキっぽい話題だな、ヴェイユあたりか?知らんけど a, bを互いに素な整数 p ≡ b (mod a) となるpが少なくとも1つ存在することは、初等的に示せる? modular curveのuniversal elliptic curveって何 なんかの表現可能関手のuniversal element? >>237 bが1のときは確か円分多項式を利用してできるハズ。 一般にはむずかしい。 セルバーグの論文があったはず。(確か1950) >>239 >>237 は「少なくとも1つ」ならば易しくなるか?と聞いてるのでは 俺もわからん >>240 なるほど、そうだ。 でも“少なくともひとつ”でも聞いたことないな。 ID:JGHWf3RD ID:fvfWwsTO ageるな はてなブログの「算術級数定理についての注意」という記事に書いてありますね。 (リンクが貼れない。) 「少なくとも一つ」としても簡単にならないという話です。 「少なくとも1つ」と「無数に」が同値になるのか 知らなかった >>245 厳密には>>237 よりも少し強い存在定理 a, b が互いに素な正整数ならば、 p = an + b が素数となる整数 n > 0 が少なくとも1つ存在する が成り立てば、無数にあるということか a > 0 かつ b > 0 で n > 0 なら p > b だから、 ap と b が互いに素になるということが重要なのか a,b固定ではなく互いに素な組すべてに対して存在を仮定してるのが味噌だね >>247 >>237 の条件でも、すべての(a,b)=1 なる正整数につき少なくとも一つ pが存在するなら、[a,b]ごとに無限に存在することは言えますね。 算術級数達は直感的に思うより交わりがあるということかな? 当然と言えば当然なのか? それを使って何か知見が得られればいいけど。 a≧2,a≧b≧1なるすべての互いに素な整数の順序対[a,b]に対して (1) p≡b (mod a) をみたす素数pが少なくとも1つ存在する (2) p≡b (mod a) かつ p>b をみたす素数pが少なくとも1つ存在する (3) p≡b (mod a) をみたす素数pは無限に存在する。 が成立することは同値。 (1)⇒(2)の証明 (k,a+b)=1なる整数kを十分大きく(a+b<kaをみたすように)取ると((ka,a+b)=1でもあるから)(1)より p≡a+b (mod ka) をみたす素数pが存在するが、pは条件をみたしている。 (2)⇒(3)の証明 p≡b (mod a)かつp>b をみたす素数全体の集合をSとおくと(2)よりSは少なくとも1つの素数を含む。 Sを有限集合として矛盾を導く。Π_{p∈S}p=Πとおくと(2)より q≡b (mod aΠ), q>b をみたす素数qが少なくとも1つ存在するが、qはq≡b (mod a),q>b,Sに属するどの素数でも割れない をすべてみたすことになり矛盾する。 >>250 >(1)⇒(2)の証明 なるほど、それは気が付きませんでした もし b が素数なら p = b と取れてしまうので困る気がしたのですが、 gcd(a, b) = 1 かつ gcd(k, a+b) = 1 ならば gcd(ka, a+b) = 1 が成り立つので問題ないわけですね そして a+b < ka となる k を選べば p - (a+b) > 0 も言えると >>251 >p - (a+b) > 0 ミス 正しくは p - (a+b) ≧ 0 です Gをabel群とし、C(G)で各開集合にGを割り当てる前層の層化を表すことにします lを素数として、 lim[n]C(ℤ/l^nℤ) (ℤ/l^nℤの定数層の逆極限) と C(ℤ_l) (l進整数環の定数層) は異なりますか? >>253 ageるなって言われてるのに無視するなよ、荒らし 最近age,sageを覚えたのかな? こんな過疎板で拘る意味ないよね U⊂Xを開集合として、mをUの連結成分の個数として C(Z_l)(U) = (Z_l)^m (limC(Z/l^nZ))(U) = lim(C(Z/l^nZ)(U)) = lim((Z/l^nZ)^m) = (lim(Z/l^nZ))^m = (Z_l)^m >>254 ageたらなんで悪いんだよ。こんな過疎板で拘るようなやつの気が知れないね。 任意の有限体に対して、それを剰余体に持つ局所体が存在するの? 局所環ではなく局所体 Qpや、Fp((X)) あ、自分で書いて答え見つけたわ SerreのCourse in Arithmetcのテータ関数のとこ読む いろいろ順番前後するけど 朝は、Chebotarevの密度定理から既約なGalois表現がFrobenius元のトレースで決まることの証明を読んだ 整数の組(a,b) が ・gcd(a,b) = 1, ・|x-a|≦1, |y-b|≦1, (x,y)≠(a,b) の8点 (x,y) について gcd(x,y) >1, を満たすとき (a,b)を縄張り(シマ)とよぶ。 (1) (a,b) = (55,21) はシマか? (2) (a,b) = (55(2・21m+1), 21) m≧0 (a,b) = (55, 21(2・55n+1)) n≧0 について gcd(a,b) = 1, gcd(a±1,b±1) ≧ 2, gcd(a-1,b) ≧ 3, gcd(a,b-1) ≧ 5, gcd(a+1,b) ≧ 7, gcd(a,b+1) ≧ 11, を示せ。 志村が「数学をいかに使うか」シリーズで、「この公式は私の本には書いてあるが他には書いてない」「これについて私の本より上手く説明した本はない」などとやたら自画自賛してるので、Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functionsを手に入れようかなと思い始めた しかしたとえば、高木貞治が「超幾何級数やゼータ関数などについては解析概論には詳しく書いてあるが、他の微分積分の本には無い」とか「Cauchyの積分定理はGreenの定理を使わずに導出するのがよく、そうしている本は日本では解析概論以外に無い」とか言ったとして、別に解析概論欲しくならんよな >>264 (3) (a,b) = (55(N+1), 21(N-1)) (a,b) = (55(N-1), 21(N+1)) Nは2・55・21の倍数 もシマか? 志村本届いた 1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな 前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め(意訳)」と書いてありますね Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか?整数環がUFDなら成り立つが …… base changeして既約でなくなると困るんだけど ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか? というのも岩波数論Uで ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して p|D_r ⇔ p-1|r という記述があったのですが 一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な p|D'_r ⇔ p-1|r があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに 最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました 例えば B_10=5/(2×3×11) B_14=7/(2×3) B_22=(11×131×593)/(2×3×23) となっていて たしかに5、7、11が分子にいます ついでなんですが数論Uで p|D_r ⇔ p-1|r は D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式 D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q)) を使って証明してるんですが この表示の良い文献があれば教えてください エタールコホモロジーなどは結果だけ使えればよいと思う >>230 x - (floor(x) + ceiling(x)-1) /2 = 1/2 - Σ(k=1,∞) sin(2πkx)/(kπ), [x] = floor(x), >>230 x - (floor(x) + ceiling(x)-1)/2 = 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π, xが整数でないとき {x} = x - [x] = x - floor(x) = 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π. {x} = x - [x] = x - floor(x) とする。 Σ(j=1,n) {jk/n} = (n - gcd(n,k))/2. 面白スレ32−926 Σ(j=1,n) [jk/n] = ( (n+1)k - n + gcd(n,k) )/2, 面白スレ32−927 84(n-24)-8000m+37=0 n=0〜2000、m=0〜20のn,mのうちもっとも上記式が成り立ちやすい(n,m)を求める。 n=95m+n'+24として -20m+84n'+37=0 -20(m-2)+84n'-3=0 m=4n'+m'+2として-20m'+4n'-3=0 n'=5m'+n''+1として4n''+1=0 よってn''=0 (略)こたえ:m=6 ナニコレ?