整数論を勉強するためのスレッド

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/07(火) 23:41:22.39

>>175
1どうしましょ

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/08(水) 01:58:42.77

>>175
レー二の定理

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%90%E3%83%83%E3%83%8F%E3%81%AE%E4%BA%88%E6%83%B3

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/08(水) 05:13:10.38

この人がコーヒーの有名な一節の親なのか
「すべての自然数」てのはwikiのミスかね

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/08(水) 17:53:12.92

> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2〜5個　短軸有利
宝：6〜13個　長軸有利
宝：14〜20個　同等

□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■

短軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

長軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

同等☆

Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/08(水) 19:08:41.74

(1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3) ...

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/10(金) 10:57:23.96

>>180
e(n) := nを偶数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数
o(n) := nを奇数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数

とすると、x^nの係数は

e(n) - o(n)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/10(金) 12:25:30.15

e(n) - o(n)は、-1～1しか取らない

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/11(土) 21:27:44.00

n=pq(異なる素数の積)のときn次の円分多項式の係数が-1～1しか取らないことの証明教えて
(このことからn=p^iq^jのときもそうなる)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/11(土) 21:45:35.93

自己解決した

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/12(日) 22:21:11.40

>>183
あれ？
それ成立しないって聞いた記憶かるけど？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/12(日) 22:32:34.23

>>185
それはnが3つ以上の奇素数の積のときではなく？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/13(月) 20:37:25.26

ベルトラン仮説や算術級数定理のような素数に関する素朴でシンプルな定理あれば教えてください
(上のレーニの定理は少し複雑だなという感想です)

◆QZaw55cn4c · 2020/04/13(月) 22:13:45.40

>>187
ゴールドバッハの予想
＞全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/13(月) 22:38:58.17

て、定理をお願いします…

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/13(月) 22:39:44.21

素数の逆数和は発散する

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/14(火) 11:01:55.50

フェルマーの小定理

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/14(火) 13:35:21.37

はよせい(｀_´)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/19(日) 03:16:44.85

ウェアリングの問題、ゴールドバッハの予想 >>119
ヴィノグラードフの定理 >>129
レー二の定理 >>177

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/19(日) 03:17:23.95

Zero-sum problem、エルデシュ＝ギンツブルグの定理 >>108
バーゼル問題 >>127
虚数乗法 >>11 、類数公式 >>80-91

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/19(日) 03:23:47.10

与えられた数より小さい素数の個数について >>16
https://ja.wikipedia.org/wiki/リーマン予想

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/19(日) 20:20:35.32

おお！ありがとう
ヴィノグラードフとエルデシュ=ギンツブルグ初めて知りました

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/20(月) 22:46:36.02

ベルトランの仮説はゴールドバッハの予想から持ってこれる。中国剰余定理とフェルマーの小定理は素数の定義と3000時間にらめっこしてれば大体の人が自力発見できると思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/23(木) 14:37:22.24

赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。
　i_1 + i_2 = i,
　j_1 + j_2 = j
　k_1 + k_2 = k,

(i,j,k）が
　i+j+k = 偶数,
　|i-j| ≦ k ≦ i+j,
の条件を満たすとき、
　{i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2}　　←集合として同じ
とすることができるか？
（色違いは許して同数）

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/24(金) 17:10:41.00

>>190
H_n = Σ[k=1,n] 1/k
< Π[p≦n] (1+1/p+1/pp+････)
= Π[p≦n] 1/(1-1/p)
= Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)}
= 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)}
< 2Π[p<n] (1 + 1/p)
< 2 exp(Σ[p<n] 1/p),

H_n → ∞　(n→∞)
より
Σ[p<n］1/p → ∞　(n→∞)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/24(金) 22:23:26.29

>>190

・高校数学の美しい物語
http://mathtrain.jp/primeinverse

・思考力を鍛える数学
http://www.mathlion.jp/article/ar085.html

・数学探偵Channel
http://www.youtube.com/watch?v=eLgNAMAAo2M 02:53

・杉山＆ヨビノリたくみ（鈴木貫太郎）
http://www.youtube.com/watch?v=-mGm9iGx9hg 41:25

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/30(木) 16:58:26.97

保型形式は、楕円関数論の延長としてやるのが好ましいね

Δ=G_2^3 - 27G_3^2

とか言われても、係数の意味わかんねーし

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/30(木) 17:53:00.38

それって極の係数合わせてるだけではないの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/30(木) 18:20:46.50

モジュラー形式をリー群に一般化したのが保型形式だけど、後々保型形式を勉強することを見越してモジュラー形式を保型形式と呼ぶことがあるから、恐らくモジュラー形式の話だろう
保型形式"論"では判別式は登場しないので知らなくても問題ない