これなんていう整数導出法なの? ceilとfloorの代数学?って面白いよね ステップ、signam、Iverson括弧… 等々を駆使して変な表式を作るのが好きだ 〔例〕方程式 xx - 3yy ≡ -1 (mod 3) xx - 3yy ≡ -1 (mod 4) が一般には整数解をもたないことを示せ。 A.O.ゲリファント「方程式の整数解」東京図書 数学新書5 (1960) 銀林 浩 訳 p.56-57 例 (上) xx - 3yy ≡ xx ≠ -1 (mod 3) (下) xx - 3yy ≡ xx + yy ≠ -1 (mod 4) 素測地線って数論への応用はあるのですか? それとも単なる数論的な類似物に過ぎないなのですか? (11^5 + 11 + 1)/(11^5 + 11^4 + 1) を約分せよ。 (略解) x^5 + x + 1, x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' (1の3乗根) のとき 0, 因数定理より (x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。 x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1), x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1), ∴ (与式) = (x^3 -xx +1)/(x^3 -x +1) MathLABO 東大・医 (?) http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30 〔Wilsonの定理〕 (n-1)! ≡ -1 (mod n) (nは素数) (n-1)! ≡ 2 (mod n) (n=4) (n-1)! ≡ 0 (mod n) (nは合成数(>4)) 1≦m<n なるmのうち, nと素であるものを 正則元とよぶ。 〔土岡の定理〕 3以上の自然数nに対して (1) Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1 (mod n) (2) -1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。 (pは奇素数で e≧1) 数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar) p.69-70 NOTE mを自然数とする。次式を因数分解せよ。 2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2} 2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1} 2^{2m-2} + 3^{2m} + 6^m 2^{2m-4} + 3^{2m+1} + 6^m [面白スレ39.472] 2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 2^e = n! の自然数解 (a≦b≦c≦d≦e; n) は何個あるか? [面白スレ39.481] f(x) = (x^100 +1)^100 + (x^2 +1)^100 + 1 は x^3 -1 で割り切れるか。 2003年京大前期(?)、改作 [高校数学の質問スレPart414.427] f(x) = (x^100 +1)^100 - (x^2 +1)^100 + x^100 - x^2 は x^3 -1 で割り切れるか。 n進数におけるレピュニット数の性質はnによらず同じ? >>288 イデアル論が代数幾何の基礎になったように 類体論が被覆空間の幾何の基礎になってもよい >>299 エントロピーや測度論を介したつながりがある。 この間葉層構造の研究集会で Littlewood予想の話が出ていた。 Introduction to arithmetic theory of automorphic functions A. Gee, Class fields by Shimura reciprocity 1999. 平方剰余の相互法則の証明は 240以上あるそうだね 二つの奇素数を入れ替えることによって この世界に起きる変化が それほど多様であるということ。 PDEを使った証明があるという話を どこかで読んだような気がする 正しい定理はどう証明しようとも正しくなるはずだから、 それらの系統の異なる証明の存在の背後には何が隠れているのだろうか? 二つの奇素数を入れ替えることによって この世界に起きる変化が それほど多様であるということ。 余りとして負の数を許すことによって 対称性が見やすくなるというのが ガウス タクシー数が オイラーやラマヌジャンによって詳しく研究されていたことを 今日初めて知った Hamburgerはモーメント問題を解いただけかと思っていた。 >>136 この著書の佐藤先生はあの新谷卓郎先生の弟子 ただ佐藤先生の弟子がいるのかは知らない F.Sato, On zeta functions of ternary zero forms (1982) To the memory of Takuro Shintani https://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/records/39603 B\”ocherer予想の解決を大変喜んでおられたみたいだ ペアノの公理だけで定義される自然数、無限集合としてもっとも単純。 それを元にして符号拡張をして加減乗算ができるようにしただけの整数。 演算するのには連続性も解析性も極限も必要ない。 それだけの前提から、これほど多種多様で難しい問題が生じることが どうして可能になるのか、なんだかとっても不思議な気持ちがする。 整数を人類が自由に把握できるようになると考えるのはおこがましいのだろうか? Number Theory in Tokyo March 20-24, 2023 Tokyo Institute of Technology https://sites.google.com/view/ntint/ 剰余群がわからんから、整数論の剰余modに慣れようと初等整数論勉強してみたら初等幾何より難しい。 矢野先生の初等幾何とかは、図示で視覚的に勉強できるが整数論は、そこが違う。 初等幾何でも ユークリッドでもデカルトでもない 射影幾何になると難しい ポンスレとか 小平邦彦さんの『幾何のおもしろさ』が難しいのでずっと積読状態です。 タイトルを『幾何のむずかしさ』にかえてほしいです。 「幾何学大辞典」でも難しいとされていたようだった。 秋山武太郎がいいみたいだ。 置換群とかは線形代数で学ぶけど剰余群は整数論やってないと初見になるんだよな。 整数のmod3 による剰余類の集合は {0,1,2}ではなくて {{0, ±3, ±6,....}, {1, 1±3,1±6,1±9, ....} , {2, 2±3,2±6,..} } が本当は正しい。 つまり、それぞれの類は集合だ。 mod 7の剰余類は普通に日常生活をおくっているひとは身についている 簡単に {Z, Z+1, Z+2} と書いてもよかろう。 簡単に {3Z, 3Z+1, 3Z+2} と書いてもよかろう。 そんなこと言うなら2を{φ,{φ}}と書くのかって話になってくるじゃん >>334 ,336 実質的には時計の読み方とか帯分数として小学校でやらされてる。 >>338 でも足し算はともかく掛け算は曜日では分からんな 1→3→2→6→4→5→1 (×3による巡回) ε-N論法は、整数・自然数の証明に使うという点では数学的帰納法に似ていますね。 今、円分体上で素数を割る方法を勉強中 素イデアルを特定する方法までは分かったが そこから数を探すのが面倒・・・ 簡単のため素数pがmod qで1となる場合について完全分解する方法だけやってる 円分多項式Φqのmod pでの根を探せばいいことはわかった >>347 なんか出来たわ 1の11乗根を追加した体で23を分解した 分解の仕方は一意的ではないようだが Masleyとmontgomery J.Reine Angev. Math. '1976)によれば 1の11乗根を追加した体はUFD Z[ζ_11]はufdだから一意的にできると思うぞ ζ_11のQ上の最小多項式は φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1 これをmod 23で因数分解して φ = f_1^e_1 ... f_g^e_g (mod 23) となったとすると、(23)の素イデアル分解は、p_i = (23, f_i(ζ_11))として p_1^e_1 ... p_g^e_g。 なんかレスが束になってきた >>350-352 皆様ご指摘の通り 1の11乗根を追加した体 Z[ζ_11]はufdです ζ_11のQ上の最小多項式 φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1 をmod 23で因数分解すると (X-2)(X-4)(X-8)(X-16)(X-9)(X-18)(X-13)(X-3)(X-6)(X-12) となります これはX^11=1となるXをEXCELで求めました で、mod 23で、 18^2=2,16^3=2,8^4=2,6^5=2,4^6=2,3^7=2,13^8=2,9^9=2,12^10=2 なので,イデアルの代表元として(ζ^n-2)(n=1~10)を取り出して 全部掛ければ23になるかと思ったら・・・2047! で、2047=23*89で、mod 89でも2は根になるので、 原因はそのせいだと考えた。 その上で解決策として mod 89で根にならない数3と組み合わせればいいと考え 1の11乗根ζについて積 (ζ -ζ^8+1) (ζ^2-ζ^5+1) (ζ^3-ζ^2+1) (ζ^4-ζ^10+1) (ζ^5-ζ^7+1) (ζ^6-ζ^4+1) (ζ^7-ζ+1) (ζ^8-ζ^9+1) (ζ^9-ζ^6+1) (ζ^10-ζ^3+1) を計算したところ、23になりました やった! ただ・・・実は積 (ζ -ζ^9+1) (ζ^2-ζ^7+1) (ζ^3-ζ^5+1) (ζ^4-ζ^3+1) (ζ^5-ζ+1) (ζ^6-ζ^10+1) (ζ^7-ζ^8+1) (ζ^8-ζ^6+1) (ζ^9-ζ^4+1) (ζ^10-ζ^2+1) でも23になっちゃうことが発覚! この他、積が23になる場合が2通り、 都合4通り見つかりました イデアルとしては一意的だが 代表は一意じゃないってことか? 単数(単元)があるからね。 一意的というのは、単数を(1)とみなしてということだから。 >>354 あ、なるほど、そういうことか ありがとうございます >>356 面白いっすよ 学生のころは整数論には手ださなかったけどw tsujimotter氏他、ネットのHPには大いにお世話になりました ちなみに23のmod11での分解をやろうと思ったのは 別スレで、1の23乗根を1の11乗根で表す計算やったから (ちなみにそれも 出てきた式を因数分解してやろうと思ったんで計算してみた >>358 >ちなみにそれも・・・ EXCELで計算したw 平方剰余の相互法則をガウスが発見したのは 何歳の時かご存じの方はいますか。 1795年というのは本に書いてあったので 多分「数学日記」にあると思うのですが。 How can I recover the theory of classical modular forms of SL(2, Z) from the theory of automorphc forms of an adelic algebraic group? The two theories can be stated in parallel, but a priori, it does not seem that the one theory is a generalization of the other. As far as I've tried, just restricing the group action to the infinite place cannot derive the classical theory. Could you tell me the relationship between the two theories? Thank you. 層は局所と大域の差を測れる 層は代数体や代数曲線の関数体以外にも定義できる アデールは性質の良い位相が入ってる アデールは無限素点の情報が入ってる L/Kを代数体の有限次Abel拡大 C_KはKのイデール類群 相互律写像 K_v^× → C_K → Gal(K_ab/K) → Gal(L/K) x → (1, 1, ..., x, 1, ...) → Artin reciprocity → 写像の制限 は、Lで分岐するvではどういう写像になるの WeilのBasic Number Theoryを4章まで読んだ この本、難解だとよく言われるけど、証明や理論展開自体はかなり明快だと思う ただ、局所コンパクト位相群の性質からすべてを導いているのが硬派すぎる 代数的整数論の本なのに素イデアルって言葉すらほとんど出て来ない(他の本に比べると整数環が空気) 最初のほうに出てくる mod_K(λ) も具体例思い浮かばないとなんのこっちゃってなるかも あと、後半で単純環の理論を展開するためだろうけど、非可換な場合を含んだ書き方をしているから 可換な場合だけ念頭に置いて読むと意味分かんなくなるかも Riemann-Rochのところまでは問題なく読めそう 後半はもっと難しいのだろうか とりあえずここまで読んだ感想としては、個人的にはとても良い本だと思った >>とりあえずここまで読んだ感想としては、個人的にはとても良い本だと思った よかったね 可換環の性質には、局所化で保たれないものがあるけど 付値論的な方法は、そういう性質も調べられるの? たとえば、代数体Kの整数環O_KがUFDかどうかとか。 >>372 クンマーの理想数の理論は今日では 付値論に含まれるとされるらしい (足立恒雄の受け売り) 代数体Kの整数環O_KがUFDかどうかは クンマー理論の主目標だったことは よく知られている。 