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/01(金) 14:34:31.11

>>198
できる。これは何かの有名な問題？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/04(月) 14:16:03.55

3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/09(土) 08:44:51.34

フェルマーの最初の定理って何だろう？

〔問題〕
n≧0 に対して　F_n = 2^(2^n）+ 1　とおく。
(1)　F_{n+1｝- 2 = F_n (F_n - 2）を示せ。
(2)　m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。
(3)　奇素数が無限個あることを示せ。

もちろん、F_n が素数とは限らない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/09(土) 08:56:44.74

>>198
i_1 = j_2 =（i+j-k)/2,
j_1 = k_2 =（-i+j+k)/2,
k_1 = i_2 =（i-j+k)/2,
など。(Ravi変換?)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 18:24:34.89

SerreのA Course in Arothmeticを読んでいます。
2章のはじめの定理の証明に、「ℤpはコンパクトであるため～」(ℤpはp進整数環)とサラッと書いてあるのですが、どう証明するのでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 18:40:45.70

Aerosmithに見えた

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 18:50:42.02

局所体Kは局所コンパクトであり、その付値環οはコンパクトである
Qpは局所体なので、その付置環Zpはコンパクトである

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 18:56:11.96

一般論知ってるとそうなるんですね。
局所体について書いてある本読んで見ます。
永田の可換体論かSerreのLocsl Fieldsに載ってるかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 18:57:43.51

>>208
Z/pZの可算直積と見てチコノフの定理とかでいいんじゃなかったっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 18:59:46.73

p進整数はp進展開と1対1に対応するので、

X:=Π[n∈ℕ]ℤ/pℤ

からの全射が存在。
各ℤ/pℤに離散位相を入れ、積位相を考えると、Tychonoffの定理よりXはコンパクト。
なので、上の全射が連続写像であることを示せば良い。

ℤpは位相群なので、0の閉近傍系p^nℤpがの逆像がXの閉集合になることを示せば十分。
nは任意に取り、p^nℤpの逆像をFとすると、Fは(... , n(p+2) , n(p+1), 0, ..., 0, 0)の形のもの全体。この補集合は、有限個の開集合×残り全部ℤ/pℤなので、Xの開集合。したがって連続。□

こんな感じか

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 19:07:42.38

>>208
Serreの流れだと有限環ℤ/p^nの射影極限だから有限集合（コンパクト）の（無限）直積で（チコノフの定理より？）コンパクトというつもりでしょ
その商体Q_pはそれゆえ局所コンパクトという論法だろう

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 19:10:55.61

あっ，もう済んでた！

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 19:32:25.84

すべての副有限群はコンパクトってことか
wiki読んでて知ったんだがすべての副有限群はある拡大のガロア群になるらしいね
Z_pをガロア群として持つような拡大って例えば何？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 19:33:19.62

みなさんありがとうございます。

非自明なのは、チコノフの定理と、積位相とp進距離による位相がちゃんと対応するところですね

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 19:47:30.98

>>216
pを奇素数

Gal(ℚ(ζ_p^(n+1))/ℚ)
～(ℤ/p^(n+1)ℤ)^×
～(ℤ/(p-1)ℤ)×(ℤ/p^nℤ)

なので、ℚ(ζ_p^(n+1))の部分体K_nで、Gal(K_n/ℚ)～ℤ/p^nℤとなるものが存在する

K=∪[n≧1]K_n

とすれば、Gal(K/ℚ)～ℤ_p

というふうに構成できたはず。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 19:56:01.79

こんなことしなくても、

K_n=ℚ(ζ_p^(n+1))
K_∞=∪[n≧1]K_n

とすれば、

Gal(K_n/K_0)～ℤ/p^nℤ

だから、Gal(K_∞/K_0)～ℤ_pか

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 19:56:11.65

>>218
なるほど、バチの方からうまく取り出すのか
とはいえ最終形が謎すぎるな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:00:02.58

あー、p-1の方はQ(ζ_p)から始めれば消せるのか

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 02:03:48.03

お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか？

①自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？

②自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？

よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 18:07:54.65

ID:bNx4VBt3
ageるな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 19:11:44.38

ググると、徳島大学の学部4年生が1年で
Neukirchと、Hartshorneと、SerreのLocal Fieldsと、SGA 4 1/2の1章
を読了しているセミナーの報告が出てくるが、ホンマかいな
京大のAコースでもM1でHartshorne読み終わる奴も珍しくないのに

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 20:00:18.07

ぱらぱら眺めて、言葉だけ覚えて、勉強した気になるアホはどこにでも一定数いる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 20:15:14.67

東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 20:31:50.23

B4ならこんなもんじゃないの

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 17:20:29.34

恥ずかしいことだが京理4回の講究は>>208で必ず引っかかる

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 20:10:13.53

>>210
局所コンパクトな体の付値環がコンパクトってどう証明するんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/25(月) 18:15:15.58

｛x｝= x -［x］
　　= 1/2 - Σ[k=1,∞］sin(2kπx)/(kπ),

[大学学部レヴェル質問スレ１３．398]

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/26(火) 12:10:54.97

>>229
局所体Kの付値環oがコンパクトだな
局所体は自明ではない乗法付値に対して非連結な局所コンパクト付値体なので、局所コンパクトな体だけでは条件が恐らく足りない

Kの付値環oは(局所体が持つ正規(特に離散)指数付値が定める付値環なので)離散付値環である
よって以降離散付値環に対して議論すればよい
一般に、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、oとlim_← o/p^nは代数的同型かつ同相…①

一方、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、商群p^m/p^{m+1}とo/pは同型なので、任意のn∈Nに対して商環o/p^nは有限で、特にコンパクトである
よってチコノフの定理よりΠ_{n=1}^{∞}o/p^nもコンパクトで、コンパクトの閉部分集合はコンパクトなのでlim_← o/p^nもコンパクト
①よりoもコンパクトである

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/26(火) 12:28:18.19

すまん、離散付値環に対して議論すればよい
って書いてるけど、
離散付値に関して完備、剰余類体が有限という局所体の条件を使ってるから、
一般の離散付値環がコンパクトとは限らない

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/26(火) 12:55:02.26

誰かの定理で局所コンパクト体が結局標準的な局所コンパクト体しかないって定理あったと思うんだけとなんだっけ？
名前がアルファベットで四文字くらいだった記憶がある。
ググっても見つからない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/26(火) 23:31:49.12

整数問題の史上最高傑作？（Passlabo）

aa+bb+cc = 292 のとき、整数(a,b,c）を求めよ。

http://www.youtube.com/watch?v=9OXdzn6hby0 13:24

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/26(火) 23:34:53.04

{a,b,c｝=｛±2, ±12, ±12｝と｛0, ±6, ±16}

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/27(水) 03:30:02.23

>>233
なんかブルバキっぽい話題だな、ヴェイユあたりか？知らんけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/30(土) 21:59:15.77

a, bを互いに素な整数

p ≡ b (mod a)

となるpが少なくとも1つ存在することは、初等的に示せる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/30(土) 22:44:12.93

modular curveのuniversal elliptic curveって何

なんかの表現可能関手のuniversal element？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/31(日) 00:02:06.93

>>237
bが1のときは確か円分多項式を利用してできるハズ。
一般にはむずかしい。
セルバーグの論文があったはず。(確か1950)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/31(日) 08:58:38.50

>>239
>>237は「少なくとも1つ」ならば易しくなるか？と聞いてるのでは
俺もわからん

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/31(日) 12:38:45.35

やっぱディリクレの算術級数定理ってすげーわ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/31(日) 15:47:15.60

>>240
なるほど、そうだ。
でも“少なくともひとつ”でも聞いたことないな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/31(日) 18:54:12.79

ID:JGHWf3RD
ID:fvfWwsTO
ageるな

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/01(月) 05:17:10.22

はてなブログの「算術級数定理についての注意」という記事に書いてありますね。
（リンクが貼れない。）
「少なくとも一つ」としても簡単にならないという話です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/01(月) 11:28:05.49

「少なくとも1つ」と「無数に」が同値になるのか
知らなかった

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/01(月) 11:49:54.17

マジか

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/01(月) 13:51:11.16

>>245
厳密には>>237よりも少し強い存在定理
a, b が互いに素な正整数ならば、 p = an + b が素数となる整数 n > 0 が少なくとも1つ存在する
が成り立てば、無数にあるということか
a > 0 かつ b > 0 で n > 0 なら p > b だから、 ap と b が互いに素になるということが重要なのか

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/01(月) 17:35:55.64

a,b固定ではなく互いに素な組すべてに対して存在を仮定してるのが味噌だね

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 00:09:32.46

>>247
>>237の条件でも、すべての(a,b)=1 なる正整数につき少なくとも一つ
pが存在するなら、[a,b]ごとに無限に存在することは言えますね。
算術級数達は直感的に思うより交わりがあるということかな？
当然と言えば当然なのか？
それを使って何か知見が得られればいいけど。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 00:35:24.82

a≧2,a≧b≧1なるすべての互いに素な整数の順序対[a,b]に対して
(1) p≡b (mod a)
をみたす素数pが少なくとも1つ存在する
(2) p≡b (mod a) かつ p>b
をみたす素数pが少なくとも1つ存在する
(3) p≡b (mod a)　
をみたす素数pは無限に存在する。

が成立することは同値。

(1)⇒(2)の証明
(k,a+b)=1なる整数kを十分大きく（a+b<kaをみたすように）取ると（(ka,a+b)=1でもあるから）(1)より
p≡a+b (mod ka)
をみたす素数pが存在するが、pは条件をみたしている。

(2)⇒(3)の証明
p≡b (mod a)かつp>b をみたす素数全体の集合をSとおくと(2)よりSは少なくとも1つの素数を含む。
Sを有限集合として矛盾を導く。Π_{p∈S}p=Πとおくと(2)より
q≡b　(mod aΠ), q>b
をみたす素数qが少なくとも1つ存在するが、qはq≡b (mod a)，q>b，Sに属するどの素数でも割れない
をすべてみたすことになり矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 07:27:45.66

>>250
>(1)⇒(2)の証明

なるほど、それは気が付きませんでした
もし b が素数なら p = b と取れてしまうので困る気がしたのですが、
gcd(a, b) = 1 かつ gcd(k, a+b) = 1 ならば gcd(ka, a+b) = 1
が成り立つので問題ないわけですね
そして a+b < ka となる k を選べば p - (a+b) > 0 も言えると

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 07:31:38.49

>>251
>p - (a+b) > 0

ミス
正しくは p - (a+b) ≧ 0 です

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 13:46:17.80

Gをabel群とし、C(G)で各開集合にGを割り当てる前層の層化を表すことにします

lを素数として、

lim[n]C(ℤ/l^nℤ)　　（ℤ/l^nℤの定数層の逆極限）

と

C(ℤ_l)　　（l進整数環の定数層）

は異なりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 17:55:58.35

>>253
ageるなって言われてるのに無視するなよ、荒らし

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 19:28:27.62

最近age,sageを覚えたのかな？
こんな過疎板で拘る意味ないよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 20:30:57.91

U⊂Xを開集合として、mをUの連結成分の個数として

C(Z_l)(U) = (Z_l)^m

(limC(Z/l^nZ))(U)
= lim(C(Z/l^nZ)(U))
= lim((Z/l^nZ)^m)
= (lim(Z/l^nZ))^m
= (Z_l)^m

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/03(水) 18:58:41.49

>>254
ageたらなんで悪いんだよ。こんな過疎板で拘るようなやつの気が知れないね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/05(金) 08:07:31.91

任意の有限体に対して、それを剰余体に持つ局所体が存在するの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/05(金) 08:14:57.78

有限体kそれ自体が局所環でその剰余体はkですよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/05(金) 08:16:43.76

局所環ではなく局所体

Qpや、Fp((X))

あ、自分で書いて答え見つけたわ

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/05(金) 08:17:51.61

あ、ほんとだごめん
よく見てなかった

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/30(火) 14:48:11.03

SerreのCourse in Arithmetcのテータ関数のとこ読む

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/30(火) 14:51:19.17

いろいろ順番前後するけど

朝は、Chebotarevの密度定理から既約なGalois表現がFrobenius元のトレースで決まることの証明を読んだ

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/06(月) 19:43:31.81

整数の組(a,b) が
・gcd(a,b) = 1,
・|x-a|≦1, |y-b|≦1, (x,y)≠(a,b) の8点 (x,y) について
　gcd(x,y) >1,
を満たすとき (a,b)を縄張り(シマ)とよぶ。

(1)
　(a,b) = (55,21)　はシマか？

(2)
　(a,b) = (55(2･21m+1), 21)　　　　　m≧0
　(a,b) = (55, 21(2･55n+1))　　　　　n≧0
について
　gcd(a,b) = 1,
　gcd(a±1,b±1) ≧ 2,
　gcd(a-1,b) ≧ 3,
　gcd(a,b-1) ≧ 5,
　gcd(a+1,b) ≧ 7,
　gcd(a,b+1) ≧ 11,
を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 12:50:37.39

志村が「数学をいかに使うか」シリーズで、「この公式は私の本には書いてあるが他には書いてない」「これについて私の本より上手く説明した本はない」などとやたら自画自賛してるので、Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functionsを手に入れようかなと思い始めた

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 14:33:23.50

しかしたとえば、高木貞治が「超幾何級数やゼータ関数などについては解析概論には詳しく書いてあるが、他の微分積分の本には無い」とか「Cauchyの積分定理はGreenの定理を使わずに導出するのがよく、そうしている本は日本では解析概論以外に無い」とか言ったとして、別に解析概論欲しくならんよな

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 20:19:02.57

>>264
(3)
　(a,b) = (55(N+1), 21(N-1))
　(a,b) = (55(N-1), 21(N+1))　　　Nは2･55･21の倍数
もシマか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 19:51:11.30

志村本届いた
1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない
むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける
まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 19:55:39.96

アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 20:01:59.04

前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め（意訳）」と書いてありますね

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 17:43:17.14

Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか？整数環がUFDなら成り立つが
……

base changeして既約でなくなると困るんだけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 17:47:56.64

とりあえず整閉だから1変数の場合はオーケー

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/15(水) 11:01:19.49

ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか？

というのも岩波数論Ⅱで
ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して
p|D_r ⇔ p-1|r
という記述があったのですが
一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な
p|D'_r ⇔ p-1|r
があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに
最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました

例えば
B_10=5/(2×3×11)
B_14=7/(2×3)
B_22=(11×131×593)/(2×3×23)
となっていて
たしかに5、7、11が分子にいます

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/15(水) 11:02:04.93

ついでなんですが数論Ⅱで
p|D_r ⇔ p-1|r は
D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式
D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q))
を使って証明してるんですが
この表示の良い文献があれば教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 14:31:15.78

エタールコホモロジーなどは結果だけ使えればよいと思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 08:11:14.40

>>230

x - (floor(x) + ceiling(x)-1) /2
　= 1/2 - Σ(k=1,∞) sin(2πkx)/(kπ),

[x] = floor(x),

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 09:42:21.75

>>230
x - (floor(x) + ceiling(x)-1)/2
　= 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π,

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/21(金) 07:46:00.84

xが整数でないとき
　{x} = x - [x] = x - floor(x) = 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π.

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/21(金) 07:47:24.68

　{x} = x - [x] = x - floor(x)
とする。
　Σ(j=1,n) {jk/n} = (n - gcd(n,k))/2.

面白スレ３２－926

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/23(日) 09:21:42.50

Σ(j=1,n) [jk/n] = ( (n+1)k - n + gcd(n,k) )/2,

面白スレ３２－927

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 23:09:01.89

類体論を勉強する

加藤黒川斎藤を読めばええの

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 15:52:00.06

あれはマゾ向け

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 18:36:31.19

84(n-24)-8000m+37=0
n=0～2000、m=0～20のn,mのうちもっとも上記式が成り立ちやすい(n,m)を求める。

n=95m+n'+24として
-20m+84n'+37=0
-20(m-2)+84n'-3=0
m=4n'+m'+2として-20m'+4n'-3=0
n'=5m'+n''+1として4n''+1=0 よってn''=0
(略)こたえ：m=6

ナニコレ？これなんていう整数導出法なの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/29(火) 17:10:37.46

ceilとfloorの代数学？って面白いよね
ステップ、signam、Iverson括弧…
等々を駆使して変な表式を作るのが好きだ

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/06(月) 12:05:01.41

〔例〕方程式
　xx - 3yy ≡ -1　　　(mod 3)
　xx - 3yy ≡ -1　　　(mod 4)
が一般には整数解をもたないことを示せ。

A.O.ゲリファント「方程式の整数解」東京図書数学新書5 (1960)
　銀林浩訳　　p.56-57　例

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/06(月) 12:07:05.46

(上)
xx - 3yy ≡ xx ≠ -1　　　(mod 3)

(下)
xx - 3yy ≡ xx + yy ≠ -1　(mod 4)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 21:15:14.05

藤林丈司

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/14(木) 00:35:21.70

素測地線って数論への応用はあるのですか？
それとも単なる数論的な類似物に過ぎないなのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/06(土) 17:11:44.64

(11^5 + 11 + 1)/(11^5 + 11^4 + 1)　を約分せよ。

(略解)
x^5 + x + 1,　x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' (1の3乗根) のとき 0,
因数定理より　(x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。

　x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
　x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴　(与式) = (x^3 -xx +1)/(x^3 -x +1)

MathLABO　東大・医 (?)
http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:38:47.25

〔Wilsonの定理〕
　(n-1)! ≡ -1　(mod n)　　　(nは素数)
　(n-1)! ≡ 2　(mod n)　　　(n=4)
　(n-1)! ≡ 0　(mod n)　　　(nは合成数(>4))

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:40:42.76

1≦m<n なるmのうち, nと素であるものを正則元とよぶ。

〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1)　Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1　(mod n)
(2)　-1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
　　　 (pは奇素数で e≧1)

数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
　p.69-70　NOTE

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:44:15.58

mを自然数とする。次式を因数分解せよ。
　2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2}
　2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1}
　2^{2m-2} + 3^{2m} + 6^m
　2^{2m-4} + 3^{2m+1} + 6^m

[面白スレ３９．472]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:45:51.19

2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 2^e = n!
の自然数解 (a≦b≦c≦d≦e; n) は何個あるか？

［面白スレ３９.481]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/10(水) 17:52:33.14

f(x) = (x^100 +1)^100 + (x^2 +1)^100 + 1
は x^3 -1 で割り切れるか。

　2003年京大前期(?)、改作
[高校数学の質問スレPart414．427]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/10(水) 23:31:02.13

f(x) = (x^100 +1)^100 - (x^2 +1)^100 + x^100 - x^2
は x^3 -1 で割り切れるか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 13:12:22.82

n進数におけるレピュニット数の性質はnによらず同じ？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/08(木) 18:20:20.06

>>288
イデアル論が代数幾何の基礎になったように
類体論が被覆空間の幾何の基礎になってもよい

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/11(火) 22:20:15.68

葉層理論は数論に応用があるらしい

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/11(火) 22:38:39.08

kwsk

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/04(金) 21:32:00.31

>>299
エントロピーや測度論を介したつながりがある。
この間葉層構造の研究集会で
Littlewood予想の話が出ていた。

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 13:04:25.93

素数分布と相互律は不即不離

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 13:09:58.72

数学はお経じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 14:10:03.67

無苦集滅道

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 09:55:54.97

志村の相互法則

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 19:21:35.53

Introduction to arithmetic theory of automorphic functions

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 21:17:49.96

A. Gee, Class fields by Shimura reciprocity 1999.

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/20(日) 16:19:47.61

平方剰余の相互法則の証明は
240以上あるそうだね

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/23(水) 17:07:43.18

二つの奇素数を入れ替えることによって
この世界に起きる変化が
それほど多様であるということ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/23(水) 20:35:43.63

PDEを使った証明があるという話を
どこかで読んだような気がする

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 06:15:21.28

Has Lewy?

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 06:21:17.90

訂正
Has-->Hans

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 14:45:27.10

正しい定理はどう証明しようとも正しくなるはずだから、
それらの系統の異なる証明の存在の背後には何が隠れているのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/25(金) 04:55:00.49

二つの奇素数を入れ替えることによって
この世界に起きる変化が
それほど多様であるということ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/01(木) 21:11:20.27

余りとして負の数を許すことによって
対称性が見やすくなるというのが
ガウス

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/07(水) 23:03:27.43

タクシー数が
オイラーやラマヌジャンによって詳しく研究されていたことを
今日初めて知った

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/20(火) 21:58:34.15

ハンバーガーの味わい方-関数等式の歴史-
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo08/08sato.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 03:12:37.31

Hamburgerはモーメント問題を解いただけかと思っていた。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:12:47.41

>>136
この著書の佐藤先生はあの新谷卓郎先生の弟子
ただ佐藤先生の弟子がいるのかは知らない

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:15:05.79

斎藤毅さんってどうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:32:19.83

F.Sato, On zeta functions of ternary zero forms (1982)
To the memory of Takuro Shintani
https://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/records/39603

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:52:34.24

B\”ocherer予想の解決を大変喜んでおられたみたいだ

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 22:49:54.40

https://i.imgur.com/9DcG0yB.jpg
https://i.imgur.com/bsoYTVs.jpg
https://i.imgur.com/NywdDMk.jpg
https://i.imgur.com/al5e2ja.jpg
https://i.imgur.com/XlYOONp.jpg
https://i.imgur.com/LxWHCrd.jpg
https://i.imgur.com/i4snIQ0.jpg
https://i.imgur.com/3yuzRSi.jpg
https://i.imgur.com/7D0ySSj.jpg
https://i.imgur.com/UVdcYyq.jpg
https://i.imgur.com/atwDkDT.jpg
https://i.imgur.com/XifMIGs.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 07:58:20.54

最新の代数学賞

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 14:16:14.34

古澤昌秋

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/26(月) 02:41:04.98

ペアノの公理だけで定義される自然数、無限集合としてもっとも単純。
それを元にして符号拡張をして加減乗算ができるようにしただけの整数。
演算するのには連続性も解析性も極限も必要ない。
それだけの前提から、これほど多種多様で難しい問題が生じることが
どうして可能になるのか、なんだかとっても不思議な気持ちがする。
　整数を人類が自由に把握できるようになると考えるのはおこがましいのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/27(火) 23:02:55.39

Number Theory in Tokyo
March 20-24, 2023
Tokyo Institute of Technology

https://sites.google.com/view/ntint/

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/27(火) 23:11:07.99

金子さんの一派か

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 13:51:53.61

剰余群がわからんから、整数論の剰余modに慣れようと初等整数論勉強してみたら初等幾何より難しい。
矢野先生の初等幾何とかは、図示で視覚的に勉強できるが整数論は、そこが違う。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 14:06:01.55

初等幾何でも
ユークリッドでもデカルトでもない
射影幾何になると難しい
ポンスレとか

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:39:41.23

小平邦彦さんの『幾何のおもしろさ』が難しいのでずっと積読状態です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:42:04.68

タイトルを『幾何のむずかしさ』にかえてほしいです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:48:15.30

公理のところが非常に難しいです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:01:18.08

「幾何学大辞典」でも難しいとされていたようだった。
秋山武太郎がいいみたいだ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:06:33.74

置換群とかは線形代数で学ぶけど剰余群は整数論やってないと初見になるんだよな。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:08:28.73

商ベクトル空間は
線形代数の範囲

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:40:58.44

整数のmod3 による剰余類の集合は
｛0，1，2｝ではなくて
｛｛0,　±3,　±6,....}, 　{1,　1±3，1±6，1±9, ....} ,　 {2,　2±3，2±6，..} }
が本当は正しい。
つまり、それぞれの類は集合だ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:55:46.73

Z/3Zの元を毎回そんなふうに書いてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 18:07:47.57

mod 7の剰余類は普通に日常生活をおくっているひとは身についている

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:32:35.81

簡単に　{Z, Z+1, Z+2} と書いてもよかろう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:33:16.29

簡単に　{3Z, 3Z+1,　3Z+2} と書いてもよかろう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:01:37.37

そんなこと言うなら2を{φ,{φ}}と書くのかって話になってくるじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 03:25:35.50

>>334,336
実質的には時計の読み方とか帯分数として小学校でやらされてる。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 15:38:14.15

>>338
でも足し算はともかく掛け算は曜日では分からんな
1→3→2→6→4→5→1　(×3による巡回)

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/17(火) 16:48:38.80

イデール類群がコンパクトじゃないのはなぜ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/17(火) 17:10:22.36

ノルム写像が連続だけど有界ではないからだ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/19(木) 13:27:26.70

ε-N論法は、整数・自然数の証明に使うという点では数学的帰納法に似ていますね。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/02(木) 05:56:14.27

今、円分体上で素数を割る方法を勉強中
素イデアルを特定する方法までは分かったが
そこから数を探すのが面倒・・・

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/02(木) 06:03:01.66

簡単のため素数pがmod qで1となる場合について完全分解する方法だけやってる
円分多項式Φqのmod pでの根を探せばいいことはわかった

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 06:24:09.25

>>347
なんか出来たわ
1の11乗根を追加した体で23を分解した
分解の仕方は一意的ではないようだが

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 06:42:12.17

Masleyとmontgomery J.Reine Angev. Math. '1976)によれば
1の11乗根を追加した体はUFD

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 07:23:59.20

Z[ζ_11]はufdだから一意的にできると思うぞ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 07:46:06.74

ζ_11のQ上の最小多項式は

φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1

これをmod 23で因数分解して

φ = f_1^e_1 ... f_g^e_g (mod 23)

となったとすると、(23)の素イデアル分解は、p_i = (23, f_i(ζ_11))として

p_1^e_1 ... p_g^e_g。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 19:22:55.55

なんかレスが束になってきた

>>350-352
皆様ご指摘の通り
1の11乗根を追加した体
Z[ζ_11]はufdです

ζ_11のQ上の最小多項式
φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1
をmod 23で因数分解すると
(X-2)(X-4)(X-8)(X-16)(X-9)(X-18)(X-13)(X-3)(X-6)(X-12)
となります
これはX^11=1となるXをEXCELで求めました

で、mod 23で、
18^2=2,16^3=2,8^4=2,6^5=2,4^6=2,3^7=2,13^8=2,9^9=2,12^10=2
なので,イデアルの代表元として(ζ^n-2)(n=1～10)を取り出して
全部掛ければ23になるかと思ったら・・・2047！

で、2047=23*89で、mod 89でも2は根になるので、
原因はそのせいだと考えた。

その上で解決策として
mod 89で根にならない数3と組み合わせればいいと考え
1の11乗根ζについて積
(ζ　-ζ^8+1)
(ζ^2-ζ^5+1)
(ζ^3-ζ^2+1)
(ζ^4-ζ^10+1)
(ζ^5-ζ^7+1)
(ζ^6-ζ^4+1)
(ζ^7-ζ+1)
(ζ^8-ζ^9+1)
(ζ^9-ζ^6+1)
(ζ^10-ζ^3+1)
を計算したところ、23になりました　やった！

ただ・・・実は積
(ζ　-ζ^9+1)
(ζ^2-ζ^7+1)
(ζ^3-ζ^5+1)
(ζ^4-ζ^3+1)
(ζ^5-ζ+1)
(ζ^6-ζ^10+1)
(ζ^7-ζ^8+1)
(ζ^8-ζ^6+1)
(ζ^9-ζ^4+1)
(ζ^10-ζ^2+1)
でも23になっちゃうことが発覚！

この他、積が23になる場合が2通り、
都合4通り見つかりました
イデアルとしては一意的だが
代表は一意じゃないってことか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 19:57:13.50

単数（単元）があるからね。
一意的というのは、単数を(1)とみなしてということだから。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 20:36:39.03

>>354
あ、なるほど、そういうことか
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:06:51.29

面白そう
俺も代数的整数論やろうかな

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:23:26.25

>>356
面白いっすよ　学生のころは整数論には手ださなかったけどｗ
tsujimotter氏他、ネットのHPには大いにお世話になりました

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:25:54.68

ちなみに23のmod11での分解をやろうと思ったのは
別スレで、1の23乗根を1の11乗根で表す計算やったから
（ちなみにそれも
出てきた式を因数分解してやろうと思ったんで計算してみた

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:26:29.52

>>358
>ちなみにそれも・・・
EXCELで計算したｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 13:58:51.54

平方剰余の相互法則をガウスが発見したのは
何歳の時かご存じの方はいますか。
1795年というのは本に書いてあったので
多分「数学日記」にあると思うのですが。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 16:47:09.67

「数学日記」は1796年からでした。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/07(火) 15:36:36.94

How can I recover the theory of classical modular forms of SL(2, Z) from the theory of automorphc forms of an adelic algebraic group?
The two theories can be stated in parallel, but a priori, it does not seem that the one theory is a generalization of the other.
As far as I've tried, just restricing the group action to the infinite place cannot derive the classical theory.
Could you tell me the relationship between the two theories?

Thank you.

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/08(水) 03:23:17.83

アデールと層はどっちが強い？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/08(水) 11:29:19.78

層は局所と大域の差を測れる
層は代数体や代数曲線の関数体以外にも定義できる

アデールは性質の良い位相が入ってる
アデールは無限素点の情報が入ってる

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 15:45:38.71

Witt vectorsって何に使われるの

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 23:15:22.56

クリスタリンコホモロジーとか

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/15(水) 13:06:35.62

Virasoro algebra

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/16(木) 11:00:38.39

L/Kを代数体の有限次Abel拡大
C_KはKのイデール類群

相互律写像

K_v^× → C_K → Gal(K_ab/K) → Gal(L/K)
x → (1, 1, ..., x, 1, ...) → Artin reciprocity → 写像の制限

は、Lで分岐するvではどういう写像になるの

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/28(火) 20:42:18.21

WeilのBasic Number Theoryを4章まで読んだ

この本、難解だとよく言われるけど、証明や理論展開自体はかなり明快だと思う

ただ、局所コンパクト位相群の性質からすべてを導いているのが硬派すぎる
代数的整数論の本なのに素イデアルって言葉すらほとんど出て来ない（他の本に比べると整数環が空気）
最初のほうに出てくる mod_K(λ) も具体例思い浮かばないとなんのこっちゃってなるかも

あと、後半で単純環の理論を展開するためだろうけど、非可換な場合を含んだ書き方をしているから
可換な場合だけ念頭に置いて読むと意味分かんなくなるかも

Riemann-Rochのところまでは問題なく読めそう
後半はもっと難しいのだろうか

とりあえずここまで読んだ感想としては、個人的にはとても良い本だと思った

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 05:24:00.35

>>とりあえずここまで読んだ感想としては、個人的にはとても良い本だと思った

よかったね

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 08:57:44.15

うっとうしいから氏んでくれ

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 09:05:51.65

可換環の性質には、局所化で保たれないものがあるけど
付値論的な方法は、そういう性質も調べられるの？
たとえば、代数体Kの整数環O_KがUFDかどうかとか。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 09:20:28.94

>>372
クンマーの理想数の理論は今日では
付値論に含まれるとされるらしい
(足立恒雄の受け売り)
代数体Kの整数環O_KがUFDかどうかは
クンマー理論の主目標だったことは
よく知られている。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 12:43:08.85

代数体Kの整数環O_KがUFDであることとKのイデアル類群が自明であることは同値だが、イデアル類群はイデール群の商で表せる

代数体KのDedekindゼータ函数ζ_K(s)はイデール群上の積分として表せ、Kの類数はその極s = 1での留数から計算できる

二次の不定方程式がQで解持つことと、Rとすべてのpに対するQ_pとで解を持つことが同値（Hasse-Minkowskiの定理）

Artin相互律も、局所的な定理ではなく複数の素点の間の関係を述べるものであるが、イデール類群を用いて書ける

というわけで、局所体への埋め込みの情報を束ねることで、大域的な情報が得られることが多々ある
ただし、三次形式には局所大域原理が成り立たないように、すべてがこの方法で上手くいくわけではない

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 13:24:43.07

Hasseの原理が2次形式に成立するからと言って、
3次の場合はどうか、4次の場合は、...
というのは、否定的に解決された現在から見ると、あまりよい問題とは思えない
一方、代数群への拡張は成功しているし、こちらは自然に思える