代数体Kの整数環O_KがUFDであることとKのイデアル類群が自明であることは同値だが、イデアル類群はイデール群の商で表せる 代数体KのDedekindゼータ函数ζ_K(s)はイデール群上の積分として表せ、Kの類数はその極s = 1での留数から計算できる 二次の不定方程式がQで解持つことと、Rとすべてのpに対するQ_pとで解を持つことが同値(Hasse-Minkowskiの定理) Artin相互律も、局所的な定理ではなく複数の素点の間の関係を述べるものであるが、イデール類群を用いて書ける というわけで、局所体への埋め込みの情報を束ねることで、大域的な情報が得られることが多々ある ただし、三次形式には局所大域原理が成り立たないように、すべてがこの方法で上手くいくわけではない Hasseの原理が2次形式に成立するからと言って、 3次の場合はどうか、4次の場合は、... というのは、否定的に解決された現在から見ると、あまりよい問題とは思えない 一方、代数群への拡張は成功しているし、こちらは自然に思える Daniel Marcus著『Number Fields』ってどうですか? 層が茎の直和で表されることと、アデールがZの素イデアルによる局所化の直積で表されることのアナロジーとして、アデールを層で定義するアプローチが自然に思える アデールには無限素点もついてるし、自己双対的な位相も入ってるし、Fourier解析もできるしな イデール類群の指標ってようは保型形式のGL(1)バージョンだし、代数幾何で言ったら微分形式に対応するCartier因子やん 曲線に関して言えばアデール(イデール)は可逆層の完全上位互換 アデールから層A^×, O^×を定義して、代数幾何と同様に 0 → H^0(O^×) → H^0(A^×) → Div(K) → Pic(K) → ... のようにできる? Div(K)はKのイデアル群 Pic(K)はKのイデアル類群 アデールから局所自由層を定義して、そのChern類は考えられる? 類体論はエタールコホモロジーに対するポアンカレ双対性なんだそうだ だから究極的には、あらゆるコホモロジーの双対定理も、ラングランズ対応も、物理学における双対性も、ひとつの原理で説明できる と思う Basic Number Theoryの単純環の章、おもろいやん アデールと同じやり方で中心的単純環に対してもゼータ関数が考えられる 吉田 敬之, 保型形式論 高瀬 幸一, 保型形式とユニタリ表現 Selbergの跡公式、志村多様体を解説した和書があれば、この分野も大分学びやすくなると思う 代数的サイクルとエタールコホモロジーも、日本語で読めるのはありがたい >>386 うーん、そうか? 代数的サイクルとエタールコホモロジーは演習問題が載ってるが回答がない 「この演習問題分からないな、Fultonのintersection theoryを見てみよう」ってどうせなるんなら、初めからFultonのintersection theoryや他の洋書を読んだ方が良い Knapp「Elliptic Curves」を読んだ人いますか? SilvermanのAECや、KoblitzのModular Formsと比べてどうですか? Basic Number Theoryって和訳あるの? ワシントンのサイクロトミックフィールドの和訳はあるの? ε-N(δ)論法って、唐突にδ=√(4+ε)-4を持ってきたりする時点で使いにくい。 整数論に数学的帰納法が使われてもε-N論法の出番が少ないのはそのためか。 >>400 >>唐突にδ=√(4+ε)-4を持ってきたりする時点で使いにくい。 微積の授業でそういう工夫に凝りだしたら終わりだ。 PDEの大家が談話室でその工夫を吹聴して 失笑を買った 乗算が結合法則を満たさない代数は如何に用いられているだろうか (どのような応用があるのだろうか?)。 結合法則は満たさないが可換な代数というものは存在するか? 乗法は交換法則より結合法則のほうが代数的に重要みたいだね。だから四元数は重要視されるが八元数は重視されない。 もちろん8元数は交換法則も満たさない。 結合法則を満たさない代数というものは 実数や複素数を要素とする行列による 乗算の線形表現が存在しないのが不便なのだろう。 さらに崩れていて(左右の)分配法則も満たさないような 代数だったなら、いったいどうなるのだろう? >>405-406 非結合代数で重要なのがリー環リー代数。 機体に穴があき酸欠状態に陥り あと10分しかなく、必死に家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。 想像してみてください。 //youtu.be/oWs3yvVADVg 数学的帰納法:貧乏人が1円もらったところで貧乏人だから、何円獲得しようとも貧乏人である。 ε-N論法:1億円以上持っていたら、金持ちである となるのかな。 コンパクト集合の補集合が 包含関係についてなす有向系の 射影極限の連結成分 2次元でエンドが2ならシュタインでない とはそういう意味だったんですね 多変数正則関数の解析接続について もっとも基本的な事実を知らなかったとは驚いた Grauertのいう「Komplexe Räume」(1958)を リーマン面の高次元版と思っていいんですか 射影平面の標準因子Kを計算した。 まず、P2の斉次座標をx, y, zとおく x ≠ 0の部分の座標を Y = y/x Z = z/x y ≠ 0の部分の座標を X' = x/y Z' = z/y とおくと xy ≠ 0の部分では Y = 1/X' Z = Z'/X' 微分dY∧dZは dY∧dZ = d(1/X')∧d(Z'/X') = -dX'/X'^2 ∧ (dZ'/X' - Z'dX'/X'^2) = -dX'/X'^3 だから、零点はなく、x = 0に3位の極をもつ よって、Hを超平面とすると K ~ -3H より一般に、Pnの標準因子Kは K ~ -(n + 1)H 2011年以来の問題について 最近の報道の質が低すぎる BS環境があれば観れる放送大学では「多面体と素数」やってるね。ちなみに教育TVの物理基礎はラストもの人生論が面白い。 昔の教育テレビの放送で 山崎先生の話の結びが「ハイゼンベルクはそういう人でした」だったことを憶えている。 整数は自然数の話に帰着できる。 自然数はペアノの公理で尽きているから、整数の性質はそれですべて尽くされている。 1)集合Nはある元"0"を含む。 2)Nの任意の要素xに対して succ(x)はNの要素である。 3)Nは性質 1)と2)を満たす最小の集合である。 蛇足、集合Nはsucc(x)が"0"となるようなxをその要素として含まない。 志村五郎「数学で何が重要か」の7. 代数的整数論で何に注意すべきかのp72-73 定理7.5. の「K ⊗_F P」は、「K ⊗_F F_P」ですよね? 以下にその前後を引用します。 Fを有限次代数的数体、KをFの有限次拡大とし、PをFの素イデアル、Q_1, ..., Q_gをKの素イデアルでPを含むものとする。 (中略) FのPに関する完備化をF_P、KのQ_iに関する完備化をK_Qiと書く。J_PをF_Pの中のP-進整数全体とし、J_QiをK_Qiの中のQ_i-進整数全体とする。この時、次の定理が基本的である。 定理7.5. K_P = K ⊗_F Pとすれば (7.7) K_P ~ K_Q1 ⊕ ... ⊕ K_Qg テータ関数の表現論がメタプレクティック群とかWeil表現とかあるけど、エータ関数にはないの? オイラー積←素因数分解 解析接続←メリン変換 関数等式←ポワソンの和公式 なのか K3曲面のモジュライ空間は 偏極によっては数体上定義されるのですか? 剰余関連はmod10をから考えると、わかりやすいな。日常使っている10進数の下一桁がmod10。あとmod2も偶数奇数で扱えるか。 Neukirch's book covers a lot of topics, but seems to lack the philosophy to organize them. Although the first two chapters are accessible to beginners, from chapter 3, the book rapidly becomes difficult. I think the best approach to claas field theory is Cassels-Fröhlich or Weil's book. 9 名前:132人目の素数さん 2024/01/11(木) 12:03:52.95 ID:lcnCNZs5 類体論は使えればよい だそうなので、計算してみた。 K = Q、m = 4Z⊂Zとする AをQのアデール群とする U = Π U_p ⊂ A^×を p = ∞なら、U_p = R^×_{>0} p ≠ 2なら、U_p = Z_p^× p = 2なら、U_p = 1 + 4Z_2 とする Q_abをQの最大Abel拡大とする Uは1の原始4乗根を動かさないわけなので、Uで不変なQ_abの部分体はQ(√-1) Gal(Q(√-1)/Q) ~ A^×/Q^× U ~ Z_2^×/(1 + 4Z_2) ~ Z/2Z pを2以外の素数とする a(p)∈A^×を v ≠ pなら、a(p)_v = 1 v = pなら、a(p)_v = p∈Z_p で定める A^× → A^×/Q^× U ~ Gal(Q(√-1)/Q) によるa(p)の像は、p≡1 (mod 4)なら1, p≡3 (mod 4)なら-1。 はい、よくできました💮 ちゃんとチェックしてないけど あなたは世の中に必要ない人間です いなくなって下さい Poisson和公式 →テータ函数の変換公式 →Riemannゼータ函数の函数等式 非自明なDirichlet指標χに対してL(1, χ)≠0 →算術級数定理 素数分布に関するチェビシェフの定理の エルデシュによる初等的証明 read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる